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文档简介
7.4 线性变换在基下的矩阵,第七章 线性空间,下的像为,定义,设,是向量空间,中的线性变换,,在,中取定一个基,,若基,在线性变换,(7.6),记,(7.6)式可表示为,其中,(7.7),下的矩阵。,称,为线性变换,在基,下面介绍求线性变换在基下矩阵的方法:,(1)定义法。,的导数。,例,在,中取一个基,求线性变换,在此基下的矩阵,,其中,表示对,解,即,下的矩阵为,故,在基,下的坐标分别为,(2)坐标变换法。此法是利用结论:若,与,在基,则,下的矩阵。,其中,为线性变换,在基,(3)基变换法。此法是利用结论:设线性空间,中有两个基,,则,由基,到基,的过渡矩阵为,,,中的线性变换,在这两个基下的矩阵,分别为,与,此结论证明如下:,可逆,及,按定理的假设,有,于是,证毕。,就是相似变换矩阵。,因为,线性无关,所以,,,说明 此定理表明,与,相似,且两个基,之间的过渡矩阵,下面讨论线性变换矩阵的一些性质。,,这个对应具有如下性质:,设,是,维线性空间,的一个基,,在这组基下,每个线性变换,均对应一个,阶矩阵,(1)线性变换的和对应矩阵的和;,(2)线性变换的乘积对应矩阵的乘积;,(3)线性变换和数的乘积对应于矩阵和数的乘积;,(4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆矩阵对应于逆变换。,下面仅证明性质(1)。,,即,证(1) 设,是,中的两个线性变换,,它们在基,下
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