等差数列的前n项和性质.ppt

1、,【思考】,等差数列前n项和的有关计算 1.等差数列前n项和的应用 （1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程（组）求解. （2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式的变形形式：Sn= 或Sn=An2+Bn.,【名师指津】,2.依据等差数列的性质得到的结论. （1）当n为奇数时，Sn= （2） =a1+（n-1） 【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.,【例1】已知等差数列an.

2、(1)a1= a15= Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d. 【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程. 【规范解答】（1）a15= +(15-1)d= d= 又Sn=na1+ d=-5,解得n=15,n=-4（舍）. （2）由已知，得S8= 解得a8=39, 又a8=4+(8-1)d=39,d=5.,【变式训练】在等差数列an中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d, a6=10，S5=5， 解得 a8=a6+2d=16. 方法二：设公差为d, S6=S5+a6=15，15= 即3（a1+10）=15. a1=-5，d= =3.a8=a

3、1+（8-1）d=16.,等差数列前n项和的性质 等差数列前n项和的性质. (1)项数（下标）的“等和”性质： (2)项的个数的“奇偶”性质： 等差数列an中，公差为d： 若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶S奇= an+1an；,若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶S奇=n（n+1）； “片段和”性质： 等差数列an中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Smk-S（m-1）k,构成公差为k2d的等差数列.,【例2】Sn是等差数列an的前n项和，且S10=100，S100=10，

4、求S110.,【规范解答】方法一:设等差数列an的公差为d,前n项和 为Sn,则Sn=na1+ 由已知得 10-,整理得d= 代入,得a1= S110=110a1+ =-110. 故此数列的前110项之和为-110.,方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+ D=S100=10 D=-22,S110-S100=S10+(11-1)D =100+10(-22)=-120. S110=-120+S100=-110.,【变式训练】等差数列an中，a2+a7+a12=24，求S13. 【解题提示】利用等

5、差数列的性质 Sn= 【解析】因为a1+a13=a2+a12=2a7，又a2+a7+a12=24，所以 a7=8，所以S13= =138=104.,【例】已知等差数列an的前4项和为25，后4项和为63， 前n项和为286，求项数n. 【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数 列项数（下标）的“等和”性质： Sn= 来求得.,【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63. 而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所以a1+an=22， 所以Sn= =11n=286，所以n=26.故所求的项数

6、为26.,【变式备选】已知等差数列an的前n项和为377，项数n为奇 数，且前n项和中奇数项和与偶数项和之比为76，求中间项.,【典例】（12分）在等差数列an中，a1=25，S17=S9，求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得an0,an+10或利用性质求出大于或等于零的项.,【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得 2517+ =25 3分 解得d=-2，6分 Sn=25n+ （-2）=-（n-13）2+169， 9分 由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. 12分,方法二：先

7、求出公差d=-2（同方法一）， 6分 a1=250,故an为递减数列，由 得 解得 9分 即 又nN* 当n=13时，Sn有最大值S13=1325+ （-2） =169. 12分,方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， 6分 由S17=S9，得a10+a11+a17=0， 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14， 故a13+a14=0 9分 d=-20,a10,a130,a140. 故n=13时，Sn有最大值169. 12分,【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：,【即时训练】在等差数列an中，a1=50，d=-0.6. （1）从第几项起以后各项均小于零？

8、 （2）求此数列前n项和的最大值. 【解题提示】（）实质上是解一个不等式，但要注意 为正整数；（）转化为求二次函数的最大值的问题 【解析】（1）a1=50，d=-0.6, an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.60，则n 84.3. 由nN*,故当n85时，an0，即从第85项起以后各项均小于0.,(2)方法一：a1=500，d=-0.60， 由（1）知a840，a850， S1S2S3S84，且S84S85S86. （Sn）max=S84=5084+ （-0.6）=2 108.4. 方法二：Sn=50n+ （-0.6）=-0.3n2+50.3n =-0.3（n- ）2+ 当n取最接近于 的自然数，即n=84时，Sn取得最大值 S84=2 108.4.,1.在等差数列an中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ） （A）70 （）35 （）30 （）12 【解析】选S6 30,2.等差数列an的前项和为Sn，若a3a1710，则 S19（ ） （）55 （）95 （）100 （）不能确定 【解析】选S19 95,3.已知数列an的通项an-n，则其前项和 Sn_ 【解析】an+1-an-，an是等差数列a1-， -，Sn- （-） 答案：,4.等差数列an的前项和为Sn，若a2，a3，则