高三数学一轮复习：集合

1、集合（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于 ”关系 .2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。知识网络无限集有限集分类集合的概念空集集确补定集性元素的性质合2009 年高考的命题情况，我们可以预测2010 年集合部分在选根据考试大纲的要求，结

2、合择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、 集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.第 1 课时基础过关集合的概念一、集合1集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象集合，简称集合中的每一个对象叫做这个集合的2集合中的元素属性具有：(1) 确定性；(2)； (3)就成为一个3 集合的表示法常用的有用，无限集常用二、元素与集合的关系、和韦恩图法三种，

3、有限集常，图示法常用于表示集合之间的相互关系4元素与集合是属于和若 a 不是集合 B 的元素，记作的从属关系， 若 a 是集合 A 的元素， 记作但是要注意元素与集合是相对而言的，三、集合与集合的关系5集合与集合的关系用符号表示6子集：若集合 A 中都是集合 B 的元素，就说集合A 包含于集合 B（或集合 B包含集合 A），记作7相等：若集合 A 中都是集合 B 的元素，同时集合B 中都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合 B，记作8真子集：如果就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作9若集合 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有个，真子集有个，非空真子集有个10空集 是一个特殊而又重要的

4、集合，它不含任何元素，是任何集合的，是任何非空集合的，解题时不可忽视典型例题AxN |8N例 1. 已知集合6x，试求集合 A 的所有子集 .解：由题意可知 6x 是 8 的正约数，所以6 x 可以是 1,2, 4,8 ；相应的 x 为2, 4,5 ，即 A2,4,5. A 的所有子集为,2,4,5,2,4,2,5,4,52,4,5.1, ab, a0, b , b ,变式训练 1.若 a,bR,集合a求 b-a 的值 .1, ab , a0, b , b解：由a可知 a0，则只能 a+b=0，则有以下对应关系：ab 0ab 0babaab1b1a或a 1,由得b 1符合题意；无解.所以 b-

5、a=2.例 2. 设集合U2,3, a22a3，A| 2a1|,2，CU A5，求实数 a 的值 .解：此时只可能a22a35 ，易得 a2 或4 。当 a2 时， A2,3 符合题意。当 a4 时， A9,3不符合题意，舍去。故 a2 。变式训练 2 ：（1） P x|x2 2x 3 0， Sx|ax 2 0， SP，求 a 取值？（2） A 2x 5， B x|m 1 x 2m 1， BA,求 m。解：（ 1） a 0,S，P 成立a0， S，由 SP， P 3， 122得 3a 20， a 3或 a 2 0， a 2；a值为 0 或 3 或 2.（2） B ，即 m 12m 1,m2A

6、成立 .m12m12m1B ，由题意得52m1得 2 m3 m2或 2m 3即 m 3 为取值范围 .注：（ 1）特殊集合作用，常易漏掉例 3. 已知集合 A=x|mx2 -2x+3=0， m R.（1）若 A 是空集，求m 的取值范围；（2）若 A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若 A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围 .解：集合 A 是方程 mx2-2x+3=0 在实数范围内的解集.(1) A 是空集，方程mx2-2x+3=0 无解 .1 =4-12m 3 .（ 2） A 中只有一个元素，方程 mx2-2x+3=0 只有一个解 .3若 m=0，方程为 -2x+3=0，只有一解 x=

7、 2 ;1若 m 0，则 =0，即 4-12m=0,m= 3 .1 m=0 或 m= 3 .(3)A 中至多只有一个元素包含 A 中只有一个元素和 A 是空集两种含义，根据（ 1）、（ 2）的结果，1得 m=0 或 m 3 .变式训练 3.（1）已知 A=a+2，（a+1）2， a2+3a+3且 1 A，求实数a 的值；（ 2）已知 M=2， a， b， N=2a， 2， b2且 M=N，求 a， b 的值 .解：（ 1）由题意知：a+2=1 或 (a+1)2=1 或 a2+3a+3=1，a=-1 或-2 或 0，根据元素的互异性排除-1， -2, a=0 即为所求 .a14 ,a2aa2a0

8、a0b1（2）由题意知 , bb2或 b2ab1或 b0 或 b21aa041根据元素的互异性得 b1 或b即为所求 .2若集合 A 2，4， a32a2a 7 ，B 1，a 1， a22a1 (a23a 8)例 4.2 ， 2、a3a23a7 ，且 AB 2，5，试求实数 a 的值解: 2， 5， 2 A 且 5 A，则 a32a2a 7 5 (a 2)(a 1)(a 1) 0，a 1 或 a 1 或 a2当 a 1 时， B 1， 0，5 ，2， 4，与 AB 2，5矛盾， a 1当 a 1 时， B1， 2， 1， 5，12，与集合中元素互异性矛盾，a 1当 a 2 时， B1， 3，

9、2， 5，25，满足 AB 2， 5故所求 a 的值为 2变式训练4.已知集合 Aa，a d，a2d，B a，aq， aq2，其中 a 0，若 A B，求 q的值解： A Bad aqad aq 2( ) a2d aq 2或 ( )a2d aq1由( )得 q1，由 ()得 q 1 或 q 2 当 q1 时， B 中的元素与集合元素的互异性矛盾，1q 2归纳小结1本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素， 并真正认识集合中元素的属性， 特别要注意代表元素的形式， 不要将点集和数集混淆2利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计

10、算的结果要加以检验3注意空集的特殊性，在解题时， 若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性4要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用第 2 课时集合的运算基础过关一、集合的运算1交集：由的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作AB，即AB2并集：由的元素组成的集合，叫做集合A 与 B 的并集，记作 AB，即 AB3补集：集合 A 是集合 S 的子集，由的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集，记作 C S A ，即 CS A 二、集合的常用运算性质1A A，A ，A B=，B A，AA，A ， A B B A2 ACU A ，

11、 ACU A ， C (CU A)3 CU ( AB)，CU ( A B)，4AB AA B A典型例题例 1. 设 全 集 UR ， M m | 方 程 mx2x1 0 有 实 数 根 ， N n | 方 程x2x n 0有实数根 ，求 (CU M )N .解：当 m0 时， x1 ，即 0M ；1m1当 m 0 时，1 4m0, 即m4 ，4 ，且 m 0 CU Mm | m14n1Nn | n1而对于 N ，14n4 ，4 .0, 即(CU M )Nx | x14x|61,x R,x| x22x m0 ,变式训练 1.已知集合A=x1B=（1）当 m=3 时，求A(CR B) ；（2）若

12、 ABx |1 x4，求实数 m 的值 .61,x 50.x | 1 x 5 .解： 由 x 1得 x 1-1 x5, A=（1）当 m=3 时， B= x |1x 3 ，则 CR B =x | x1或x3 ， A(CR B) = x | 3 x 5 .(2) A=x | 1 x 5 , A Bx | 1 x 4 ,有 42 -2 4-m=0,解得 m=8.此时 B=x |2x4,符合题意，故实数m 的值为 8.例 2. 已知 A x | a xa 3 , B x | x1 或 x 5 .(1)若 AB,求 a 的取值范围 ;(2)若 ABB ,求 a 的取值范围 .a1解:(1) AB, a

13、 35 ，解之得1a2 .(2)ABB , AB . a31 或 a5 ，a4 或 a5 若 AB, 则 a的 取 值 范 围 是 1,2； 若 ABB , 则 a 的 取 值 范 围 是(, 4)(5,) .变式训练2 ：设集合 A= x| x23x20 , Bx | x 22( a1) x(a 25) 0 .（1）若 AB2 , 求实数 a 的值；（ 2）若 A B=A，求实数 a 的取值范围；（ 3）若 U=R， A （ CU B ） =A.求实数 a 的取值范围 .解 : 由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A= 1,2 .（1） AB2 , 2 B，代入 B 中的

14、方程，得 a2+4a+3=0, a=-1 或 a=-3;x | x2402, 2,当 a=-1 时， B=满足条件；x | x24 x4 02,当 a=-3 时， B=满足条件；综上， a 的值为 -1 或 -3.（ 2）对于集合 B，=4（ a+1） 2-4(a2-5)=8(a+3).AB=A， BA,当 0,即 a-3 时， B=，满足条件；当=0，即 a=-3 时， B2 , ，满足条件；当 0，即 a -3 时， B=A= 1,2.才能满足条件，则由根与系数的关系得a5122(a1),212 a2 5即a2 7矛盾；综上， a 的取值范围是 a -3.（3） A （ CU B ） =A

15、， ACU B ， A B;若 B=，则0a3 适合；若 B，则 a=-3 时， B= 2， AB=2，不合题意；a -3，此时需 1B 且 2B，将 2 代入 B 的方程得 a=-1 或 a=-3（舍去）；将 1 代入 B 的方程得 a2+2a-2=0a13.a -1 且 a -3 且 a -13.综上， a 的取值范围是a -3 或 -3 a -1-3 或 -1-3 a -1 或 -1 a -1+3 或 a -1+3 .例 3.x | x 2(2 a ) x 1 0, x R ,x R | x0 ，试问是否存在实数a，已知集合 A=B使得 AB？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由

16、.解: 方法一 假设存在实数a 满足条件 AB=则有（1）当 A时，由 AB=， BxR | x0 ，知集合 A 中的元素为非正数，设方程 x2+(2+a)x+1=0 的两根为 x1,x2,则由根与系数的关系，得(2a) 240x1x2(2a)0,解得a0;x1x210（2）当 A=时，则有=(2+a)2-4 0，解得 -4 a 0.综上（ 1）、（ 2），知存在满足条件AB=的实数 a,其取值范围是（ -4， +） .方法二假设存在实数 a 满足条件 AB，则方程 x2+(2+a)x+1=0 的两实数根 x1， x2 至少有一个为正，因为 x1 x2=1 0，所以两根 x1,x2 均为正数

17、.(2a)240a或4,0 a4.,即a则由根与系数的关系，得x1x2(2 a)0 解得 a2又集合a | a4的补集为a | a4,存在满足条件AB=的实数 a,其取值范围是（-4， +） .变式训练 3.设集合 A=（ x,y） |y=2x -1,x N*,B=(x,y)|y=ax2 -ax+a,x N* ，问是否存在非零整数 a,使 AB？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由.解：假设A B，则方程组y2x1yax2ax a 有正整数解，消去y,得 ax2-(a+2)x+a+1=0.2323由 0，有（ a+2）2-4a(a+1)0,解得 -a.因 a 为非零整数， a=1，33当

18、 a=-1 时，代入（ * ），解得 x=0 或 x=-1,而 x N*. 故 a -1.当 a=1 时，代入（ * ） ,解得 x=1 或 x=2，符合题意 .故存在 a=1,使得 A B,此时 A B=（ 1， 1），（ 2， 3） .例 4.已知 A x x2 2ax (4a 3) 0，x R，又 B x x2 2 2 ax a2 a 2 0，xR，是否存在实数a，使得 A B?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由解： 1a2 即实数 a (1，2)时， AB 4.设集合 A 为函数 y ln(x22x8) 的定义域 ,集合 B 为函数 yx1变式训练x 1 的(ax1 )( x4)

19、0CR A ,求 a 的值域 ,集合 C 为不等式a的解集 .（ 1）求 A B ；（ 2）若 C取值范围解：（ 1）解得 A=（ -4，2 ）， B=,31,。 所以 A B4, 31,22a（2） a 的范围为20归纳小结1在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言2集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想3对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识 .集合单元测试题一、选择题1设全集 U=R，A=x N 1x 10，B= x R x 2+ x6=

20、0，则下图中阴影表示的集合为（）A 2B 3C 3，2D 2， 32当 xA. x|x2R，下列四个集合中是空集的是（-3x+2=0B. x|x2 x）6C. x|x2 -2x+3=0C. x|sinx+cosx= 5 3设集合 A5, log2 (a 3)，集合 B a, b ，若 AB2 ,则 AB 等于（）1,2,5B.1,2,5A.2,5,7D.7,2,5C.Ay | yx2 1Bx | yx2 14设集合，则下列关系中正确的是（）A ABB A BC BAD AB1, )5设 M ，P 是两个非空集合，定义M 与 P 的差集为 M-P=x|xM 且 xp,则 M -（M -P）等于（

21、）A. PB. M PC. MPD. M6已知Ax x22x 3 0 , Bx x a若 A /B , 则实数 a 的取值范围是 (),A. (1,)B. 3,)C. (3,)D.(,3nn7.集合 M x x sin3 ， n Z，N xx cos2， n Z ，M N （ ）A1, 0,1B 0,1C 0Dxk 1 , k Zxk1 , k Z8.已知集合 M x2 4， Nx 42，则（）A M NB MNC MND MN9 设全集 x1 x 9， x N，则满足1,3,5,7,8CU B1,3,5,7的所有集合 B的个数有（）A1 个B 4 个C 5 个D8 个10已知集合 M (x，

22、y) y9x 2， N (x，y)y x b，且 M N ，则实数 b 应满足的条件是（ ）A b 3 2B0 b 2C 3 b 3 2D b 3 2 或 b 3二、填空题11设集合 A x 3x2 , B x 2k1x 2k1 ,且 AB ，则实数 k 的取值范围是.12设全集 U=R， A= x | 2x( x2)1, B x | yln(1 x)，则右图中阴影部分表示的集合为.13 已 知 集 合 A=1,2,3,4， 那 么 A的 真 子 集 的 个 数是.Sy | y1x1, xR214若集合，Ty| y log2 (x1),x1 ，则 S T 等于.15满足0,1,2A0,1,2,

23、3,4,5 的集合 A 的个数是 _个 .P x | 1x3f ( x)log 2 (ax22x2)16已知集合2的定义域为 Q.，函数PQ 1 , 2), PQ(2,3（1）若2 3，则实数 a 的值为；（2）若 PQ，则实数 a 的取值范围为.三、解答题17已知函数 f (x)x1x2 的定义域集合是A,函数 g ( x)lg x2(2a 1)x a2a 的定义域集合是B（ 1）求集合 A、 B（ 2）若 AB=B,求实数 a 的取值范围18设 URA x | x23x 2 0Bx | x2( m 1)x m 0，集合，；若 (CU A)B，求 m 的值 .A x1/ 32 2 x4B x

24、 x 23mx 2m2m 1 019设集合，.(1)当 xZ 时，求 A 的非空真子集的个数；(2)若 B=，求 m 的取值范围；(3)若 AB ，求 m 的取值范围 .20.对于函数f(x)，若 f(x) x，则称 x 为 f(x) 的 “不动点 ”，若 f ( f (x) x ，则称 x 为 f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和 B，即 A x | f ( x)x ，B x | f f ( x)x .(1)求证： AB(2)若 f (x)ax2 1(a R, x R) ，且 A B，求实数 a 的取值范围 .单元 参考答案一、 1答案： A2答案： C3答案： A4提示： A y | y0 ， B x | x1或 x1 .答案：D5答案： B6答案： Bnn337. 由 3与 2的 位置知M 2 ，0，2， N 1， 0， 1，故 C.8.C9.D10.D1111提示 : 2k12k 1, Bk,答案：212答案：A(0,2), B (,1)， 中阴影部分表示的集合 AU B 1,2),13答案： 1514. 答案： y | y115. 答案： 73a； a