1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

1、1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算,课堂引入,亚洲小巨人姚明在选秀时，NBA官员将姚明的身高登记为7英尺5.5英寸，而姚明的身高为227厘米，对于同一个身高问题，有不同的度量制度，长度还可以用码等不同的单位度量，物体的重量可以用千克、磅等不同的单位度量.不同的单位制能给解决问题带来方便，以度为单位度量角的大小是一种常用方法，为了进一步研究的需要，我们还需建立一个度量角的单位制.也就是我们这一节要学习的：,弧度制,在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？,1的角,角度制,把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度。,即周角的 为1度的角。,这种用1角作单位

2、来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度弧度制。,探究：圆心角、弧长和半径之间的关系：,角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过 程中，射线上的任意一点（端点除外）必然形成一条圆 弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的， 但都对应同一个,=定值.,设=n， 弧长为l，半径OA为r， 则 ， 可以看出，等式右端不包含 半径，表示弧长与半径的 比值与半径无关，只与的 大小有关. 所以我们可以得出如下结论：,启示：可以用圆的半径作单位去度量弧.,在这些同心圆中，同一圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即,弧度制 ：,单位符号 ：rad,读作弧

3、度,定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度（rad）的角。,AOB=1rad,AOC=2rad,(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0,(2)角的弧度数的绝对值,（,(4)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但量数相同（都是0）,(5)用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，量数也不同。,(3)以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制,把角度换成弧度,把弧度换成角度,角度与弧度间的换算,基本关系,导出关系,提升总结：弧度制和角度制的关系：,注: 1.以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用“度”（）为单位时不

4、能省. 2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少”的形式, 如无特别要求，不用将化成小数.,记住一些常见的角度与弧度制的换算：,例1. (1)把11230化成弧度（精确到0.001）; (2)把11230化成弧度（用表示）. 分析：这里，我们写出把角度值n换算为弧度制的一个“算法”. （1）给变量n和圆周率 的近似值赋值； （2）如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；,【例题精讲】,（3）计算 （把 换算为弧度值），得出的结 果赋给变量a； （4）计算 ，赋值给变量 . 就是这个角的 弧度值.,解：(1)按照上面写出的算法步骤，依次计算：,练习1. 把

5、 化成度.,练习2,【拓展提升】 1.用弧度数表示象限角,2.弧度制下,终边落在坐标轴上的角的集合表示,终边相同的角,（1）用角度表示,（2）用弧度表示,与终边相同的角构成一个集合：,与终边相同的角构成的集合：,怎样用弧度制表示弧长公式：,弧长等于弧所对的圆心角的弧度数的绝对值与半径的积.,由公式：,比公式 简单.,弧长公式,圆心角必须为弧度数,弧长公式与扇形面积公式 1、角度制下的弧长公式 角度制下的扇形面积公式 2、弧度制下的弧长公式 弧度制制下的扇形面积公式,练习： （1）已知扇形周长为20cm，面积为9cm2，求扇形圆心角的弧度数。 （2）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心

6、角各为多少时，扇形面积最大？最大值是多少。,（2）若一扇形的周长为60cm，那么当它的半径和圆心角各为多少时，扇形面积最大？最大值是多少。,20.(1)因为120= 所以l=6 =4,所以 的长为4. (2)因为S扇形AOB= lr= 46=12, 如题干图所示有 SAOB= ABOD(D为AB中点) = 26cos306sin30= 所以S扇形AOB-SAOB=12- 即弓形的面积是12-,本节课我们主要学习了： （1）弧度制的定义. （2）角度与弧度的换算公式，利用 进行角度制与弧度制的相互转化. （3）一些特殊角的弧度数. （4）弧长与扇形面积公式.,-225化为弧度为() 【解析】选C

7、.-225=-225,化为角度为() A.75B.105C.135D.175 【解析】选A.,13.4rad的角的终边在第象限. 【解析】由4 ,知4rad的角的终边在第三象限. 答案:三,14.半径为cm,圆心角为30的扇形的弧长为cm. 【解析】因为=30= r=,知l= 答案:,15.已知扇形所在圆的半径为1,圆心角的弧度数为 则该扇形的 面积为. 【解析】设扇形的弧长为l,则l=R= 所以该扇形的面积S= 答案:,16.与角 终边相同的角是() 2.已知角=-1480. (1)将改写成+2k(kZ,02)的形式,并指出是 第几象限的角. (2)在区间-4,0)上找出与终边相同的角.,1

8、6.与角 终边相同的角是( C),【解析】1.选C.选项A中 与角 终边相同,故A错;2k- ,kZ,当k=1时,得0,2)之间 的角为 ,故与 有相同的终边,B错;2k- ,kZ,当k=2时, 得0,2)之间的角为 ,与 有相同的终边,故C对;(2k+1)+ ,kZ,当k=0时,得0,2)之间的角为 ,故D错.,2.(1)-1480= 又 所以与 终边相同,是第四象限的角. (2)与终边相同的角可以写为= +2k(kZ), 又-40,所以当k=-1时,= 当k=-2时,= 所以与终边相同的角为,17.已知角=-1480. (1)将改写成+2k(kZ,02)的形式,并指出是 第几象限的角. (

9、2)在区间-4,0)上找出与终边相同的角.,(2)与终边相同的角可以写为= +2k(kZ), 又-40,所以当k=-1时,= 当k=-2时,= 所以与终边相同的角为,17.已知角=-1480. (1)将改写成+2k(kZ,02)的形式,并指出是第几象限的角. (2)在区间-4,0)上找出与终边相同的角.,18.已知一扇形的弧所对的圆心角为72,半径r=30cm, 则扇形的周长为. 【解析】扇形的圆心角=72= 弧长l=r= 30=12(cm). 故扇形的周长为(60+12)cm. 答案:(60+12)cm,类型三 与扇形弧长、面积有关的问题 【典例】1.某扇形的面积为1cm2,它的周长为4cm,那么该扇形的 圆心角等于() A.2B.2C.4D.4 2.如图,已知扇形AOB的圆心角为120,半径长为6,求: (1