物理刚体的定轴转动1

1、1,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体(任意两质点间距离保持不变的特殊质点组),刚体的运动形式：平动、转动,2,平动：刚体内任意一条给定的直线，在运动中始终保持它的方向不变,2、各点位移都相同，运动状态一样，如： 等都相同,特点： 1、所有点的运动轨迹都完全相同,3,质心运动定理：,3、刚体中任意一点的运动都可代替整个刚体的运动，通常以质心的运动来代表整个刚体的平动。,不管物体的质量如何分布、外力作用在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此，而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。,4,转动：如果刚体在运动时，各个质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，这种运动便叫

2、做转动。 转轴：质点转动所围绕的直线。,5,刚体的一般运动可看作：,哑铃,炮弹,6,刚体的平面运动,7,(1) 每一质点均在垂直于转轴的平面内作圆周运动，圆面为转动平面；圆心为转动中心,(2) 各点的轨迹是半径大小不一的圆，同一时间内，各点的路程不同。,定轴转动的特点,(3) 各点的半径扫过的角度相同，即角位移相同，从而 相同,一 刚体定轴转动描述,8,沿逆时针方向转动,角位移,角坐标,沿顺时针方向转动,0,q,角速度矢量,描述刚体定轴转动的物理量,标量描述,角加速度,9,角位移,角速度矢量,大小：dt时间转过的角度 方向: 右手螺旋方向,定轴转动的矢量描述,大小： 方向: 右手螺旋方向,10

3、,在定轴转动中，角位移、角速度和角加速度的方向沿转轴方向。可以用正、负来表示.,角加速度,11,二 匀变速转动公式,当刚体绕定轴转动的角加速度=常量时，刚体做匀变速转动,12,三 角量与线量的关系,对轴,对点,13,14,例1一刚体绕轴（z轴）每分钟60转， 沿z轴正方向，刚体上一点P的位矢为 则P点的速度为 ( ),解,15,例2在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为： 式中 求：(1)t=6 s时电动机的转速(2)起动后，电动机在 t=6 s时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变化的规律,16,(2)

4、电动机在6 s内转过的圈数为,解 (1) 将 t=6 s 代入,(3) 电动机转动的角加速度为,17,例3在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？,解 令 ，即 ，积分,得,18,当 t =300 s 时,19,由,得,在 300 s 内转子转过的转数,20,: 力臂,对转轴 z 的力矩,一力矩,描述力对刚体的转动作用,在垂直于转轴的平面内。,注意：,转动中心,力的作用点相对于转动中心的位矢,方向：右手螺旋，沿转轴,21,O,（1）若力 不在转动

5、平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩,22,（2）力矩方向与转动效应的关系：右手螺旋 力矩方向：沿转轴 转动效应：顺时针或逆时针 可以用标量表示,o,P,o,P,23,（3）合力矩等于各分力矩的矢量和,如规定转轴的oz方向为正方向，按力矩定义 ，与转轴同向为正，反向为负。,例:右图中,24,（4）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,25,二 转动定律,（1）单个质点 与转轴刚性连接,26,（2）刚体,质量元受外力 ， 内力,外力矩,内力矩,27,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,转动定律,定义转动惯

6、量,28,讨论,（1）,（2）,（3） =常量,转动定律,29,三转动惯量,J 的意义：转动惯性的量度 .,转动惯量的单位：kgm2,定义: 刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。,30,质量离散分布,J 的计算方法,质量连续分布,：质量元,：体积元,：面积元,：线元,31,影响刚体的转动惯量的因素：,（3）与转轴的位置有关,（1）与刚体的质量有关,（2）与质量的几何分布有关,说 明,J 小 J 大,质量分布离轴越远J 越大.,同一刚体，转轴位置不同，转动惯量不一样。,当总质量一定时，,32,回转半径：,式中m为刚体质量，rG称为回转半径 就转动规律而言

7、，假设将刚体的所有质量集中在一个半径为rG细圆环上。,转动惯量叠加性,33,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解：,讨论:J具可加性，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,34,例2 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量： (1)轴通过棒的中心并和棒垂直； (2)轴通过棒的一端并和棒垂直；,35,l/2,l/2,O,x,dx,A,解 如图所示，以中点O为左边原点，向右为正。在棒上离轴x处，取一长度元dx，如棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。,（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有,36,因l=m，代入得,（2）当转轴

8、通过棒的一端A并和棒垂直时，,l,x,A,dx,同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量不相同。,37,例3 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。,r,R,dr,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr 。可得,38,四 平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,39,质量为m，长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P 轴的转动惯量,40,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,41,(2) 为瞬

9、时关系,(3) 转动中 与平动中 地位相同,(1) , 与 方向相同,说明,转动定律应用,42,解题步骤 1.确定研究对象，隔离物体； 2.运动分析； 3.受力分析； 4.选择参考系与坐标系； 5.列方程求解； 6.必要时进行讨论。,刚体定轴转动的转动定律的应用,43,注意以下几点： 1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体转动定理 平动物体牛顿定律,44,例2一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量为 m1 和 m2 的物体，m1 m2 ，滑轮的质量为m ，半径为 R

10、，所受的摩擦阻力矩为 Mr ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。,45,分析： 物体1和2作直线运动，可视为质点 滑轮绕定轴转动， 物体1、2和滑轮适用不同的力学规律,46,解 运动分析：m2m1，m1向上运动，m2向下运动，滑轮顺时针滑动；用隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系,对各隔离体写出运动方程：,47,对m1 ：,对m2：,对m：,无相对滑动,48,解得：,49,注意（1）当不计滑轮的质量及摩擦阻力时,问：如何求角加速度，如何求角速度？,根据 可求角加速度；,（2）若有摩擦阻力矩，先判断运动方向，再根据运动方向确定阻力矩方向,根据 可求角速度；,50,（3）轴处力不会产生力矩，刚体定轴转动时，轴处力不分析,（4）绳和滑轮间无相对滑动时，绳的线加速度和滑轮边沿处切向加速度相等,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。,51,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例3一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰