矩形的性质与判定的综合应用

1、第一章 特殊平行四边形,1.2 矩形的性质与判定,第3课时 矩形的性质与判定 的综合应用,宝鸡市第一中学 胡华楼,1,题型,利用矩形的判定和性质解和差问题,如图，在ABC中，ABAC，点P是BC上任意一点，PEAB，PFAC，BDAC，垂足分别为E，F，D. (1)求证：BDPEPF. (2)当点P在BC的延长线 上时，其他条件不变 如图，BD，PE，PF之间的上述关系还成立 吗？若不成立，请说明理由,(1)如图，作BHFP交FP的延长线于点H. BDAC，PFAC，BHPF， 四边形BDFH是矩形 BDHF. ABAC， ABCC. PEAB，PFAC， PEBPFC90. EPBFPC.,

2、证明：,又HPBFPC， EPBHPB. PEAB，PHBH， PEBPHB90. 又PBPB， PEBPHB. 则PEPH. BDHFPFPHPFPE. 即BDPEPF.,(2)不成立，PEBDPF. 理由：作BHPF交PF的延长线于点H. 与(1)同理可得PEPH，BDHF. PEFHFPBDPF.,解：,2如图，已知点E是ABCD中BC边的中点，连接 AE并延长交DC的延长线于点F. (1)连接AC，BF，若AEC2ABC，求证： 四边形ABFC为矩形； (2)在(1)的条件下，若AFD 是等边三角形，且边长为4， 求四边形ABFC的面积,2,题型,利用矩形的判定和性质解面积问题,(1)

3、四边形ABCD为平行四边形， ABDC. ABEECF. 又点E为BC的中点， BECE. 又AEBFEC， ABEFCE. ABCF.,证明：,又ABCF， 四边形ABFC为平行四边形 AEEF. AEC为ABE的外角， AECABCEAB. 又AEC2ABC， ABCEAB.AEBE. AEEFBECE，即AFBC. 四边形ABFC为矩形,(2)四边形ABFC是矩形， ACDF. 又AFD是等边三角形，且边长为4， CFCD 2. AC S矩形ABFC,解：,3如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，且DEAC，AEBD. 求证：四边形AODE是矩形,3,题型,利用矩形的定义判定

4、与菱形有关的矩形,DEAC，AEBD， 四边形AODE是平行四边形 四边形ABCD是菱形， ACBD. AOD90. 四边形AODE是矩形,证明：,4如图，已知ACBADB90，N，M分别 是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系， 并说明理由,4,题型,利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系,MNCD. 理由如下： 如图，连接ND，NC. 在RtABD中，ADB90，N是AB的中点， ND AB.同理可证NC AB. NDNC. NDC是等腰三角形 在等腰三角形NDC中， M是CD的中点， MNCD.,解：,5阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图， 我们把一个四

5、边形ABCD 的四边中点E，F，G， H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边 形吗？,5,题型,利用矩形、菱形的判定探究条件,小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.,参考小敏思考问题的方法，解决以下问题： (1)若只改变图中四边形ABCD的形状(如图)，则 四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由 (2)如图，在(1)的条件下，若连接AC，BD. 当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱 形？写出结论并说明理由 当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩 形直接写出结论,(1)四边形EFGH还是平行四边形理由如下： 连接AC. E，F分别是AB，BC的中点， EFAC，EF

6、 AC. G，H分别是CD，AD的中点， GHAC, GH AC. EFGH，EFGH. 四边形EFGH是平行四边形,解：,(2)当ACBD时，四边形EFGH是菱形 理由如下： 由(1)可知四边形EFGH是平行四边形， 当ACBD时，FG BD，EF AC， FGEF. 四边形EFGH是菱形 当ACBD时，四边形EFGH是矩形 点拨：(2)中由(1)可知四边形EFGH是平行 四边形，,E，F分别是AB，BC的中点， EFAC. ACBD，EFBD. G，F分别是CD，BC的中点， FGBD. EFBD， EFFG.即EFG90. 四边形EFGH是矩形,6已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一

7、点，且 BEBC，AB3，BC4，点P是EC上的一动点， 且PQBC于点Q，PRBD于点R.,6,题型,利用矩形的性质探究动点问题,(1)如图，当点P为线段EC的中点时， 求证：PRPQ (2)如图，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点 C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由 (3)如图，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其 他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想,(1)连接BP，作CHBD于点H. BEBC，点P为CE的中点， BP是EBC的平分线 PRBE，PQBC， PRPQ. 在矩形ABCD中，BCD90， BC4，CDAB3， ,证明：,由SBCD BCCD BDCH， 得CH SPBESPBCSBCE