第16讲__简单多面体、球与组合体

1、1/26,2/26,多面体是考查空间位置关系、角与距离等知识的载体，因此考生应该理解多面体(棱柱、棱锥、正多面体、组合体)的定义与有关概念、性质、面积公式、体积公式，熟悉多面体中常见的平行与垂直关系，会求多面体中常见的线面角(比如棱锥的侧棱与底面所成的角)、二面角等.,3/26,球是近几年高考的一个热点(湖南高考近三年均出现了)，主要考查了球面距离，球与多面体的切、接构成的组合体问题、截面问题、面积、体积的计算等，常用的解题方法有：,4/26,5/26,因为 A1C与平面 BED 内两条相交直线BD、EF 都垂直,依题设知，AB=2，CE=1.,(1) 证明：连结AC交BD于点F，则BDAC.

2、由三垂线定理知，BDA1C.,在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G,故 RtA1ACRtFCE,AA1C=CFE,则CFE与FCA1互余. 于是A1CEF.,所以 A1C平面BED.,6/26,所以二面角A1-DE-B的大小为,由三垂线定理知A1HDE， 故A1HG是二面角A1-DE-B的平面角.,(2) 作GHDE，垂足为H，连结A1H、HG.,7/26,以D为坐标原点，射线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz.,所以A1C平面BED.,依题设知，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).,(1)证明： 因为

3、A1CDB=0,A1CDE=0, 故A1CBD，A1CDE.,又BDDE=D，,8/26,则 .,(2) 设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的法向量，,令y=1,则z=2, x=4, 故n=(4, 1, 2).,又由(1)知，A1C平面BED 故 等于二面角A1-DE-B的平面角，,所以二面角A1-DE-B的大小为,9/26,【分析】 此题可运用特殊位置法化难为易,则平面球得到一个大圆.设公共弦为AB，,故选C.,则AB为另一个截面圆的直径,即AB的中点为其圆心，,d =,【解析】可设其中一个平面过球心O，,(2) 球心和截面圆心的连线 垂直于截面,公共弦端点，球心构成半径为2的等腰三角形

4、,10/26,【分析】准确确定截面圆在原图中的位置. 【解析】由题意得知：截面过正四面体的两个顶点，,故选 C.,EF为BEC边BC上的高，,从而 .,故 EC= .,C,11/26,【分析】本题是一道立体几何的综合题，以三棱柱为载体，考查了线面角、线面平行、外接球等内容.本题中求外接球的体积关键是根据已知条件确定外接球的球心，再求出半径.,12/26,所以A1A与底面ABC所成的角为60.,解析,(1)过A1作A1H平面ABC，垂足为H. 连结AH，并延长交BC于G，连结EG，,于是A1AH为A1A与底面ABC所成的角.,因为A1AB=A1AC，所以AG为BAC的平分线.,又AB=AC，则A

5、GBC，且G为BC的中点.,由三垂线定理得A1ABC.,因为A1AB1B，且EGB1B, 所以EGBC.,于是AGE为二面角A-BC-E的平面角，,即 AGE=120.,由四边形A1AGE为平行四边形， 得A1AG=60.,H,A,B,c,F,E,G,13/26,所以A1E平面B1FC.,(2)证明:设EG与B1C的交点为P，,则点P为EG的中点，连结PF.,在平行四边形AGEA1中，因为F为A1A的中点， 故AEFP.,而FP 平面B1FC，A1E 平面B1FC，,H,A,B,c,F,E,G,P,14/26,设所求球的球心为O，OA1H，,在RtA1FO中,由已知得 A1A=A1B=A1C=

6、a.,又因为A1H平面ABC，所以H为ABC的外心.,且球心O与A1A的中点F的连线OF垂直A1A.,故所求球的半径 R= a,由于AC=AB,A1AC=A1AB,A1A=A1A，,15/26,(1)如图，三棱锥A-BCD的两条棱AB、CD满足AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径；,(2)若正四面体的四个顶点都在表面积为36的一个球面上, 求这个四面体的高.,16/26,B,c,D,E,A,又AECD，BECD， 则CD平面ABE.,(1)取CD的中点E，连结AE、BE.,因为AC=AD，CE=ED，,所以在RtACE中，,同理，可得BE=4.,在ABE中，因为AB=6，所以AB边上的高为,所以,又S全=SABC 4=48,因此内切球的半径为,解析,17/26,即正四面体的高为4.,(2)如右图，设四面体的边长为x，球的半R，则,由 得R=3., ,18/26,【回顾与反思】,19/26,四个相同的球两两外切，可知它们的球心为一个正四面体的四个顶点.第五个球的球心应为正四面体的外接 (内切)球的球心，因此可转化成正四面体这一我们熟悉的图形来解决.,【分析】,20/26,则O1