高中立体几何典型500题及解析(1~50题)

1、最新资料推荐高中立体几何典型500 题及解析 (一)1、二面角l是直二面角，A，B，设直线 AB 与、所成的角分别为1 和2，则（A ） 1+ 2=900（B ） 1+ 2 900（ C） 1+ 2 900（ D ） 1+ 2 900解析： CA12B如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和 2 分别为直线AB 与平面,所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角ABO2QABO190o2190o2. 下列各图是正方体或正四面体， P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共 面的一个图是SSSSPPPPSSSS

2、PPPPRRRPQRPQRRRPQRPQPPQQRRPPQQRRQQSQSSQRSSRSSRSRQQQQ（ A）（ B）（ C）（D ）D解析： A 项：PS PQS， PQRS 是个梯形底面对应的中线，中线平行DSCPADAQB 项：如图BRCB1最新资料推荐C 项：是个平行四边形D 项：是异面直线。3. 有三个平面， ，下列命题中正确的是（A ）若， 两两相交，则有三条交线（ B ）若 ， ，则 （C）若 ， =a， =b，则 a b （ D）若 ， = ，则 =D解析： A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。abC

3、项：如图4. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线B1C1 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为ABABABABDCOOOABPPPPPD1C1A 1B 1A 1B1A 1B 1A 1B 1A1B1CDCABPDC解析： B1C1 平面 AB1 B1C1APB,， 如图：BP 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的距离相等，建立坐标系画图时可以以点B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCD A1B1C1D 1 中与 AD 1 成 600 角的面对角线的条数是（A ） 4 条（ B） 6 条（ C） 8 条（D ）

4、 10 条2最新资料推荐CDCDCABABDCDCAB这样的直线有 4AB解析： 如图条，另外，这样的直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B， C， D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0 ， ACAD0 ， ABAD0 ，则 BCD 是（ A ）钝角三角形（ B）直角三角形（C）锐角三角形（ D）不确定C解析：假设 AB 为 a，AD 为 b，AC 为 c，且 ab c 则，BD= a2b2 ，CD=c2b2 ，AabcBDBC=a2c2 如图C2则 BD 为最长边，根据余弦定理22cos DCBa2c2c2b2a2b20DCB 最大角为锐2 a2c2c2b2角。所以 BCD

5、是锐角三角形。7.设 a、 b 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题（）若 ab, a,则 b/若 a /, 则a a, 则a / 若ab,a, b,则其中正确的命题的个数是（）A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个B 解析： 注意中b 可能在上；中a 可能在上；中b/，或 b均有，3最新资料推荐故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥SABCD 侧棱长为2 ，底面边长为3 ，E 是 SA 的中点，则异面直线BE 与 SC所成角的大小为（）A 90B 60C 45D 30B解析： 平移 SC 到 S B ，运用余弦定理可算得BES ES B2.9. 对于平面 M 与平面

6、N, 有下列条件 : M 、N 都垂直于平面Q; M 、N 都平行于平面 Q; M 内不共线的三点到N 的距离相等 ; l, M 内的两条直线 , 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M;l / N, m / N, 则可判定平面M 与平面 N 平行的条件的个数是（）A 1B 2C 3D 4C只有、能判定M/N ，选 BAB10. 已知正三棱柱ABC A 1B 1C1 中， A 1B CB 1，则 A1B 与 AC 1C 1所成的角为（ A ） 4500A 1B 1（ B ） 60（ C）900（D ） 1200C 解析： 作 CD AB 于 D，作

7、C1D 1A 1B 1 于 D 1，连 B 1D、AD 1，易知 ADB 1D1 是平行四边形，由三垂线定理得 A 1B AC 1，选 C。11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A.3 B. 3 C. 5 D.3 224最新资料推荐解析： 正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。（可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线 l 、 m 中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时，A 乙是丙的充分而不必要条件B 乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件D 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析： 当甲成

8、立，即“相交直线l 、m 都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l 、m 中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“ l 、 m 中至少有一条与平面相交”也成立选（C）13. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 m n，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（ 1）一条直线；（ 2）一个平面；（ 3）一个点；（ 4）空集其中正确的是解析： （ 1）成立，如 m、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（ 2）成立， m、n 在平面的同一侧，且它们到的距离相等，则平面为所求，（ 4）成立，当m、 n 所在的平面与平面垂直时，平面内不存在到m、n

9、 距离相等的点14.空间三条直线互相平行, 由每两条平行线确定一个平面, 则可确定平面的个数为（）A 3B 1 或 2C 1 或 3D 2 或 3解析： C 如三棱柱的三个侧面。15若 a、b 为异面直线，直线c a，则 c 与 b 的位置关系是（）A 相交B 异面C平行D 异面或相交解析： D 如正方体的棱长。16在正方体 A 1B1C1D 1ABCD 中， AC 与 B 1D 所成的角的大小为（）A B 46C3D2解析： DB1D 在平面AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。5最新资料推荐17如图，点P、 Q、 R、 S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则

10、直线PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（）DSCPABRDC解析： CA ，B 选项中的图形是平行四边形，而D 选项中可见图：ABQ18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图， A 、 B 、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中， ABC 等于（）A 45B 60C90D 120ACB解析： B 如图右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题： AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行 AB 与 MN 所在直线成60角； MN 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是（）A BCD6最新资料推荐解析： DDBEMFCNAOA OB OCAOBBOCCOA， OA

11、， OB， OC，则 ABC是=1=2=319线段， ， 不共面，=60（）A 等边三角形B 非等边的等腰三角形C锐 角三角形D钝角三角形解析： B 设 AC=x，AB=y，BC=z，由余弦定理知： x2=12+32-3=7 ，y2=12+22-2=3 ，z2=22+32-6=7 。 ABC是不等边的等腰三角形，选（B）20若 a， b， l 是两两异面的直线，a 与 b 所成的角是，l 与 a、 l 与 b 所成的角都3是，则的取值范围是（）A 6, 5B ,C , 5D ,6323662解析： D解 当 l 与异面直线 a， b 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值，当 l 与 a、

12、 b 的6公垂线平行时， a 取得最大值，故选（ D）221. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建筑物 ,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所7最新资料推荐示 .他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.4 2 米解析：树高为 AB ，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高，CD1.21, CE= 1.08 米，CECE0.9树影长 BE= 2.71.083.78米，树高AB=1 BE= 4.2 米。0.9AD22 如图 ,正四面体A BCD

13、（空间四边形的BCE四条边长及两对角线的长都相等）中, E, F 分别是棱AAD , BC 的中点 , 则EBFDEF 和 AC 所成的角的大小是_.C解析： 设各棱长为 2，则 EF= 2 ，取 AB 的中点为 M ， cos MFE2 . 即.2423 OX， OY， OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点 P 到这三条直线的距离分别为3， 4， 7，则 OP 长为_.解析： 在长方体OXAY ZBPC 中， OX、 OY、 OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ OZ，PYOY， PX OX，有 OX2+OZ2=49， OY2=OX2=9 ， OY2+OZ2=16，得

14、222OX+OY+OZ=37， OP= 37 24设直线 a 上有 6 个点，直线 b 上有 9 个点，则这15 个点，能确定 _个不同的平面 .解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面；当直线 a， b 异面时，直线 a 与 b 上 9个点可确定 9 个不同平面， 直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面， 所以一点可以确定 15 个不同的平面8最新资料推荐25. 在空间四边形 ABCD 中， E，F 分别是 AB ，BC 的中点求证： EF 和 AD 为异面直线 .解析： 假设 EF 和 AD 在同一平面内，（ 2 分），则 A ， B，E，F；（ 4 分）又A ，EAB

15、 ，AB， B，（ 6 分）同理 C（ 8 分）故 A ，B，C，D，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形ABCD 中， E，H 分别是 AB ，AD 的中点， F，G 分别是 CB ，CD 的中点，若 AC + BD = a， ACBD =b ，求 EG 2FH 2 .A解析： 四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分）EHEG2FH2(EF22) =2FGBD1 ( AC 2BD 2 )1 (a22b)2227. 如图，在三角形 ABC 中， ACB=90o，AC=b,BC=a,P 是 ABC 所在平面外一点， PBAB ， M 是 PA 的中点

16、， AB MC ，求异面直 MC 与 PB 间FGCP的距离 .MN解析：作 MN/AB 交 PB于点 N（2 分） PB AB， PB MN。AB（4 分）又 AB MC， MN MC（ 8 分） MN即为异面直线MC与 PB 的公垂线段， （ 10 分）其长度就是 MC与 PB之间C的距离， 则得 MN=1AB=1a2b2 .2228. 已知长方体 ABCD A BC D中 , A A=AB ， E、 F 分别是 BD和 AD 中点 .111111（ 1）求异面直线 CD 1、 EF 所成的角；（ 2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD 1 的公垂线 .（1）解析： 在平行四边形BAD

17、1C1 中， E 也是 AC1 的中点， EF / C1D ，（ 2 分）C1D1两相交直线 D 1C 与 CD 1 所成的角即异面直线CD1 与 EF 所成的角 .（ 4 分）又B1A1A 1A=AB ，长方体的侧面ABB1 A1 ,CDD1C1 都是正方形ECD， D1C CD1BFA9最新资料推荐异面直线 CD 1、EF 所成的角为90 .（7 分）（2）证：设 AB=AA 1=a, D 1F=a2 AD 2BF , EF BD 1 .（ 9 分）4由平行四边形 BAD1C1 ，知 E 也是 AC1 的中点，且点E 是长方体 ABCD A 1B1C1D1的对称中心，（ 12 分） EA=

18、ED ， EF AD ，又 EF BD 1， EF 是异D1C1面直线 BD 1 与 AD 的公垂线 .（ 14 分）B1A1ECDFBAD29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在 ABC 所在平面外有一点P，PB=PC=7 ， PA= 3 ，延长 BP 至 D ，22PC使 BD=7 ， E 是 BC 的中点，求AE 和 CD 所成角的大小和这两条直线间的距离.EAB解析： 分别连接PE 和 CD，可证 PE/CD ，（ 2 分）则 PEA 即是 AE 和 CD 所成角（ 4 分）在 Rt PBE中，339= 1 PB= 7 ，BE=1， PE= 3 。在 AEP中， AE= 3 ， c

19、os AEP442233222 AEP=60o，即 AE和 CD所成角是 60o（ 7 分）AE BC，PE BC，PE/DC， CD BC， CE为异面直线 AE和 CD的公垂线段，（12 分）它们之间的距离为1（ 14 分）30. 在正方体ABCD A 1B1C1D 1 中， E，F，G，H，M ，N 分别是正方体的棱A1 A, AB ，BC， CC1 , C1 D1 , D1 A1 的中点，试证：E， F， G， H， M ， N 六点共面10最新资料推荐解析： EN/MF ， EN 与 MF 共面，（ 2 分）又 EF/MH ， EF 和 MH 共面（ 4分）不共线的三点E，F，M确定

20、一个平面，（6 分）平面与重合，点H。（ 8分）同理点G（ 10 分）故 E， F， G， H ，M ， N 六点共面31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时，它们的交线有（）A 1 条B 2 条C 3 条D 1 条或 2 条D解析： 分类： 1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32 两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A 4 个B 5 个C 6 个D 8 个解析： C 如四棱锥的四个侧面，C426 个。33.在空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD、 DA 上分别取 E、 F、 G、 H 四点如果

21、EF 与 HG 交于点 M ，则（）A M 一定在直线AC 上B M 一定在直线BD 上CM 可能在 AC 上，也可能在BD 上D M 不在 AC 上，也不在BD 上解析： 平面 ABC 平面 ACD=AC ，先证 M 平面 ABC ，M 平面 ACD ，从而 M ACA34. 用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是.解析： 6 条11最新资料推荐35. 已知： a, b, abA, Pb, PQ / a.求证 : PQ.(12分 )本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析： PQ a, PQ 与 a 确定一个平面,直线a, 点P.pb, b,p又a与重

22、合PQ36. 已知ABC 三边所在直线分别与平面交于 P、Q、R 三点，求证：P、Q、R 三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法解析： A 、 B 、C 是不在同一直线上的三点过 A 、B 、C 有一个平面又ABP, 且AB点P既在 内又在内,设l ,则p l.同理可证 : Q l , Rl三点共线.P, Q, R37.已知：平面平面a, b,b aA, c且c / a,求证： b、 c 是异面直线解析： 反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则b c 或 b 与 c 相交(1)若b / c.a / c,a / b这与ab矛盾A(2)若相交于B,则B,又abA, A

23、b, cAB,即b这与b矛盾Ab, c是异面直线 .38. 在空间四边形ABCD 中， AD=BC=2 ， E、F 分别是 AB 、 CD 的中点， EF=3 ，求 AD与 BC 所成角的大小12最新资料推荐（本题考查中位线法求异面二直线所成角）解析： 取 BD 中点 M ，连结 EM 、 MF ，则EM / AD ,且 EM1AD 1, MF / BC 且 MF1 BC 1,22在 MEF 中, EF3,由余弦定理得EM 2MF 2EF 21 1 31cos EMF222 EM MFEMF 120异面直线 AD , BC 所成角的大小为6039. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C1D1

24、 中， M 、 N 分别为棱 AA 1 和 BB 1 的中点，求异面直线 CM 与 D1N所成角的正弦值 .(14 分 )（本题考查平移法，补形法等求异面二直线所成角）解析： 取 DD 1 中点 G，连结 BG， MG ， MB ，GC 得矩形 MBCG ，记 MC BG=0则 BG 和 MC 所成的角为异面直线CM 与 D 1N 所成的角 .MC 2MA 2AC 2(3a)2 (设正方体的棱长为 a)2BC acosBOC1sinBOC4599而 CM 与 D 1N 所成角的正弦值为4 5940. 如图， P 是正角形 ABC 所在平面外一点， M 、 N 分别是 AB 和 PC 的中点，且

25、PA=PB=PC=AB=a 。（ 1）求证： MN 是 AB 和 PC 的公垂线（ 2）求异面二直线 AB 和 PC 之间的距离解析： （ 1）连结 AN ，BN ， APC 与 BPC 是全等的正三角形，又N 是 PC 的中点AN=BN又 M 是 AB 的中点， MN AB同理可证MN PC13最新资料推荐又 MN AB=M ， MN PC=NMN 是 AB 和 PC 的公垂线。（2）在等腰在角形ANB 中，AN3a, AB a, MNAN2122BN( AB)a222即异面二直线AB 和 PC 之间的距离为2 a .241 空间有四个点，如果其中任意三个点都不在同一条直线上，那么经过其中三

26、个点的平面A可能有 3 个，也可能有2 个B 可能有4 个，也可能有3 个C可能有 3 个，也可能有1 个D 可能有4 个，也可能有1 个解析： 分类，第一类，四点共面，则有一个平面，第二类，四点不共面，因为没有任何三点共线，则任何三点都确定一个平面，共有4 个。 .42.下列命题中正确的个数是三角形是平面图形四边形是平面图形四边相等的四边形是平面图形矩形一定是平面图形A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个解析： 命题是正确的，因为三角形的三个顶点不共线，所以这三点确定平面。命题是错误， 因平面四边形中的一个顶点在平面的上、 下方向稍作运动， 就形成了空间四边形。命题也是错误，它是上一个命题

27、中比较特殊的四边形。命题是正确的，因为矩形必须是平行四边形，有一组对边平行，则确定了一个平面。43.如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有_1个。解析： 如果有两个，则直线就在平面内， 那么直线上的所有点都在这个平面内，这就与已知有一个点不在平面上矛盾，所以这条直线与这个平面的公共点最多有一个。44. 空间一条直线及不在这条直线上的两个点， 如果连结这两点的直线与已知直线 _，则它们在同一平面内。 答案： 相交或平行解析： 根据推论2，推论 3 确定平面的条件。14最新资料推荐45.三角形、四边形、正六边形、圆，其中一定是平面图形的有_3个。解析： 三角形的三个顶点不在一条直线上，故可确定一个平面，三角形在这个平面内； 圆上任取三点一定不在一条直线上， 这三点即确定一个平面， 也确定了这个圆所在的平面， 所以圆是平面图形； 而正六边形内接于圆， 故正六边形也是平面图形； 而四边形就不一定是平面图形了，它的四个顶点