小波变换入门

1、第1章 连续小波变换信号处理的任务之一是认识客观世界中存在的信号的本质特征，并找出规律。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。从不同的角度去认识、分析信号有助于了解信号的本质特征。信号最初是以时间（空间）的形式来表达的。除了时间以外，频率是一种表示信号特征最重要的方式。频率的表示方法是建立在傅里叶分析（Fourier Analysis）基础之上的，由于傅里叶分析是一种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时频局部性质，而时频局部性质恰好是非平稳信号最基本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，在傅里叶分析理论基础上，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换

2、（Short Time Fourier Transform）或加窗傅里叶变换（Windowed Fourier Transform）、Gabor变换、时频分析、小波变换、分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）、线调频小波变换等。短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变

3、换的分辨率也就确定了。如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频 信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到 最优。Gabor变换是海森伯不确定准则下的最优的短时傅里叶变换。高斯窗函数是短时傅里叶变换同时追求时间分辨率与频率分辨率时的最优

4、窗函数。具有高斯窗函数的短时傅里叶变换就是Gabor变换。与短时傅里叶变换一样，Gabor变换也是单一分辨率的。小波变换使用一个窗函数（小波函数），时频窗面积不变（为零吗？），但形状可改变。小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析（Multiresolution Analysis）的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难。小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度（频率）两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。

5、所以，小波变换被称为分析信号的显微镜。小波变换不会“一叶障目，不见泰山”，又可以做到“管中窥豹，略见一斑”。但是小波分析不能完全取代傅里叶分析，小波分析是傅里叶分析的发展，而时频分析是一种非线性二次变换，与线性的小波变换相去甚远。对于几种变换的关系，将在本章后面做简单的介绍。几1.1 概 述1.1.1 傅里叶变换傅里叶（Fourier）变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信号f(x)进行表征：。1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。1807年

6、，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2的函数f(x)可以表示为系列三角函数之和，即 （1.1）其中，。表达式（1.1）可以理解为信号f(x)是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中ak，bk为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。显然，当信号具有对称性（偶）特征时，bk=0，而当信号具有反对称性（奇）特征时，ak=0，在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f(x)的傅里叶变换定义为： （1.2）傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。随着计算机技术的发展与完善，科学与工

7、程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。为了通过离散化来采样信息以及有效地利用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT）的概念。为简单计，设f(x)为-,上的有限信号，则f(x)的傅里叶变换可简化为：再假设采用等间距采样，其采样点数为N，输入时域信号为fk，要求输出频率信号为。为了利用采样点fk得到尽可能符合式（1.2）的输出值，DFT的思想是根据fk拟合出f(x)的最佳逼近多项

8、式S(x)，然后在式（1.2）中利用S(x)代替f(x)，从而得到。下面简要讨论与的求法。给定一组正交基：，。直接验证向量满足内积关系：，其中IN为N阶单位矩阵，设，利用正交基求解最小二乘问题：= （1.3）求解式（1.3）得到：，； （1.4）现在利用S(x)的定义，以及由式（1.4）得到的系数值ck来近似计算。将式（1.4）中的系数值代入多项式函数S(x)中，并利用S(x)作为f(x)的近似，则有： （1.5）除开常数2外，式（1.5）即为通常意义的离散傅里叶变换（DFT），其中输入fn与输出分别为信号的时域与频域信息。特别地，如果采用其他的正交基，利用最小二乘逼近则得到各种不同意义的离散

9、正交变换，例如，离散余弦变换（DCT，一共4种），离散正弦变换（DST，一共4种），离散Hartley变换（DHT）以及离散Walsh变换（含离散Hadmard变换）等。限于篇幅，在此不再一一介绍，有兴趣的读者可以参见其他相关文献。1.1.2 短时傅里叶变换尽管傅里叶变换及其离散形式DFT已经成为信号处理，尤其是时频分析中最常用的工具，但是，傅里叶变换存在信号的时域与频域信息不能同时局部化的问题。例如，从定义式（1.2）我们看到，对于任一给定频率，根据傅里叶变换不能看出该频率发生的时间与信号的周期（如果有的话），即傅里叶变换在频率上不能局部化。同时，在傅里叶变换将信号从时域上变换到频域上时，实

10、质上是将信息在整个时间轴上的叠加，其中起到频限的作用，因此，傅里叶变换不能够观察信号在某一时间段内的频域信息。而另一方面，在信号处理，尤其是非平稳信号处理过程中，如音乐、地震信号等，人们经常需要对信号的局部频率以及该频率发生的时间段有所了解。由于标准傅里叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域内不存在局部分析的能力，故Dennis Gabor于1946年引入短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform）。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。图1.1（a）、图1.1（b）为短时傅里叶变换

11、对信号分析示意图。假设对信号f (x)在时间x=附近内的频率感兴趣，显然一个最简洁的方法是仅取式（1.2）中定义的傅里叶变换在某个时间段I内的值，即定义 （1.6） （a）时域加窗示意图 （b）时频平面划分示意图图1.1 短时傅里叶变换示意图其中|I|表示区域I的长度。如果定义方波函数g(x)为 （1.7）则式（1.6）又可以表示为: （1.8）其中R表示整个实轴。从式（1.2）、式（1.7）与式（1.8）很容易看到，为了分析信号f (x)在时刻的局部频域信息，式（1.6）实质上是对函数f(x)加上窗口函数g(x)。显然，窗口的长度|I|越小，则越能够反映出信号的局部频域信息。图1.2（a）为

12、对于参数取(=1)，窗口函数g(x)的图形。容易得到下面的简单性质： ，将函数g(x)与著名的“函数”及其性质以及比较不难发现，“函数”(x)实际上可以视为函数g(x)的极限函数。从另外一个角度来看，窗口函数可以看作对于原信号在区域上的加权，而利用方波函数g(x)作为窗口函数时存在的一个明显缺陷就是在区域I上平均使用权值，不符合权值应该重点位于时刻且距离该时刻越远和权值越小的特点。也就是权函数主值位于时刻，在该时刻的两端函数图像迅速衰减的特点。在满足上述特性并保持函数的光滑性质的前提下，Dennis Gabor于1946年提出了利用具有无穷次可微的高斯函数作为窗口函数。图1.2（b）给出了取几

13、种不同的值时高斯函数的图像，显然高斯函数具有窗口函数所需要的性质。下面讨论高斯函数与函数的关系。 （a）窗口函数g(x)的图形 （b）a取值不同时高斯函数的图形图1.2 窗口函数与高斯函数的图形定理1.1 对于高斯函数ga(x)以及可积函数，ga(x)0且对于任意a0均是无穷次可微的，并且， （1.9）对于f的所有连续点x成立。式（1.9）称之为高斯函数的卷积性质。将式（1.9）与函数(x)的卷积性质进行比较，不难发现，无穷次可微高斯函数ga(x)可以作为函数(x)的高度近似，即在连续函数的集合C上，有，。Gabor变换是一种特殊的短时傅里叶变换，而一般的短时傅里叶变换按照下列方式来定义。定义

14、1.1 信号f (x)的短时傅里叶变换（STFT）Gf (,)定义为： （1.10）其中称为积分核。为了保证信号f (x)的短时傅里叶变换（STFT）Gf (,)以及逆变换有意义，一个充分必要条件为: （1.11）另外，由于g(x)可以看成是对函数加权，因此，人们经常要求：（1）当时，g(x)0（2）当时，以及作为对于的加权，其贡献应该主要集中在x=附近。最常见的要求是：g(x-)在x=附近迅速衰减，使得窗口外的信息几乎可以忽略，而g(x-)起到时限作用，起到频限作用。当“时间窗”在x轴上移动时，信号f (x)“逐渐”进入分析状态，其短时傅里叶变换Gf (,)反映了f (x)在时刻x=、频率附

15、近“信号成分”的相对含量。根据前面的分析，写出两种常见的窗口函数如下。（1）B样条 （1.12）对于自然数，递推定义，(m2) （1.13）显然，Nm(x)是存在m-1阶导函数且仅在有限区间0，m上非零（称之为紧支集）的 函数。（2）高斯（Gaussian）函数，a0前面讨论了短时傅里叶变换的概念、性质以及窗口函数的取法。下面利用短时傅里叶变换的特性通过设计时域与频率窗口来分析信号的局部性质。设时域窗口的中心与半径分别为与，而频率窗口的中心与半径分别为与，显然，与应该分别为其“重心”，即其值满足式（1.14）： （1.14）利用统计学原理，窗口半径与应该设计为其“标准差”，表示有效半径，其值满

16、足式（1.15）： （1.15）为了对信号在（时间，频率）=附近的信息进行分析，时间-频率窗口的形式设计为。直接推得时间窗口与频率窗口的宽度分别为与。显然，上述时间与频率窗口的宽度仅跟窗口函数相关而跟待分析的时间、频率位置以及窗口中心无关，此时窗口的面积为。图1.3给出了随着平移所得到的一系列时间-频率窗口。图1.3 短时傅里叶变换分辨元胞的相空间表示从图1.3可直接看出，时间-频率窗口的宽度对于所观察的所有频率的谱具有不变特性，这一点不适应于非平稳信号的高频与低频部分的特性分析。事实上，对于高频信息，信号变化剧烈，时间周期相对变小，时间窗口应该变窄一些；而对于低频信息，信号变化平稳，时间周期

17、相对较大，时间窗口应相应设计得宽一些。也许有人会问：为了实现高精度的时间-频率局部化，是否可以选择某个窗口函数g(x)使得时间-频率窗具有充分小的面积。下面的“测不准原理”说明，对于任意窗口函数，其窗口面积不小于2个平方单位，即有如下定理。定理1.2 对于任意满足式（1.11）的窗口函数g(x)L2(R)，其窗口面积满足2 （1.16）当且仅当，ga(x)为前面定义的高斯函数以及当c=0，bR时，式（1.16）中的等号成立。证明 不失一般性，可以假设，于是 （1.17）由于=以及Parseval等式，故得到=将上式以及代入到式（1.17）中，直接得到另一方面，由于，因而有，即，因此从上式可以推

18、得：当x时，xg2(x)均存在极限，设，如果C10则这与g2(x)L1(R)矛盾，因此必有C1=0，类似可以推得C2=0，即。利用该式以及分步积分公式直接得到 （1.18）将式（1.18）代入Schwarz-Cauchy不等式，得到再将上式代入式（1.17），得到1，或者等价地得到2。定理1.2得到证明。图1.4给出了理想的时间-频率窗口应该具有的窗口特性，这是短时傅里叶变换无能为力的，因此有必要引入新的具有理想时间-频率窗口特性的新型窗口函数。时频窗口具有可调的性质，要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。图1.4 理想的时频分辨率1.2 连续小波变换1

19、.2.1 定义前面讨论的短时傅里叶变换（STFT）其窗口函数通过函数时间轴的平移与频率限制得到，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性，而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此特引入窗口函数，并定义变换 （1.19）其中，aR且a0。式（1.19）定义了连续小波变换，a为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b为时间平移因子。很显然，并非所有函数都能保证式（1.19）中表示的变换对于所有fL2(R)均有意义；另外，在实际应用尤其是信号处理以及图像处理的应用中，变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段，最终目的需

20、要回到原问题的求解，因此，还要保证连续小波变换存在逆变换。同时，作为窗口函数，为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性，经常要求函数(x)具有如下性质：，其中，C为与x,无关的常数，0。1.2.2 连续小波变换的计算从式（1.19）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 计算该时刻的连续小波变换系数C。如图1.5所示，C表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。小波变换的系数表示了小波与处在分析时

21、段内的信号的波形近似程度WaveletC=0.0102Signal图1.5 计算小波变换系数示意图 如图1.6所示，调整参数b，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 调整参数a，尺度伸缩，重复步骤。 重复步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。WaveletWaveletC=0.2247SignalSignal 图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算由小波变换的定义式（1.19），有其中，并设f (t)=f (kt)，t(k,k+1)，则 （1.20）式（1.20）可以通过

22、以上5步来实现，也可以用快速卷积运算来完成。卷积运算既可以在时域完成，也可以通过FFT来完成。在MATLAB小波变换工具箱中，连续小波变换就是按照式（1.20）进行的：/Matlab 实现连续小波变换的代码precis = 10; /小波函数积分精度控制signal = signal(:);len = length(signal);coefs = zeros(length(scales),len);nbscales = length(scales); psi_integ,xval = intwave(wname,precis);/计算从-到k的小波积分序列wtype = wavemngr(ty

23、pe,wname);if wtype=5 , psi_integ = conj(psi_integ); end /判断是否为复小波，对复小波取共轭xval = xval-xval(1);dx = xval(2);xmax = xval(end);ind = 1;for k = 1:nbscales /循环计算各尺度的小波系数 a = scales(k); j = 1+floor(0:a*xmax/(a*dx); if length(j)=1 , j = 1 1; end f = fliplr(psi_integ(j); coefs(ind,:) =-sqrt(a)*wkeep(diff(con

24、v(signal,f),len);/计算公式（1.20） ind = ind+1;end如何选择合适的尺度进行小波分析呢？实际的信号都是有限带宽的，而某一尺度下的小波相当于带通滤波器，此带通滤波器在频域必须与所分析的信号存在重叠。在工程中，我们近似地将小波频谱中能量最多的频率值作为小波的中心频率，选择合适的尺度使中心频率始终在被分析的信号带宽之内。图1.8表示了小波在具有2阶消失矩的Daubechies小波（DB4）跟和频率为0.71429的正弦信号在时域波形上的近似估计。-图1.8 小波中心频率的近似估计式（1.20）的Wf (a,b)的二次方|Wf (a,b)|2称为为小波功率谱，而平均小

25、波功率谱Wf (a)定义为其中，b0是尺度为a时b的起始位置；b1是尺度为a时b的结束位置。图1.9为一个正弦信号在墨西哥草帽小波基函数下的瞬态谱图。图1.10为该正弦信号的平均功率谱。图1.9 正弦信号的小波功率谱图1.10 正弦信号的小波平均功率谱1.3 连续小波基函数1.3.1 几种基函数小波基函数决定了小波变换的效率和效果。小波基函数可以灵活选择，并且可以根据所面对的问题构造基函数。下面列举了几个常用的连续小波基函数。（1）Haar小波 （1.21）可以说Haar小波是所有已知小波中最简单的，如图1.11所示。对于t的平移，Haar小波是正交的。对于一维Haar小波可以看成是完成了差分

26、运算，即给出与观测结果的平均值不相等的部分的差。显然，Haar小波不是连续可微函数。（2）Mexico草帽小波Mexico草帽小波是高斯函数的二阶导数，即 （1.22）系数主要是保证(t)的归一化，即。这个小波使用的是高斯平滑函数的二阶导数，由于波形与墨西哥草帽（Mexican Hat）抛面轮廓线相似而得名，如图1.12所示。它在视觉信息加工研究和边缘检测方面获得了较多的应用，因而也称做Marr小波。图1.11 Haar小波波形图图1.12 墨西哥草帽小波波形图由高斯函数的阶导数可以给出一簇小波 （1.23）式（1.23）中的常数是为了保证。虽然Mexican 草帽小波相当于式（1.23）中m

27、=2的情形，但由于是各向同性的，因而不能检测信号的不同方向。用Gauss函数的差（Difference of Gaussians，DOG）形成的DOG小波是Mexico草帽小波的良好近似，为 （1.24）（3）Morlet实小波 （1.25）（4）Morlet复值小波Morlet小波是最常用到的复值小波，其定义为式（1.26），波形如图1.13所示。 （1.26）式（1.26）的傅里叶变换为 （1.27）通常，05，0=5的情况用得最多。fB为带宽，fC为中心频率。（5）复高斯小波复高斯小波由复高斯函数的n阶导数构成，定义如下： （1.28）常数Cn用来保持小波函数的能量归一化特性。 （a）实

28、部 （b）虚部图1.13 Morlet复值小波的波形图（6）复香农小波 （1.29）式中，fB为带宽，fC为中心频率，m为正整数。1.3.2 连续小波基函数的选择 小波基函数选择可从以下3个方面考虑。（1）复值与实值小波的选择复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位信息，所以复值小波适合于分析计算信号的正常特性。而实值小波最好用来做峰值或者不连续性的检测。（2）连续小波的有效支撑区域的选择连续小波基函数都在有效支撑区域之外快速衰减。有效支撑区域越长，频率分辨率越好；有效支撑区域越短，时间分辨率越好。（3）小波形状的选择如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函数，

29、在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。1.4 连续小波变换的性质式（1.19）定义的变换与STFT相比较而言，除开时间轴上的平移外，还多了频率轴上的伸缩。下面我们将看到，正是由于同时引入时间平移与频率伸缩才能保证能够建立起具有时间、频率同时局部化的窗口函数。为了研究小波的时频局部化性质，首先讨论如下一个基本性质。引理1.1 对于函数f (x)的傅里叶变换而言，满足： （1.30）现在讨论由式（1.19）定义的窗口函数的时频局部化性质。从时域角度来看，当a,b(t)作为窗口函数时，其中心t0与窗口宽a,b分别为式（1.19）可以表示成卷积的形式。而从频率的

30、角度来看，利用Parseval等式，又有，因此利用，得到频率窗口的中心与宽度分别为 （1.31）记a=1，b=0，此时，而相应的时、频窗口参数分别记为，以及，。于是，可以建立下面等式： （1.32）下面讨论式（1.32）的证明。由于两个等式的证明相似，因此，为节省篇幅，只证明式（1.32）中第一行的等式。事实上，直接计算有类似得到。由式（1.32）建立时-频窗口满足：此时，窗口的时间宽度为2，频率宽度为2，因此其面积为4，与和的选取无关。窗口的特点：当需要检测高频分量时，减少的值，此时时间窗口自动变窄，而频率窗口自动变宽，此时为一时宽窄而频宽大的高频窗；而在检测低频分量时，增加值，时间窗口自动

31、变宽，频率窗口自动变窄，此时为一时宽大而频宽窄的低频窗。根据1.1.1节以及前面的讨论，作为窗口函数，(x)应该具有快速衰减性质，谓之为“小”，同时其振幅为正负相间的震荡形式，谓之为“波”，特别地，将式（1.19）所定义的变换称之为小波变换，而相应的函数(t)称之为小波函数。下面从系统响应的角度讨论小波变换的物理意义。设输入信号为f(x)，而系统的单位冲激响应设为，于是系统的输出满足 （1.33）式（1.33）表明，信号f (x)的连续小波变换等价于信号f (x)通过一单位冲激响应为的系统输出，另外，从引理1.1知道：因此，也可以将f(x)的连续小波变换视为传递函数为Ha()的系统的输出。另外

32、，通过前面的窗口函数的时频特性分析可知，(t)本质上是一个带通系统，而随着伸缩因子a的改变，a,b(t)对应着一系列带宽和中心频率各异的带通系统。根据式（1.33）可以总结出小波变换的下列物理特性：（1）信号f (t)的连续小波变换是一系列带通滤波器对f(t)滤波后的输出，Wf(a,b)中的参数a反映了带通滤波器的带宽和中心频率，而参数b反映了滤波后输出的时间参数。（2）设Q为滤波器的中心频率与带宽之比，即为品质因数，则伸缩因子a的变化形成的带通滤波器都是恒Q滤波器。（3）当伸缩因子a变化时，带通滤波器的带宽和中心频率也变化。当a较小时，中心频率较大，带宽变宽；当a变大时，中心频率变小，带宽变

33、窄。小波变换的这一特性对于信号f (t)的局部特性分析具有重要应用价值。例如，对于信号变化缓慢的地方，主要为低频成分，频率范围比较窄，此时小波变换的带通滤波器相当于a较大的情况；反之，信号发生突变的地方，主要为高频成分，频率范围比较宽，小波的带通滤波器相当于a较小的情形。总之，当伸缩因子从小到大变化时，滤波的范围从高频到低频变化，因此，小波变换具有变焦特性。（4）线性变换。小波变换是线性变换，具有线性变换具有的性质：叠加性。（5）时移特性。如果那么。（6）尺度转换。如果那么。（7）重建核（reproduction kernel）与重建核方程。重建核说明了小波变换的冗余性。即在（a,b）半平面内

34、各点小波变换的值是相关的。点（a0,b0）处的小波变换值可以由（a,b）半平面内各点小波变换的值来表示。 （1.34）在式（1.34）中， （1.35）是与的内积，反映了两者的相关程度，称为重建核；式（1.34）称为重建核方程。当a=a0，b=b0时，K有最大值。当（a,b）偏离了（a0,b0）时，K的值快速衰减，两者的相关区域就愈小。如果K=(a-a0,b-b0)，此时（a,b）平面内的小波变换值是互不相关的，小波变换所含的信息才没有冗余，这就要求不同尺度及不同平移的小波互相正交。不过，当（a,b）是连续变量时很难达到这样的要求。（8）小波谱图交叉项的性质。小波变换具有线性性质，不存在交叉项

35、。但是由小波变换引伸出来的能量分布函数|Wf (a,b)|2在多信号情况下具有交叉项。设 f (t)=f1(t)+f2(t)则 |Wf(a,b)|2=|Wf1(a,b)|2+|Wf2(a,b)|2+2|Wf1(a,b)|Wf2(a,b)|cos(1-2) （1.36）小波变换的交叉项只出现在，同时不为零的(a,b)处。这一点跟维格纳分布不同。两个信号在时频平面内不重叠，但是由两个信号线性组合而成的信号显然存在交叉项。图1.14为两个信号的小波谱图，可见小波谱图在多信号的情况下没有交叉项的困扰。而图1.15两个调频信号的威格纳分布得到的时频分布图，存在交叉项。图1.14 两个信号的小波谱图图1.

36、15 两个线性调频信号的维格纳谱图例1.1 设小波函数(t)为墨西哥草帽小波 （1.37）它是高斯概率密度函数的二阶导函数。容易验证，式（1.37）定义的函数对于任意，式（1.19）均有意义。直接计算得到系统的传递函数满足 （1.38）不难看出，是一典型的带通滤波器。其中，心频率；带宽；品质因数。另外，不难比较出连续小波变换与短时傅里叶变换存在如下区别。（1）从频率角度来看，小波函数与短时傅里叶变换中的基函数同为带通滤波器组，但是，小波变换对应的带宽是可调的，而短时傅里叶变换对应的带宽是恒定的。因此，小波变换将信号分解为对数坐标中具有相同频宽的函数集合，而短时傅里叶变换将信号分解为线性坐标中具

37、有相同频宽的函数集合。（2）从时频分辨率的角度看，短时傅里叶变换中当窗口函数给定后，其时间分辨率和频率分辨率在信号的整个时频段为恒定常数，且相空间中的时频窗口是固定不变的。而小波变换可以较好地解决时间分辨率同频率分辨率的矛盾，在信号低频段取高的频率分辨率和低的时间分辨率，而在信号高频段采样则取低的频率分辨率同高的时间分辨率。在相空间中，小波变换对应的时频窗口的面积固定不变，但是，时窗和频窗相对改变。其具体做法是在高频时使用短时窗和宽频窗，而在低频时则使用宽时窗和短频窗。这一点正是人们所说的小波变换之自适应分辨分析特性，符合人类对分析非平稳信号特性的要求。因此，小波也经常被人们称为“数学显微镜”

38、。（3）从基函数的角度看，短时傅里叶变换具有正交特性，基函数由连续三角正交基eit构成，由此带来的结果是：在处理非平稳信号时，由于频率成分比较丰富，故利用短时傅里叶变换展开时其系数的能量必然包含很宽的范围；而小波变换则不一定要求其正交特性，基函数也可以取非三角函数，因此，在更宽松的条件下可以取到合适的小波，使得按照小波变换展开时其系数的能量比较集中，这一点对于图像与数据的压缩是相当重要的性质。前面根据小波变换的定义讨论了小波变换的物理特性，比较了小波与短时傅里叶变换的区别。现在需要解决的问题是，研究函数(t)使得式（1.19）有意义的条件，以及如何找到满足式（1.19）的“小波”函数等，从而建

39、立起小波的理论框架。由于“小波”表现在函数图形上应该为主要存在于一小段区域内的“波形”，因此要求满足 （1.39）条件式（1.39）又可以等价地表示为下列“容许条件”： （1.40）满足条件式（1.39）或式（1.40）的函数称之为“基”小波函数或母小波函数。除开上面的式（1.39）外，小波一般要求具有下面的性质：函数(t)具有紧支集（撑）（compact support）特性，即在某个有限区间外，函数值为零，同时函数一般具有速降特性，以便获得空间局部化。按照Grossmann-Morlet的处理方式，除式（1.39）要求满足外，还要求对于某个自然数N，函数(t)存在N阶“消失矩”，即 （1.

40、41）随着N增加，小波函数(t)振荡一般会表现得越来越剧烈。消失矩性质也可以通过函数(t)的傅里叶变换性质来表达。事实上，式（1.41）的等价表示为另外，在信号处理过程中，由于信号的频率通常为正，因此，“容许条件”经常限 制为 （1.42）式（1.42）很容易满足。事实上，取(t)为实函数，则有立即推得式（1.42）成立。下面根据小波函数的重构特性分别得到连续小波的概念与性质，并讨论利用连续小波重构能量有限信号的问题。定理1.3 令(t)为基小波，则对所有f,gL2(R)有 （1.43）进一步地，对于fL2(R)以及f的连续点xR，有 （1.44）其中 。式（1.44）实际上给出了利用信号的连

41、续小波变换重构原信号的公式。证明 由以及Parseval等式得到因此有当f(x)在x处连续时，取，并利用性质, 对f (x)的连续点成立。因此，如果令，则由式（1.44）的右端得到特别地，如果取a0，则上面重构公式可以等价地表示为 （1.45）以及 （1.46）式（1.45）与式（1.46）本质上是利用函数f (x)的小波变换Wf (a,b)来得到整个时间与频率轴上的信息，并利用所有的信息重构（重建）原信号f。这一点给实际应用带来极大不便，因为实际问题中人们知道的信息都是离散的（采样得到）。因此，人们很自然地希望在只知道部分离散信息的情况下也能重构原信号。事实上，人们已经得到过一些只需知道部分

42、离散信息重构f的例子，其中最有名的便是信息论中最基本的Shannon采样定理。Shannon采样定理 设f (t)为带限信号，即存在使得对于|2成立，则当采样率T满足T时，有 （1.47）式（1.47）表明，当信号满足一定条件时，只要知道部分相关的离散信息就可以精确地重构原信号。下面研究根据信号在小波变换下的部分离散信息重构原信号的问题。1.5 频率离散化重构原信号二进小波为了讨论根据频率值a离散化时原信号的精确重构问题，首先考虑前面讨论过的频率窗口：，显然，当a取所有大于0的实数值时，频率轴0,+将会被完全覆盖，同时也不难发现，这种覆盖存在严重的交叉覆盖因而产生覆盖的冗余。为了在完全覆盖的前

43、提下避免冗余现象的出现，下面讨论取特殊离散值的覆盖问题，使得按照小波函数(t)所对应的窗口半径构成如下划分：事实上，只要取频率参数aj为二进制整数aj=2-j，频率窗口就为 （1.48）其中为所确定的窗口中心。为方便计，还可以假定，否则取，构造函数，则当为小波函数时，也构成仅改变原有小波的相位的小波函数，且，。此时所对应的窗口中心，于是式（1.48）所描述的频率窗可简化为，当j取遍整数集Z中所有元素时，0,+)上所对应的傅里叶变换将完全被上述窗口所覆盖。为了在傅里叶离散化的情形下能够精确重建原信号，需要对基小波做进一步的限制。定义1.2（二进小波） 若存在常数0AB，使0AB （1.49）几乎

44、处处成立，则称是一个二进小波，式（1.49）称为稳定性条件。现在说明二进小波首先是基小波，即有如下定理。定理1.4 二进小波是基小波，且有， （1.50）进一步地，当A=B时，式（1.40）简化为 （1.51）证明 易知=，因此对于任意自然数N，不难推得两端取极限有同理有因此，二进小波一定是基小波，证毕。下面说明在二进小波的前提下，只需知道其小波变换在处的（频率）信息，就可以重构f。为此定义， （1.52）并引入另一二进小波（称为二进对偶），满足 （1.53）于是有并且可以建立下面的定理。定理1.5 设为二进小波，则当时，f可以通过 重构，并且为证明定理1.5，需要用到下列引理。引理1.2 设

45、函数，则对于其卷积运算有 （1.54）对于小波变换，利用引理1.2，可以推得 （1.55）定理1.5的证明。事实上上式表明，确实可以由频率参数的离散化来精确重构原信号。1.6 时频离散化重构原信号框架在基小波的情形下，前面介绍了利用小波变换关于时间域与频率域的所有信息重构原信号的问题，而在二进小波的前提下，则得到小波变换频率域离散、时间域连续情况下信号的重构算法，下面将讨论时间域与频率域均离散的情形下信号的精确重建问题。此时，基小波与二进小波都不能实现信号的精确重建，需要对二进小波作进一步的限制。为此，需要引入框架的概念。首先设时间参数，b0称为采样率，令则框架可以按照下列方式定义。定义1.3（框架） 对于采样率为的小波函数，如果对于任意，有 （1.56）对常数0AB成立，则称生成L2(R)的一个框架，当A=B时称为紧框架。下面说明在紧框架的前提下，确实可以利用小波变换在时间域与频率域上的离散化信息来精确重建原信号。首先定义线性算子T为, （1.57）根据框架的定义直接推得T是一个一对一的有界线性算子，利用泛函分析中的开映射原理，在式（1.56）成立的前提下，T的逆存在且有界。事实上设g=Tf，于是有因此，即有。因此对于每个，推得 （1.58）定义，并