高一数学教案[苏教版]等差数列2

1、第四 等差数列 (二 )教学目 ：明确等差中 的概念， 一步熟 掌握等差数列的通 公式及推 公式；培养学生的 用意 ，提高学生的数学素 .教学重点：等差数列的定 、通 公式、性 的理解与 用.教学 点：灵活 用等差数列的定 及性 解决一些相关 .教学 程： .复 回 等差数列定 ：an an 1 d(n 2)，等差数列通 公式：an a1( n1)d( n 1)，推 公式： an m a ( n m) d . 授新 首先， 同学 来思考 一个 .问题 1：如果在 a 与 b 中 插入一个数A，使 a、 A、 b 成等差数列，那么A 足什么条件？由等差数列定 及a、 A、 b 成等差数列可得：

2、A a bA ，即： a a b.2反之，若 Aa b， 2A a b， A a bA，即 a、 A、 b 成等差数列 .2 之， A a ba，A， b 成等差数列 .2如果 a、 A、 b 成等差数列，那么 a 叫做 a 与 b 的等差中 .不 ，在一个等差数列中，从第2 起，每一 （有 数列的末 除外）都是它的前一 与后一 的等差中 .如数列： 1， 3，5， 7， 9， 11， 13，中， 3 是 1 和 5 的等差中 ，5 是 3 和 7 的等差中 ， 7 是 5 和 9 的等差中 等等 . 一步思考，同学 是否 什么 律呢？3 7比如 5 不 是 3 和 7 的等差中 ，同 它也是

3、1 和 9 的等差中 ，即不 足 5 2，同 足 5 1 9.2再如 7 不 是 5 和 9 的等差中 ，同 它也是3 和 11 的等差中 ， 是1 和 13 的等差中 ，即： 7 5 9 3 111 13 .222看来， a2 a4 a1 a5 2a3， a4 a6a3 a7 2a5依此 推，可得在一等差数列中，若m n p q， am an ap aq.下面，我 来看一个 .例 1梯子的最高一 33 cm ，最低一 110 cm，中 有 10 ，各 的 度成等差数列， 算中 各 的 度.第 1页共4页 an 是不是等差数列，只要看分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解

4、，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解 .解：用 an 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1 33，a12110，n 12.由通项公式，得a12 a1 (12 1)d，即： 11033 11d，解得： d 7.因此， a2 33 7 40， a3 40 7 47， a4 54， a5 61， a6 68， a7 75， a8 82， a9 89， a10 96， a11103.答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm， 89 cm， 96 cm， 103 cm.评述：要注意将模型的解还原

5、为实际问题的解.例 2已知数列的通项公式为anpn q，其中是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定p、 q 是常数，且p 0，那么这个数列an an 1(n 2)是不是一个与 n 无关的常数就行了 .解：取数列 an 中的任意相邻两项 an 1n与 a (n 2)，an an 1( pn q) p(n 1) q pnq (pn p q) p它是一个与 n 无关的常数，所以 an 是等差数列，且公差是p.在通项公式令 n 1，得 a1 p q，所以这个等差数列的首项是p q，公差是 p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an pn q（其中 p、q 是常

6、数）当 p 0 时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y q 的图象上 .当p 0 时，它是关于n 的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点均在一次函数y pxq 的图象上 .例如，首项是 1，公差是2 的无穷等差数列的通项公式为： any2x 1 上的均2n 1，相应的图象是直线匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：例 3已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为 83，求此三个数 .解：设此三数分别为x d、 x、 x d（ x d） x（ x d） 15则 （ x d） 2 x2（ x d） 2 83解得 x 5， d 2.所求三个数列分别为3、 5、 7 或 7、 5、

7、3.评述：三个数成等差数列时注意其设法.例 4已知数列 an12 3，若在每相邻两项之间插入三个数后， 为等差数列， a 2， a和原数列仍构成一个等差数列，试问：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项？（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项？分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.解：原数列的第一项是新数列的第1 项，原数列的第二项是新数列的第2 35 项，原第 2页共4页数列的第三 是新数列的第3 2 39 项 .原数列的第n 是新数列的第 n (n 1) 3 4n 3 项 .（ 1）当 n 1

8、2 ， 4n 3 4 123 45，故原数列的第12 是新数列的第 45 项.（ 2）令 4n 3 29，解得 n 8，故新数列的第 29 是原数列的第 8 项. 述：一般地，在公差 d 的等差数列每相 两 之 插入m 个数，构成一个新的等差dn (n 1)m(m 1)n m 项.数列， 新数列的公差 m1 ，原数列的第 n 是新数列的第例 5在等差数列 an 中，若 a3 a8 a13 12， a3a8a13 28，求 an 的通 公式 .分析一：利用等差数列的通 公式求解.解法一： 所求的通 公式 an a1 (n 1)d1 2d）（ a1 7d）（ a1 12d） 12则（ a（ a1

9、2d）（ a1 7d）（ a1 12d） 28即a1 7d 4（ a1 2d）（ a17d）（ a112d） 28 代入得（ a 2d） (a 12d) 711 a1 47d，代入，（ 4 5d） (4 5d) 8即 16 25d2 7，解得 d 3 . 5311334当 d 5 ， a1 5， an 5 (n1) 5 5 n5当 d3141n4133445 ， a 5， a 5 (n 1)（ 5） 5n 5 .分析二： a3， a8，a13 作 一个整体，再利用性 ：若m n p q， aman ap aq解 .解法二： a3 a13 a8 a8 2a8，又 a3 a8 a13 12，故知

10、a8 4代入已知得a3a13 8a3 1a3 7a3 a13 7解得 a13 7 或 a13113 a37 13a由 a3 1，a137 得 d 13 3 10 5 .334 an a3 (n3) 5 5 n 5 .3 44由 a3 7，a131，仿上可得： an 5 n 5 . 述：在解答本 ， 首先 注意到 an是等差数列 个大前提，3818否 ， 有 a a a 12 及 a3a8a13 28 就无法求出 a3，a8，a13 的具体 ；其次， 注意到a3，a8 ，a13 中脚 3，8， 13 的关系： 3 13 88，从而得到 a a a a 2a .313888 . 堂 本 P36 练

11、习已知一个无 等差数列的首 a1，公差 d:(1)将数列中的前 m 去掉，其余各 成一个新的数第 3页共4页列， 个数列是等差数列 ？如果是，它的首 与公差分 是多少？解： 一无 等差数列 ：a1， a2， am， am+1， an，若去掉前 m ， 新数列 ： am+1nm+1，公差 d 的等差数列 .， a ，即首 a（ 2）取出数列中的所有奇数 ， 成一个新的数列， 个数列是等差数列 ？如果是，它的首 与公差分 是多少？解：若 一无 等差数列 ：a1， a2， a3， a4， a5， an， 取出数列中的所有奇数 ， 成的新数列 ：a1， a3， a5， a2m 1，即，首 a1，公差 2d 的等差数列 .（ 3）取出数列中的所有 数 7 的倍数的各 ， 成一个新的数列， 个数列是等差数列 ？如果是，它的首 与公差