高中数学：求函数值域的方法十三种

1、最新资料推荐高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（）八、函数单调性法（）二、配方法（）九、图像法（数型结合法）（）三、分离常数法（）十、基本不等式法四、反函数法（）十一、利用向量不等式五、判别式法（）十二、一一映射法六、换元法（）十三、多种方法综合运用七、函数有界性一、观察法 ： 从自变量 x 的范围出发，推出 y f ( x) 的取值范围。1 求函数yx 1的值域。【例 】【解析】x0 ，x1 1 ，函数 yx1的值域为 1,) 。y1x 的值域。【例 2】求函数10显然函数的值域是： (,0)( 0, )【解析】 x0 x【例 3】已知函数yx 1 21 ， x1,0,1,2，求函数

2、的值域。【解析】因为x1,0,1,2，而 f1 f3 3， f 0f 20 ， f11所以： y1,0,3注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为xR ，则函数的值域为 y | y1 。二 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F (x)af 2 ( x) bf (x)c 的函数的值域问题，均可使用配方法。【例 1】 求函数 yx22x5, x 1,2 的值域。【解析】将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1 -1,2时，当时，故函数的值域是：4 ，8【变式】 已知，求函数的最值。1最新资料推荐【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配

3、方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2 所示。函数的最小值为，最大值为。图 2【例 2】若函数f ( x)x22x2,当 x t, t1 时的最小值为g (t) ，（ 1）求函数 g(t )（ 2）当 t-3,-2时，求 g(t)的最值。 （说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）【解析】 (1) 函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。图 2图 3图 1如图1 所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。如图2 所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。如图 3 所示，若顶点横坐标

4、在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值(t1) 21,t1综上讨论， g(t)= f (x)min1,0 t1t 21 t0t21(t0)(2) g (t )1(0t1)t(,0 时， g(t)t 21 为减函数t22t2(t1)在 3, 2上， g(t ) t 21 也为减函数2最新资料推荐g(t) ming( 2) 5 ， g(t)max g ( 3) 10【例 3】 已知 f ( x) x22x2 ，当 x t， t1(tR) 时，求 f ( x) 的最大值【解析】由已知可求对称轴为x1f (x)minf (t ) t2t3， f ( x)maxf (t1)t22（ 1）当 t1时，

5、（ 2）当 t 1 t1，即 0 t 1 时， tt110 t 1f (x) maxf (t) t22t 3根据对称性即2 时，若22tt 111t 1时， f (x)maxf (t1) t22 若22 即 2（ 3）当 t1 1即 t0 时， f (x)maxf (t)t 22t3 t 22, t1综上， f ( x) max21t 22t3,t2观察前两题的解法， 为什么最值有时候分两种情况讨论， 而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。 不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它

6、的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点， 只可能是闭区间的两个端点， 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。 根据这个理解， 不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：f (n)， bn(如图)， b12a3如图)f (m)(mn)(2a21bb当时 f ( x)maxf (x)minn(如图 4)b1f ()， m2a，如图2a(mn)()f (n)2a22bf (m)，m(如图5)2a3最新资料推荐， bn(如图6)f (

7、n)2ab1f (m)，(m n)(如图9)当时f ( x)maxb，b如图7)f (x) min2a2f () mn(b12a2af (n)，n)(如图)(mb2a210，m(如图8f (m)2a)【例 4】(1) 求 f ( x )x22ax1 在区间 -1,2 上的最大值。(2)求函数 yx( xa) 在 x1 , 1上的最大值。【解析】 (1) 二次函数的对称轴方程为xa ，当 a11f ( 2 )4a5 ；即 a时， f ( x )max222a2,a1112 。当 af (1)2a2。f ( x )max即 a时， f ( x )max综上所述：224a5,a12a2 a 2aaa

8、a即2，(2) 函数 y( x)图象的对称轴方程为x，应分11，4211a 2 a 22222和 a2 这三种情形讨论，下列三图分别为（ 1） a2 ；由图可知f ( x)maxf (1)（ 2）2a2 ；由图可知 f ( x)maxf ( a)2（ 3） a2 时；由图可知f ( x)maxf (1)4最新资料推荐f ( 1) , a2(a 1) , a2y最大f ( a ) , 2a 2；即 y最大a 2, 2 a 224f (1) , a 2a 1 , a 2【例 5】 已知二次函数f ( x ) ax 2( 2a1)x1 在区间3 ,2上的最大值为 3，求实数 a 的值。2【分析】这是

9、一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0与 a0 两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（ 1）令 f (2a 1 )3 ，得 a12a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x2 ，且 23 ,2，故1不合题意；22（ 2）令 f ( 2 ) 3 ，得1a21此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a符合题意；322（ 3）若 f () 3 ，得 a232此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a符合题意。312综上， a或 a23解后反思：若函数图象的

10、开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】已知函数f (x)ax22ax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。1【解析】 f ( x) a(x 1)21a, x3,2（ 1）若 a0, f ( x)1, ，不符合题意。（ 2）若 a0, 则 f ( x)maxf (2)8a1由 8a 14 ，得 a38（ 3）若 a0 时，则 f ( x)maxf (1)1 a由 1 a4 ，得 a3综

11、上知 a33或 a8【例 6】 已知函数 f ( x)x2x 在区间 m, n 上的最小值是3 m 最大值是 3 n ，求 m ， n 的值。2, mn ,【解法 1】讨论对称轴中 1 与n的位置关系。m25最新资料推荐若f ( x)maxf (n)3n，则f ( x)minf (m)3m解得若mn21n ，则f (x)maxf (1)3nf ( x) minf (m)，无解3mmnf (x)maxf (1)3n若 m1若2，则，无解f (x)min f (n) 3m，则f ( x)maxf (m)3nf ( x)min，无解f (n)3m综上， m4, n 0【解法 2】由 f ( x)1

12、( x 1)21，知 3n1 , n1 , ，则 m, n( ,1 ，2226又在 m, n 上当 x 增大时 f ( x) 也增大所以f ( x) maxf (n)3n解得 m 4, n 0f ( x)minf (m)3m评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ， n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。【例 7】 求函数 yx35x 的值域 .【解法 1】 y 2x35 x2(x 3)(5x) 221( x4) 2显然 y 222 1(x4) 2 2,4故函数的值域是：y2,2【解法2】显然3 x5,x 3 2sin 2 ( 0, ) 5 x 2

13、cos 2,2yx35x2(sincos )2sin()2,24三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为 y kf ( x) ( k为 常数 )的形式此类问题一般也可以利用反函数法。【例 1】 求函数 yx2的值域x11【解析】利用恒等变形，得到：y 1y (- ,1)(1, +，容易观察知 x - 1,y 1，得函数的值域为x 1 ) 。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。【例 2】 求函数 yx2x2x的值域。x16最新资料推荐【解析】观察分子、分母中均含有x2x

14、项，可利用部分分式法；则有x2xx 2x 1 113 不妨令： f ( x) ( x1231yx2x 1x2x 111)22 )4, g( x)f ( x) ( f ( x)0) 从而( x42f (x)3,注意：在本题中应排除f (x)0 ，因为 f ( x) 作为分母。所以g( x)0, 3故 y1,1443【变式】 求下列函数的值域：(1)yx 1(2) yx213 x 2x2.1答案：（）值域y(, 13 )(13 ,)（）值域y -1,1四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。【例 1】 求函数 y12x 的值域。12x12

15、xx1yx1y【解析】由y12x解得 21y， 20，1y0 ， 1 y1函数 y12x的值域为 y( 1,1)。12x【例 2】求函数 y3x4 值域。5x6【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：(, 3)( 3 , )55【例 3】 求函数 yex1ex的值域。1解答：先证明 yex1有反函数，为此，设 x1x2 且 x1 , x2R ，x1e7最新资料推荐y1 y2ex11ex212 (ex1ex1ex20 。ex11ex211)(ex21)所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y 1ln 11xx 。此函数的定义域为 x ( 1, 1)

16、，故原函数的值域为 y( 1, 1) 。【例4】求函数abx(0,0,1,1) 的值域。yabxabab x【解法 1】-1 x1a-ba-bxa+b2a2a2aababxab2ab1 y12a12a ， a bya baabxababab【解法 2】（反函数法）： xa2a,由 -1 x 1得：1a2aababbb( yxb( y 1)1 ，yab1)bab五、 判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程 F (x, y)0 ；通过方程有实数根，判别式0 ，从而求得原函数的值域，形如ya1 x2b1xc1（ a1 、 a2 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求a2 x2b2 xc2解。（解析

17、式中含有分式和根式。）【例 1】求函数 y1xx2的值域。1x2【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程, 由于 x 取一切实数，故有（ 1）当时，解得：（ 2）当 y=1 时，而故函数的值域为【例 2】求函数 yxx(2x) 的值域。【解析】两边平方整理得：（ 1）解得：8最新资料推荐但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x 的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间0 ， 2上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（ 1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值

18、域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。解法二： yxx(2x)x1(x1)2 ，令 x1sin,22y 1sincos12 sin()434442sin()124原函数的值域为：【例 3】 已知函数 f (x)2x2ax b 的值域为 1， 3，求 a,b 的值。x21【解析】 y2x2axb( y 2) x2ax y b 0a24(y 2)(y b) 0x2 14y24(2b) y8ba20 。由于 f (x)2x2axb 的值域为 1， 3，故上式不等式的解集为 y|1 y3x219最新资料推荐y1 y22b13a28ba23b2y1 y24【例 4】求

19、函数yx1的值域。x22x2【解法 1】先将此函数化成隐函数的形式得：yx 2(2 y 1) x 2y 10 ， (1)这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1) 的判别式(2 y 1)24 y(2 y1) 0 ，解得：1y122 。故原函数的值域为：y21 , 21 。【解法 2】当 x -1 时yx 121x2 x 2( x1)1x1当 x+10 时， ( x12，即 y 21 ,0)由于1)1x当 x+10 时， ( x1)12 ，即 y( 0, 21 x1考虑到 x=-1时 y=0故原函数的值域为：y 21 , 21 【例 5】已知函数 ymxn 的最

20、大值为4，最小值为1，则 m =， n =x21【解析】 ymxnyx2mx ny0m24 y(y n)0x214y24n ym20 1 。由于f (x)2x2ax b的值域为 1，4，故不等式1 的解集 为y| 1y4x21y1y2n3m4m2y1 y24m34m4n3【例 6】求函数yx2的值域。x22x3【解析】 yx2(y1)x 3y2 010最新资料推荐y=0得 x=-2,从而 y=0 是值域中的一个点；120(y22) 0 y1) 4 y(3 y16 y24 y1)0， 由 1 2 得函数的值域为 R.y Ry 48 0六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数

21、，从而求得原函数的值域，形如 yaxbcxd （ a 、 b 、 c 、 d 均为常数，且 a0）的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数， 可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。【例 1】求函数 y2x12x的值域。【解析】令 t12x （ t0 ），则 x1 t 2，2 yt 2t1(t1) 25 当 t1 ，即 x3 时， ymax5 ，无最小值。24284函数 y2x12x 的值域为 (, 5 。4【例 2】求函数 y2 x 5log 3x1(2x10) 的值域。【解析】

22、令 y12x5 , y 2log 3x1则 y1 , y 2 在 2， 10上都是增函数所以 yy 1y 2在 2， 10 上是增函数当 x=2 时，ymin2 3log 32118当 x=10 时， y max25log 39331,33故所求函数的值域为：8【例 3】求函数 yx 1x1 的值域。y2x 1x1【解析】 原函数可化为：令 y1x 1, y 2x1 ，显然 y1 , y 2在 1, 上为无上界的增函数所以 yy1 ， y 2 在 1, 上也为无上界的增函数11最新资料推荐2所以当 x=1 时， yy1y 22有最小值2 ，原函数有最大值2显然 y0 ，故原函数的值域为(0,2

23、【例 4】求函数 yx21(x1) 2的值域。【解析】 因 1(x1) 20即 ( x1) 21故可令 x 1cos , 0, ycos11cos2sincos12 sin()140,05442)12sin(402 sin()1124故所求函数的值域为 0,12 yx 3xx 42x 21 的值域。【例 5】求函数y12x1x 2【解析】 原函数可变形为：21x21x 22xsin 21x 22可令 xtg，则有 1x 2,x 2cos1y1 sin 2cos 21 sin 424ky max1当284时，ky min1当284时，而此时 tan有意义。1 , 1故所求函数的值域为4 412最新资料推荐【例 6】求函数 yx,(sin x1)(cos x1) ，12 2的值域。【解析】 y(sin x1)(cos x1)sin x cosxsin xcos x1令 sin xcosxsin x cos x1( t21)t ，则2y1(t 21)t11(t1) 222x,2由 tsin x cos x2 sin(x/ 4)12t2且2可得： 2y max32t2y32当 t2，当2422 时，时，32 , 32故所求函数的值域为422。【例 7】 求函数 yx45 x2的值域。【解析】 由 5x 20，可得 | x |5故可令 x5 cos , 0,y5 cos45 si