导数及其应用经典例题解析

1、导数及其应用经典例题解析导数及其应用经典例题解析（例题）1. 已知函数 f(x)=(x+1)ln(x+1)-kx+1（kR）.（1）当 k=1 时，求 f(x)的最小值；（2）探求是否存在整数 k，使得 f(x)在（-1，+）上的图象均在第一、第二象限.若存在，求出 k 的最大值；若不存在，请说明理由；n2i-13( n + 2)e（3）证明：ln(1 +) 2n-5e-+（n3，nN+）.in + 12n-2i=12.设函数 f(x)=ax+ln x（aR）.（1）若 a=1，求 f(x)max；（2）对于函数 y=f(x)的图象上的任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)（0x1x

2、2），证明：存在点 P0(x0，y0)（x1x0x2），使得以 P0 为切点的切线与直线 P1P2 平行；（3）若 2a=3，设正数数列an满足 an+1=f(an)（nN+），若a2n递减，求 a1 取值范围.3.设函数 f(x)=x-ln(x+ 1 + x2 )（1）讨论 f(x)的单调性；（2）若对任意 x(0，+)，f(x)ax3（aR），求实数 a 的取值范围；11 6n1 2n1 4nn1（nN+），证明： ai （3）令 an=+ ln+1+ .92223i=14. 已知函数 f(x)= 12 x2+ax+2ln x（aR）在 x=1 处有极值.（1）求实数 a 的值；（2）证明

3、：对任意 xe-1，e，e(e-x)(e+x-6)+4x4；（3）证明：当 n2（nN+）时，不等式 ln2n1531n3-n2+n 恒成立.n!128245.设函数 f(x)=xn（n2，nN+）.（1）若 Fn(x)=f(x-a)+f(b-x)（0axb），求 Fn(x)的取值范围；（2）若 Fn(x)=-f(x-a)+f(x-b)（0b0 时，比较 f(x)与 gn(x)的大小；n2i（3）证明：1+ gn(1)0 恒成立，所以存在整数 k 满足题意.现探求 k 的最大整数值.1（-1，+），必有 f(1)0，即 k2ln 2+1e-1 时，f(x)0；-1xe-1 时，f(x)0，即

4、f(x)在（-1，+）上的图象均在第一、第二象限.故 k 的最大值为 2.（3）由（2）知在 R+上，f(x)=(x+1)ln(x+1)-2x+13-e，ln(1+x)2- x e+ 1 2- ex .2i-1ein2i-1ni( n + 2)eln(1+)2-，则ln(1 +) 2n-e=2n-4e+，i2i-1ii-12n-1i=1i=1 2( n + 2)en2i-1( n + 2)e即-+ ln(1 +) 2n-4e-.2n-2i2n-1i=1n + 22 n + 42 n + 42 n + 4n + 2当n3 时，-= -= -=-，2n-12n11n -1n2 n + 2n + 1

5、+ C n + + C n+ Cn( n + 2)en2i-1( n + 2)e3-+ ln(1 +) 2n-4e -2n-5e -，2n-2in + 1n +1i=1n2i-13( n + 2)eln(1 +) 2n-5e-+（n3，nN+）.in+12n-2i=12. （1）当 a=-1时，f(x)=-1+1，易得 f(x)max=f(1)=-1.x（2）直线 P1P2 的斜率 k=ax 2+ ln x 2- ax1 - ln x1=a+ln x 2 - ln x1，x2- xx- x121由（1）知，f(x)=-x+ln x-1，当且仅当 x=1 取等号.x2x1，-x2+lnx2-1，

6、即 ln x2-ln x1x2-1，即ln x 2- ln x11，1ln x 2- ln x11.则 a+1ka+1.x- xx2x2x- xxx2x212111又在区间（x1，x2）上，f(x)=a+1(a+1，a+1)，所以 y=f(x)上存在所求点 P0.xx2x1注：要证明1ln x 2- ln x1，可转化为证明 x1ln x2-x1ln x1-x2+x10（0x1x2），xx- x121记 h(x)=xln x2-xln x-x2+x（0x0，则有 h(x1)h(x2)=0，得证.第 2 页共 5 页导数及其应用经典例题解析（3）f(x)=3x+ln x，f(x)=3+1，an+

7、1=3+1.22x2an而 a3=3+1，a4=3+1=13a2+ 62，从而 0a12.2a22a2(3a+ 2)32下面用数学归纳法证明：当 0a12 时，a2n+22（nN+）.31事实上，当 n=1 时，由 0a12，13a2+ 63(2 a2 + 1)( a2 - 2)a4-a2=2(3a2+ 2)= -0，故 a4a2，结论成立.2(3a2 + 2)假设当 n=k 时结论成立，即 a2k+22（kN+），则 a2k+1=3+12，a2k+4-a2k+2= -0，2a2 k +12(3a2 k +2+ 2)2(3a2 k +2 + 2)故 a2k+4a2k+2.即当 n=k+1 时，

8、假设也成立.综上，a1（0，2）.3. （1）函数 y=f(x)定义域为 R，又 f(x)=1-10，故 f(x)在 R 上单调递增；1+ x2)1 + x 2 1 - 3ax2- 1（2）设 g(x)=f(x)-ax3=x-ln(x+1 + x2 )-ax3，则 g(x)=(，1 + x2令 h(x)= 1 + x 2 (1 - 3ax2 )- 1，则 h(x)= x (1 - 6 a - 9ax2 )，1 + x2当 a 16 时，h(x)0，故 h(x)h(0)=0，即 g(x)0，则 g(x)g(0)=0，即 f(x)ax3；当 0a0，则当 x0，1 -9a6a )时，f(x)ax3

9、；当 a0 时，h(x)0，同理可知 f(x)ax3；综上所述，a 取值范围是 16 ，+)；（3）在（2）中，取 a= 19 ，则当 x0， 33 )时，x-ln(x+ 1 + x2 ) 19 x3，112nx3+ln(x+ 1 + x2即)x，又令 x= ，92第 3 页共 5 页导数及其应用经典例题解析11 n 1- 11 6n1 2n1 4n 1 2n441n 则 an=+ ln+1+ ，显然 ai 1）.那么 ln 2-ln 2122-32+2，42421313ln 2-ln 332-3+2，ln 2-ln nn2-n+2，4242将上式相加得，ln2n11n(n+1)(2n+1)-

10、3n ( n + 1)+2n+ln 2-3n!462241 13n ( n + 1)1531n(n+1)(2n+1)-+2n=n3-n2+n.462212824综上，当 n2（nN+）时，不等式 ln2n15310 时，Fn(x)0，当 na 时，(n+1-b)n-(n+1-a)n(n-b)n-(n-a)n0.Fn+1(n+1)=(n+1)(n+1-b)n-(n+1-a)n(n+1)(n-b)n-1-(n-a)n-1(n+1)(n-b)(n-b)n-1-(n-b)(n-a)n-1=(n+1)(n-b)(n-b)n-1-(n-a)n-1= n n+ 1 (n-b)Fn(n).Fn+1 ( n +

11、 1)n + 1而 Fn(n)0，于是(n-b).又 F2(2)=2(2-b)2-1-(2-a)2-1=2(a-b).F ( n)nnF ( n)F ( n - 1)F(3)当 n3 时，Fn(n)=nn-13F2(2)F ( n - 1)( n - 2)F(2)F n-1n-22 n n- 1 nn - 12 32 2(a-b)(n-b)n-2=n(a-b)(n-b)n-2.综上，Fn(n)n(a-b)(n-b)n-2.第 4 页共 5 页导数及其应用经典例题解析6. （1）设 h1(x)=f(x)-g1(x)=ex-x-1，求导易证 f(x)g1(x)；（2）当 x0 时，f(x)gn(x).用数学归纳法证明如下：1当 n=1 时，由（1）知 f(x)g1(x)，成立；2假设当 n=k（kN+）时，有 f(x)gk(x)，令 hk(x)=f(x)-gk(x)，则 hk+1(x)=f(x)-gk+1(x)，又 hk+1(x)=f(x)-gk+1(x)=f(x)-gk(x)0，所以 hk+1(x)h(0)=0，即 f(x)gk+1(x)，即是说，当 n=k+1 时，假设也成立；综上，当 x0 时，f(x)gn(x).n2i1111（3）首先有 gn(1)f(1)=e，要证 1+ gn(1)=1