高三数学教案直线与平面平行

1、9.2 直线与平面平行【教学目标】1. 了解直线和平面的位置关系 ( 直线在平面内 , 直线与平面相交 , 直线与平面平行 ).2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能灵活运用它们解题.【知识梳理】一、直线与平面的位置关系位置关系图示表示方法公共点个数直线在平面内aa无数个a直线与平面a没有直平行线直不直线与线与交平平面面直线与内平面垂相直交aa=A一个aa一个二、直线和平面平行的判定方法： a = ? a (定义法 )；判定定理；b a, b , a? a；,a? a空间向量怎么证线面平行？【点击双基】1.设有平面 、和直线 m、 n，则 m 的一个充分条件是A. 且 m B. =n

2、 且 m nC.m n 且 n D. 且 m答案： D2.（ 2004 年北京， 3）设 m、 n 是两条不同的直线， 、 、 是三个不同的平面 .给出下列四个命题，其中正确命题的序号是第 1页共 5页若 m ，n ，则 mn 若 ， ，m ，则 m 若 m ， n ，则 m n 若 ， ，则 A. B.C.D.解析：显然正确 .中 m 与 n 可能相交或异面 .考虑长方体的顶点，与 可以相交 .答案： A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A. 异面 B.相交 C.平行 D.不能确定解析：设 =l ，a ，a ，过直线 a 作与 、 都相交的平面，

3、记 =b， =c，则 ab 且 a c， b c.又 b ， =l ， b l. a l.calb答案： C4.（文）设平面 平面 ，A、C ，B、D ，直线 AB 与 CD 交于点 S，且 AS=8 ，BS=9， CD =34，当 S 在、 之间时， SC=_ ，当 S 不在 、 之间时，SC=_.解析： AC BD， SAC SBD， SC=16， SC=272.答案： 16272（理）设 D 是线段 BC 上的点， BC平面 ，从平面 外一定点 A（A 与 BC 分居平面两侧）作 AB 、 AD 、 AC 分别交平面 于 E 、 F 、 G 三点， BC=a ， AD =b， DF=c，

4、则 EG=_.解析：解法类同于上题.答案： abacb5.在四面体ABCD 中， M、N 分别是面 ACD 、 BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是 _.A.MB. NDC解析：连结 AM 并延长，交 CD 于 E，连结 BN 并延长交 CD 于 F，由重心性质可知， E、F 重合为一点，且该点为CD 的中点 E，由 EM = EN =1 得 MN AB，MANB2因此， MN 平面 ABC 且 MN 平面 ABD .答案：平面ABC、平面 ABD第 2页共 5页【典例剖析】例 1. 如果平面 和这个平面外的一条直线l 同时垂直于直线 m ， 求 证： l.证法一：设 m= A

5、,过 A 和直线 l 作平面，设= a , m, m a l 和 a 的位置关系有相交和平行两种情况，ml若 l 和 a 相交， ma， m l ， 则 m 又 m, 且 和 同过点 A， 和 重合 l， l， 与已知 l矛盾a A l a ， 又 l， a， l注：由 m a，m l ，不能直接推出l a，尽管 l 和 a 同在平面内，但 m 不一定在内“ 两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，此结论只有当这三条直线都在同一平面内时才成立证法二：在直线l 上任取一点P，过 P 作直线 nm m, ml , n, nl 过 l 和 n 作平面，设= a ， n, n a , 又 n

6、 l , 且 l、a、n都在平面 内 la ,又 l, a, llP mna注：此证法中，先将直线m 平移到与直线l 相交，然后再过两条相交直线作平面，这样所得交线 a、直线 l 以及直线 n 都在同一平面内，且 l 和 a 都与直线 n 垂直，便可得 la 将两条异面直线中的一条平移，得到两条相交直线， 是对异面直线的常见处理方式，请同学们结合此例仔细体会证法二的妙处证法三：设 a， b 是平面内的一组基底， l 、 m 分别是 l、 m 上的一个非零向量， m， m a= m b=0 ，又 ml ， m l =0 以 a、 b、m 为空间基底，则存在实数x， y，z，使得 l= xa +y

7、 b+zm m l = m (x a+ yb+ zm )= x m a+ ym b +zm 2=0+0+ zm 2=0 m 2 0 ， z=0 ， 则 l = xa+ yb， l 与 a、 b 共面又已知直线l 不在平面内， l变式一： 若 a,b,则 b a。变式二： ab, a, b? b例 2：如图，两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面交于 AB ，M AC ，N FB，且 AM=FN ，求证： MN 平面 BCE 。证法一：过 M 作 MP BC，NQ BE ，P、Q 为垂足，如图，连结 PQ， MP AB ，NQ AB ， MP NQ，又 NQ=2 BN=2AFDN

8、MBQPEC2 CM=MP ， MPQN 是平行四边形。 MN PQ，又 PQ? 平面 BCE，而 MN平面 BCE ，2MN 平面 BCE 。证法二： 过 M 作 MG BC，交 AB 于 G（如图），连结 NG ， MG BC，BC ? 平面 BCE ，MG ? 平面 BCE ， MG 平面 BCE ，又 BGCMBN ， GN AF BE ，同样可证明GAMANFGN平面 BCE，而 MG NG=G ，平面 MNG 平面 BCE，MN ? 平面 MNG ， MN 平面 BCE 。证法三：第 3页共 5页证法四：例 3：如图，设 a,b 是异面直线 ,AB 是 a,b 的公垂线 ,过 AB

9、 的中点 O 作平面与a,b 分别平行,M,N 分别是 a,b 上的任意两点 ,MN 与交于点P,求证 P 是 MN 的中点 .证明 :连接 AN, 交平面与点Q,连 PQ, b ,b平面ABN, 平面 ABN =OQ, bOQ ，又 O 为 AB 的中点， Q 为 AN 的中点。 a，a 平面 AMN 且平面 AMN =PQ， a PQ。 P 为 MN 的中点。思维点拨： 直线与平面的性质定理是解决本题的关键。例 4：直角三角形ABC的一条直角边AB A，另一条直角边BC 不在平面内，若ABC在上的射影仍是直角，求证：BC证明：如图，过B、C 分别作的垂线，垂足分别为B、 C，则 AB C是

10、 ABC在上的射影 . AB C 90又 BB， AB，B C， AB BB， C B BB . B A BB B， C B平面 AB B. B C B B B， AB平面 BB C C. BC 面 BB CC， BCAB . ABC 90， AB AB， BC平面 ABB . BCB C . BC .例 5：如图，四面体A BCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形。A(1) 求证： CD平面 EFGH 。(2) 求异面直线 AB ，CD 所成的角。 (3)若 AB a， CD=b ，求截面 EFGH 面积的最大值。H（ 1）证明： 截面 EFGH 是一个矩形， EF GH， 又 GHBD平面 BCD 。 EF面 BCD ，而 EF 面 ACD ，面 ACD 面 BCD=CD 。G EF CD， CD平面 EFGH 。（ 2）解： 由（ 1）知 CD EF，同理 AB FG，由异面直线所成角的定义知 EFG 即为所求的角。易得 EFG=90 。（ 3）答案： ab/4说明：欲证线面平行，先证线线平行，欲证线线平行，可先证线面平行，反复用直线EF DC第 4页共 5页与平面的判定、性质，在同一题中也经常用到。【知识方法总结】1. 直线与平面的位置关系有三