高一数学教案：解斜三角形应用举例(2)

1、课题： 解斜三角形应用举例（2）教学目的：1 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2 熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；3 通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：1 实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法 ：自学辅导法在上一节学习的基础上， 引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型， 自己尝试求解应用题 在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼教学

2、过程 ：一、复习引入：上一节， 我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例：例 1 如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄 CB 绕 C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作0直线往复运动 当曲柄在 CB0 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在 AO处 设连杆AB长为 340 ，曲柄 CB长为 85 ，曲柄自CB0 按顺时针方向旋转 80，求活塞移动的距离 ( 即连杆的端点 A 移动的距离 A A)( 精确到1 )0分析：如图所示，因为0

3、O ，又知O 340 85 425，所以只要求AA A C ACA CABBC出 AC的长，问题就解决了在 ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC解：在 ABC中，由正弦定理可得sin A BC sin C85 sin 800.2462.AB340因为 BC AB，所以 A 为锐角，得 A 14 15B 18O（ A C） 18O（ 14 15 8O） 85 45由正弦定理，可得AC AB sin B340 sin 85 45344.3 .sin C0.9848mm因此， AOA AOC AC ( AB BC） AC (34O 85) 344 3 8O7 81（）答：活塞移动

4、的距离约为81评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A内角和定理求B正弦定理求求OACA A第 1页共 6页例 2 如图，为了测量河对岸A、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD a和 ACD ， BCD ， BDC ， ADC ，试求 AB的长分析：如图所示：对于AB求解，可以在ABC中或者是 ABD中求解，若在ABC中，由 ACB ，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解而 AC可在 ACD内利用正弦定理求解， BC可在 BCD内由正弦定理求解解：在 ACD中，已知 CD a， ACD ， ADC ，由正弦

5、定理得ACa sina sinsin 180 () sin()在 BCD中，由正弦定理得BCa sina sinsin 180()sin()在 ABC中，已经求得 AC和 BC，又因为 ACB ，所 以 用余弦定理 , 就可以求得AB AC 2BC 22 ACBCcos()评述： (1) 要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用(2) 注意体会例 2 求解过程在实际当中的应用例 3据气象台预报，距 S岛 300的 A处有一台风中心形成，并以每小时30的速度向北偏西 30的方向移动，在距台风中心270以内的地区将受到台风的影响问： S岛是否受其影响 ?若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风

6、的影响 ?持续时间多久 ?说明理由分析：设 B 为台风中心，则 B 为 AB边上动点， SB也随之变化 S 岛是否受台风影响可转化为 27O 这一不等式是否有解的判断，则需表示，可设台风中心经过小时到达BSBSB点，则在 ABS中，由余弦定理可求SB解：设台风中心经过小时到达 B 点，由题意， SAB 9O 3O 6O在 SAB中， SA 3OO， AB 3O ， SAB 6O，由余弦定理得：222SB SA AB2SA ABcos SAB22t 3OO（ 3O） 2 3OO 3O cos6O若 S 岛受到台风影响，则应满足条件 SB 27O 即 SB2 27O2化简整理得2 1O 19 O解

7、之得5 6 56所以从现在起， 经过 56 小时 S 岛开始受到影响， (5 6 ) 小时后影响结束持续时间：(5 6 ) （ 56 ） 26 小时答： S岛受到台风影响，从现在起，经过（56 ）小时，台风开始影响S 岛，且持续时间为 26 小时第 2页共 6页例 4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0 3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1 95 米， AB与水平线之间的夹角为6 20，AC长为 1 40 米，求货物开始下滑时BC的长解：设车箱倾斜角为，货物重量为mgfNmg cos当mg cosmg sin即tan时货物下滑当tan时， 0.3tan，a

8、rctan 0.316 42 BAC=16 42 6 20 23 02在 ABC中:BC 2AB 2AC 22AB AC cosBAC1.9521.40 221.951.40cos23 02 10.787， BC 3.28三、课堂练习：1 海中有一小岛B，周围 38 海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北 75东，航行 8 海里到 C，望见岛 B 在北 6O东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁2 直线外有一点， 6O， 2OO ，汽车以8O 速度由A向B行ABCABCAB驶，同时摩托车以5O公里的时速由 B 向 C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小答案：约 1

9、 3 小时四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力五、课后作业 ：1已知在 ABC中， sinA sinB sinC=3 2 4，那么 cosC 的值为（）A11224BCD433分析：先用正弦定理：abcsin A sin B可求出 a b c=3 2 4，sin C所以可设 a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：cosCa 2b 2c 2可得 cosC9k 24k 216k 2即 cosC1 .2ab2 3k2k4答案： A2一货轮航行到M

10、 处，测得灯塔S在货轮的北偏东15相距 20 里处，随后货轮按北偏西30的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东 45，求货轮的速度解：如图所示， SMN=15 +30 =45， SNM=180 45 30 =105第 3页共 6页 NSM=180 45 105 =30由正弦定理MN20sin 30sin105MN10(62)10( 62 )120(62 )2答：货轮的速度为20(62 ) 里 / 小时3 ABC中， a+b=10，而 cosC 是方程2x2 3x 2=0 的一个根，求 ABC周长的最小值分析：由余弦定理可得c2a 2b 22ab cosC ，然后运用函数思想加以处理解：

11、2x23x2 0x12, x212又 cosC 是方程 2x23x 2=0 的一个根cosC12由余弦定理可得 c 2a 2b 22ab(1 ) (a b) 2ab2则 c2100a(10a)(a5) 275当 a=5 时， c 最小且 c=755 3此时 a b c 5 5 5 3 10 5 3 ABC周长的最小值为105 34在湖面上高h 米处，测得云的仰角为,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为，试证：云高为sin()h米sin()分析：因湖而相当于一平面镜， 故云 C 与它在湖中之影D 关于湖面对称， 设云高为 x=CM，则从 ADE，可建立含 x 的方程，解出x 即可解：如图所示，

12、 设湖面上高 h 米处为 A，测得云的仰角为 ，而 C 在湖中的像 D 的俯角为 ，CD与湖面交于 M ，过 A 的水平线交 CD 于 E，设云高 CM=x则 CE=xh， DE=x+hAE(xh) cot且 AE ( x h) cot(xh) cot( xh) cot解得 xtantanhtantan第 4页共 6页sincoscossinsincoscoshh sin() (米 )coscossinsin()coscos5在某定点 A 测得一船初始位置 B 在 A 的北偏西 1 处，十分钟后船在A 正北，又过十分钟后船到达 A 的北偏东 2 处 若船的航向与程度都不变，船向为北偏东，求 的

13、大小 (1 2)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如图所示，在ABC中，由正弦定理可得：BCsinAC,即 BCACsin 1(1 )sin1sin(1 )在 ACD中，由正弦定理可得：CDAC即 CDsin2sin 2sin(2 ),sin(2 )AC根据题意，有 BC=CD由、得：sin 1sin2sin(1 )sin(2 )即 sin 1 sin(2 )sin2sin(1 )sin1 (sincos2cossin2 ) sin2 (sincos 1cossin1 )即 sinsin(12 )2 cossin1 sin2则 tan2 sin1 sin2sin(2 )1所以arctan2 sin1 sin2 （ 1 2）sin(12 )6（ 1998 年全国高考题）在ABC 中， a、b、c 分别是角A、B、C 的对边，设