第二章概率论与数理统计

1、第二章随机变量,随机变量与分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布,一、随机变量,随机变量的特点:,(1)随机变量的全部可能取值是互斥且完备的。,(2)随机变量的部分可能取值描述随机事件。,?,请举几个实际中随机变量的例子,随机变量的分类： 随机变量,二、离散型随机变量,1、定义 ： 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量。称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的概率分布律或概率分布。通常表示为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,Xx1 x2xK Pkp1p2

2、pk,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白球3只黑球。现从中任取3只球(不放回)，求取的白球数X为k的概率。 解 k的所有可能取值为0，1，2,2. 分布律的性质,例2.设一射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率均为p。用X表示命中目标的次数，求X的概率分布律。,解：设Ai=第i次射击时命中目标i=1,2,3,4,5。 则A1,A2,A5,相互独立，且P(Ai)=p,i=1,2,5.,(1-p)5,3、几个常用的离散型分布,（1） (0-1)分布 若用X表示一次试验中事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k,

3、 (0p1) k0，1 或,（2）设将试验独立重复进行n次，且在每次试验中，事件A发生的概率均为p。若用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p),其概率分布律为：,例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,泊松定理设随机变量XnB(

4、n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则,解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,上题用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981.,（3） 泊松(Poisson)分布P() XPXk , k0, 1, 2, (0),泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布,例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼

5、唤次数服从参数为3的泊松分布。求： （1）恰好接收到5次呼唤的概率； （2）接收到不超过5次呼唤的概率。,解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则,例6. 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的概率分布律。,解:m=1时,m1时,X的全部取值为:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次,三、 随机变量的分布函数1、分布函数的概念,2、分布函数的性质,反之，具有上述三个性质的实函数，必定是某个随机变量的分布函数。故该三条性质是分布函数的充分必要性质。,当x0时, F(x)=0;,当0 x1时

6、,当x1时, F(x)=1；,四、连续型随机变量,1、概率密度函数的定义,概率密度函数的几何意义：,2、概率密度函数的性质,反之，凡是满足上述两条性质的函数都可以作为某个随机变量的概率密度函数。,EX,求常数a.,EX,求f(x),由此可知：,3、几个常用的连续型分布,(1)均匀分布(uniform distribution),例：长途汽车在每时的10分、25分、55分发车.如果乘客不知道发车时间，在每小时的任意时刻随机到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率。,15,45,(2)指数分布(exponential distribution),例 :电子元件的寿命(单位:小时)服从参数为0.0

7、01的指数分布。 (1)求该电子元件寿命超过200小时的概率。 (2)已知该电子元件已经使用了300小时，求它还能再 使用200小时的概率为多少？,-指数分布具有无记忆性,若随机变量,(3) 正态分布(normal distribution),正态分布的性质：,2) 的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布,（4）标准正态分布(standard normal distribution),分布函数表示为,其概率密度函数表示为,一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅。我们可以使用MATLAB软件来计算任意正态分布的密度函数和

8、分布函数值。,故,介绍,一、四种概率函数 1、概率密度函数(probability density function) pdf 2、累积分布函数(cumulative distribution function) cdf 3、分位数(quantile) inv 4、随机数(random number) rnd,五、一维随机变量函数的分布,背景：,1、一维离散型随机变量函数的概率分布律,例:已知,X,PX,-1 0 1,求：Y=2X的概率分布律,Y,PY,-2 0 2,一般地,X,Pk,Y=g(X),设随机变量X的概率分布律为,求Y=2X2 +1的概率分布律。,解,例,由题设可得如下表格,所以，

9、y=2x2+1的概率分布律为,例：设随机变量X的概率分布律为,解,设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)是一元实值函数 ，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数(如果存在),(1) 先求Y的分布函数 FY(y),(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y),2、一维连续型随机变量的函数的分布,一般方法,注：1 ）只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的概率密度函数。 2） 注意定义域的选择。,所以，,综上得,推论,定理,正态随机变量的线性函数服从正态分布。,-正态随机变量的标准化,答案,答案,小结.,习题课,一、填空： 1.设随机变量X服从参数为（2,p）的二项分布，随机变量Y服从参数（3,p）的二项分布，若 ， 则PY1=,2.设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X2在（0，4）内的密度函数为 fY(y)=,3.设随机变量XN（2，2），且P（2X4）=0.3，则P(X0)=,二.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯