高一数学教案：正弦定理、余弦定理(4)

1、课题：正弦定理、余弦定理（4）教学目的：1 进一步熟悉正、余弦定理内容；2 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点 : 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1 启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2 引导学生总结三角恒等式的

2、证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：abc正弦定理： sin Asin B2Rsin C余弦定理： a 2b 2c22bc cos A,cos Ab2c2a 22bcb2c 2a 22ca cos B,cos Bc 2a2b 22caa 2b 2c 2c 2a2b22ab cosC ，cosC2ab二、讲解范例：例 1 在任一 ABC中求证：a(sin Bsin C )b(sin Csin A) c(sin A sin B)0证：左边 = 2Rsin A(sinB sinC) 2RsinB(sinCsin A)2RsinC(sin A sin B

3、)= 2Rsin Asin Bsin AsinCsinBsinCsin Bsin A sinC sin AsinC sinB =0=右边例 2在 ABC中，已知 a3 ， b2 ，B=45求 A、 C 及 ca sin B3 sin 453sin A解一：由正弦定理得：b22第 1页共 7页B=45 90即 ba A=60 或 120当 A=60 时 C=75当 A=120 时 C=15b sin C2 sin 7562csin 452sin Bb sin C2 sin 1562csin 452sin B解二：设 c=x 由余弦定理b2a 2c22ac cos B将已知条件代入，整理：x 26

4、x10x622解之：c622当时b2c2a 22 ( 6 22 ) 2313cos A2bc622(31)2222从而 A=60， C=75c622时同理可求得： A=120，C=15当例 3在 ABC中， BC=a, AC=b, a, b 是方程 x 223x20 的两个根，且2cos(A+B)=1求（ 1）角 C 的度数（ 2）AB 的长度（ 3） ABC的面积1解：（ 1） cosC=cos(A+B)=cos(A+B)=2C=120ab2 3ab2（2）由题设：AB2=AC2+BC2 2AC?BC?osC a 2b 22ab cos120a2b2ab (ab)2ab(2 3) 2210即

5、 AB= 101 ab sin C1 ab sin1201 233（3） S ABC=22222例 4如图，在四边形ABCD 中，已知 AD CD, AD=10,AB=14,第 2页共 7页BDA=60 ,BCD=135求 BC的长解：在 ABD 中，设 BD=x则 BA2BD 2AD 22BD AD cosBDA即 14 2x 210 22 10xcos60整理得： x 210x960解之： x116x26 （舍去）由余弦定理：BCBDBC16sin 3082sinCDBsinBCDsin 135例 5 ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1 求最大角 ;2 求以此最大角为内角，

6、夹此角两边之和为4 的平行四边形的最大面积解： 1设三边 ak1,bk, ck1kN且 k1cosCa2b2c2k402ac2( k1)C 为钝角解得 1k 4 kN k2 或 3但 k2 时不能构成三角形应舍去a2, b3, c4, cosC1109当 k3时,C42 设夹 C 角的两边为 x, yxy4xy sin Cx(4x)1515(x24x)S44当 x2 时 S 最大 =15例 6 在 ABC中， AB 5， AC3 ，D 为 BC中点，且 AD 4，求 BC 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为后，建立关于的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理

7、在建立方程时所发挥的作用因为 D 为 BCx中点，所以BD、DC可表示为2 ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程x解：设 BC 边为，则由D 为 BC中点，可得BD DC 2 ，第 3页共 7页2x22AD 2BD 2AB 24 ( 2)5,2AD BDx24在 ADB 中， cosADB2AD2DC2AC242( x )2322x.2 AD DC24在 ADC中， cosADC2又 ADB ADC 180 cosADB cos（180 ADC） cosADC42( x ) 25242( x ) 2322224x24 x22解得， 2, 所以， BC 边长为 2评述：此题要启发学生

8、注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：ABBD5由三角形内角平分线性质可得ACDC3 ，设 BD5 ，DC 3，则由互补角 ADC、ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cosA，再由同角平方关系求出 sinA三、课堂练习：1 半径为1 的圆内接三角形的面积为0 25，求此三角形三边长的乘积1解：设 ABC三边为 a， b， c 则 ABCacsin B2S ABCac sin Bsin B abc2abc2bb2R又 sin B，其

9、中 R 为三角形外接圆半径S ABC1 abc4R , abc4RS ABC4 1 0 251所以三角形三边长的乘积为1评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：abc2Rsin Asin Bsin C，其中 R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式第 4页共 7页1 acsin B ABC 2发生联系，对abc 进行整体求解2 在 ABC 中，已知角B45， D 是 BC 边上一点， AD5， AC7， DC 3，求AB解：在 ADC中，AC 2DC 2AD 272325211 ,cosC2AC DC273145 3又 0 C 180， sinC 14ACAB在 ABC

10、中， sin Bsin Csin C AC5 32 75 6 .AB sin B142评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用353 在 ABC 中，已知 cosA 5 ， sinB 13 ，求 cosC 的值32解： cosA 5 2 cos45， 0 A4 45 A 90, sinA 55 1 sinB 13 2 sin30， 0 B 0 B 30或 150 B180若 B 150，则 B A 180与题意不符120 B 30cosB 133124516cos（ A B） cosA cosBsinA sinB 51351365又 C18

11、0（ A B）16cosC cos 180（ AB） cos（ A B） 65第 5页共 7页评述： 此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围， 以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较四、小结通过本节学习， 我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、 余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记及备用资料：1 正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：s

12、in2A sin2B sin2C 2sinBsinCcosA这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题， 简捷明快， 下面举例说明之例 1在 ABC中，已知 sin2B sin2C sin2A3 sinAsinC，求 B 的度数解：由定理得sin2B sin2Asin2C 2sinAsinCcosB， 2sinAsinCcosB 3 sinAsinC3sinAsinC 0 cos 2B150 例 2求 sin210 cos240 sin10 cos40的值解：原式 sin210 sin250 sin10 sin50在 sin2A sin2B sin2C 2sinBsinCcosA中，

13、令 B10， C 50，则 A 120sin2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos12033sin210 sin250 sin10 sin50（ 2） 2 4例 3在 ABC中，已知 2cosBsinC sinA，试判定 ABC 的形状解：在原等式两边同乘以 sinA 得： 2cosBsinAsinC sin2A，由定理得 sin2A sin2C sin2 sin2A， sin2C sin2B B C故 ABC是等腰三角形2 一题多证例 4在 ABC中已知 a 2bcosC，求证： ABC为等腰三角形证法一：欲证 ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，b sin A使只剩含角的三角函数由正弦定理得a sin Bbsin A 2bcosC sin B ，即 2cosC sinB sinA sin（ B C） sinBcosC cosBsinC sinBcosC cosBsinC 0第 6页共 7页即 sin（ BC） 0， B C（）B、 C 是三角形的内角， B C，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有 a