点集拓扑复习题(答案)

1、点集拓扑复习题一、 名词解释1、同胚映射：设和是两个拓扑空间.如果是一个一一映射，并且和 都是连续映射，则称是一个同胚映射或同胚.2、不连通空间：设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得,则称是一个不连通空间.3、拓扑：设X是一个非空集合。X的一个子集族称为X的一个拓扑，如果它满足： 1X和空集都属于 2中任意多个成员的并集仍在中 3中有限多个成员的交集仍在中。4、导集：设是一个拓扑空间，集合的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.5、度量：设集合X的一个映射.若对于任何，有 （I）（正定性）(x,y）0，且(x,y)=0当且仅当 x = y； （）（对称性）(x,y)= (y,x）；

2、（）（三角不等式）(x,z）(x,y)+ (y,z） 则称为集合X的一个度量（或距离）。二、 证明题（4选3）1、证明：度量空间中的开集且有以下性质：（1）集合本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族的并是一个开集。证明:（1）根据定理2.1.1(1)中的每一个元素都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在中，所以满足开集的条件；空集中不包含任何点，也自然地可以认为它满足开集的条件（2）设和是中的两个开集如果，则存在的一个球形邻域包含于，也存在的一个球形邻域包含于根据定理2.1.1(2)，有一个球形邻域同时包含于和，因此由于中的每一点都有一个球形邻域包含于，因此

3、是一个开集（3）设是一个由中的开集构成的子集族如果，则存在使得由于是一个开集，所以有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于这证明是中的一个开集2、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集.证明：如果是的一个不连通子集，则存在的非空隔离子集使得 3分于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔离子集，此外，这说明不连通，矛盾.从而是的一个连通子集. 8分3、设是拓扑空间的一个连通子集, 证明: 如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者. 证明：因为是的开集，从而是子空间的开集.又因中，故 4分由于是的连通子集,则中必有一个是空集. 若,则;若,则 8分4、设X是一个含有不可数

4、多个点的可数补空间.证明X不满足第一可数性公理. 证明：若满足第一可数公理，则在处,有一个可数的邻域基，设为V x ,因为X是可数补空间，因此对,是的一个开邻域，从而 ,使得. 于是, 4分由上面的讨论我们知道： 因为是一个不可数集，而是一个可数集，矛盾.从而X不满足第一可数性公理. 8分三、 填空题1、设,则的平庸拓扑为 ;答案：2、每一个球形邻域都是 ；答案：开集3、若拓扑空间有一个可数稠密子集，则称是一个 ；答案：可分空间4、若任意个拓扑空间,都具有性质,则积空间也具有性质，则性质称为 ; 答案：有限可积性质5、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个 ;答案：商映射四、 选择题1、设，下列集族中,（ ）是上的拓扑. 答案：2、已知，拓扑,则=（ ） 答案：3、在实数空间中，有理数集的边界是（ ） Q R -Q R 答案：4、在实数空间中，区间的内部是（ ） 答案：5、设是一个拓扑空间，A,B 是的子集,则下列关系中错误的是（ ） 答案: 6、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：7、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ） 单射 连续的单射 满的连续闭映射 满的连续开映射 答案：8、在实数空间R中，下列集合是开集的是（ ） 整数集Z 有理数集 无理数集