应用数学第8讲---导数的应用

1、导 数 的 应 用,第八讲,( Applications of Differentiation ),单调性与凹凸性,局部最大值与局部最小值,整体最大值与整体最小值,拐点,弹性分析,洛必达法则,Logistic 模型,知识目标,理解单调性、凹凸性、极值点和最值点的含义,了解拐点的概念和Logistic模型,掌握弹性分析和洛必达法则,能力目标,会求函数的极值和最值,能建立一般经济模型的Logistic模型并进行弹性分析,会用洛必达法则求极限,问题一：“商品需求波动”问题,同一件商品在不同的时期，它的市场价格会发生波动，在不同的时,期内，商品的市场需求也会发生波动，当需求增加的时候，势必会,造成商品

2、的价格也要随之发生波动，这时，如果能够把握住商品的,市场需求，当需求增加的时候，适当提高产量可以增加收益，反之,适当地减少产量可以规避因不必要的产品剩余而造成的损失.,为了把握商品的市场需求波动以提高收益，我们需要探究商品在产,为多少的时候会增加，多少的时候会减少? 经过调研，发现某商品,市场需求函数满足：,问题一：“商品需求波动”问题,观察其图像,上升,下降,上升,单调性,观察图像,单调性判别定理,设函数 f ( x ) 在区间 I 内可导，如果,(1) 则，函数在区间 I 内单调递增；,(2) 则，函数在区间 I 内单调递减；,I 称为单调区间！,例如 判别函数 在区间 上的单调性.,解,

3、因为函数在在区间 内，有：,除点 外，都有 ，因此,函数在区间 上单调增加.,例 1 讨论函数 的单调性.,解,显然函数的定义域为,因为：,令,得,所以，递增区间为： ，递减区间为：,例 2 讨论函数 的单调性.,解 显然函数的定义域为,当 时有,所以，递增区间为： ，递减区间为：,小结归纳,单调性发生改变的可疑点：驻点和不可导点,求单调区间的步骤：,(1) 写出定义域；,(2) 求出所求函数的导数；,(3) 求出所有驻点和不可导点；,(4) 根据驻点和不可导点将定义域分段进行列表.,导数等于零的点,问题一：“商品需求波动”问题,观察其图像,局部最大值,局部最小值,函数的极值,设函数 f (

4、x )在点 的某邻域 内有定义，如果对于去心邻域,内的任一 x ，有,或,那么称 是函数 f ( x ) 的极大值（或极小值）,注 意：,若一个点的左右两侧函数单调性发生改变，则该点称为,极值点！,函数的极值第一充分条件,假设点 是函数 的驻点或不可导点，若：,(1) 当 时有 ，当 时有 ，则函数在点,处取得极大值，该点称为极大值点；,(2) 当 时有 ，当 时有 ，则函数在点,处取得极小值，该点称为极小值点；,极值的必要条件：,设函数 在点 处可导，且在 处取得极值，那么,极值的必要条件,极值的第二充分条件,设函数 在点 处二阶可导，且 ， ，则,(1) 当 时，函数 f ( x ) 在点

5、 处取得极大值；,(2) 当 时，函数 f ( x ) 在点 处取得极小值；,注意：在极值的第二充分条件下，函数不存在不可导点！,例 3 求函数 的极值.,解 显然函数的定义域为：,而,得驻点：,又,令,故， 是极小值，,观察 两侧一阶导数,的符号发现没有改变，因此不取,极值.,函数的最值,闭区间上连续函数必有最大和最小值！,最值在极值和端点处取到,最值的求法,(1) 求出所有驻点和不可导点；,(2) 将所有驻点和不可导点以及端点处的函数计算出来；,(3) 比较驻点、不可导点、端点处的函数值；,最值是全局性的，极值是局部性的！,例 4,铁路线上 段的距离为 ，,工厂 距 处为20 km，AC垂

6、直,于AB.为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.,已知铁路每公里货运费与公路每千米货运的运费之比为3:5，为了使,货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点选在何处？,解 设AD = x km,则BD = (100 x) km，,假设公路运费每公里为5k，铁路为,3k，总运费为 y 元，则,求导,得驻点：,，此时运费最省！,问题二：“需求波动的临界”问题,观察其图像,上升,下降,上升,函数的凹凸性,函数的凹凸性,凹凸性的定义,设函数 f ( x )在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 都有：,那么函数 f ( x )在区间 I 上的图像是凹的，此时称为凹函数；如果有,

7、那么函数 f ( x )在区间 I 上的图像是凸的，此时称为凸函数.,凹凸性的判别定理,设函数 f ( x )在区间 a ,b 上连续，在 ( a , b )上具有二阶导数，那么：,(1) 若在区间 ( a , b ) 上有 ，则函数在a , b上是凹函数；,(2) 若在区间 ( a , b ) 上有 ，则函数在a , b上是凸函数.,例如 上有 ，是凹函数，因此有：,即,化简即为,例 5 判定曲线 的凹凸性,解 显然函数的定义域为,又,所以函数在其定义域上是凸函数！,故有：,即,亦即,例 6 判定曲线 的凹凸性,解 显然函数的定义域为,又,当 时，,当 时，,所以函数在 上是凹函数,函数在

8、上是凸函数,函数在点 x = 0的两侧凹凸性发生改变！,拐点,如果函数在点 的左右两侧的凹凸性发生改变，那么点,称为函数的拐点(形态改变的临界点),拐点的求法：,(1) 写出函数的定义域，求出二阶导数；,(2) 求出所有二阶导数为零的点和不存在的点；,(3) 列表将定义域进行划分，判别二阶导数的正负号.,例 7 求曲线 的凹凸区间和拐点.,解 显然函数的定义域为,又,令,得,所以函数的凸区间为 ，凹区间为,拐点为：,问题三：平均成本最小化问题,设成本函数 C = C ( x ) ( x 是产量)，一个典型的成本函数图像：,注意到前段区间上，曲线称凸的，因而,切线的斜率，即边际成本在此区间上单,

9、调下降，这反映了生产规模的效益.,接着曲线上有一个拐点，曲线随之变成凹,的，边际成本呈递增态势，引起这种变化的原因可能是超时工作带,来的低效性.,定义每单位产品所承担的成本费用为：平均成本函数.,( x 是产量 ),问题三：平均成本最小化问题,要找出平均成本的最小值，即：,令,，得,这样，我们得到平均成本的唯一的驻点，由于产量不可能为零，,因此平均成本函数没有不可导点，所以这个驻点就是最小值点.,即当边际成本等于平均成本时，平均成本达到最小.,例 8,某企业每月产量 x ( t ) 时，总成本函数为： ( 元),那么该企业的最低平均成本和相应产量的边际成本是多少?,解 平均成本为：,令,，得唯

10、一驻点：,又,，所以,，故,是极小值点，,且是最小值点，,最小值为：,(元),边际成本函数为：,，边际成本为：,问题四：最大利润问题,商品制造面临的最基本问题是如何获得最大利润.,对于产量 q ，利润 L ( q )是供应该产量的收益 R ( q ) 与成本 C ( q ),之差，因此：,边际成本：,边际收益：,边际利润：,例 9,某服装公司确定，为卖出 x 套服装，其单价为,同时还确定，生产 x 套服装的总成本可表示为：,(1) 试确定总收入函数 R ( x ) 、总利润 L ( x )；,(2) 为使利润最大化，公司必须生产并销售多少套服装?,(3) 最大利润是多少?,(4) 为实现这一最

11、大利润，其服装的单价应定为多少?,解,(1) 总收入：,总利润：,，又：,例 9,某服装公司确定，为卖出 x 套服装，其单价为,同时还确定，生产 x 套服装的总成本可表示为：,(1) 试确定总收入函数 R ( x ) 、总利润 L ( x )；,(2) 为使利润最大化，公司必须生产并销售多少套服装?,(3) 最大利润是多少?,(4) 为实现这一最大利润，其服装的单价应定为多少?,解,(2) 因为：,，令,，得唯一驻点：,，所以在,处取得最大,值.,(3) 最大值：,(元),由此，公司必须销售100套服装来实现3500元的最大利润.,例 9,某服装公司确定，为卖出 x 套服装，其单价为,同时还确

12、定，生产 x 套服装的总成本可表示为：,(1) 试确定总收入函数 R ( x ) 、总利润 L ( x )；,(2) 为使利润最大化，公司必须生产并销售多少套服装?,(3) 最大利润是多少?,(4) 为实现这一最大利润，其服装的单价应定为多少?,解,(4) 为实现最大利润,，其服装的单价是：,(元),问题四：最大利润问题,定理 当边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成,本的变化率时，即,时，可以实现最大利润.,亏损,盈亏平衡点,盈亏平衡点,亏损,盈利,最大利润点,问题五：价格波动的灵敏度问题,商品甲每单位价格200元，涨价20元；商品乙单位售价2000元，也,涨价20元.那么这两种商

13、品价格的绝对改变量都是20元，但与其原来,价格相比较，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，,商品乙涨了1%.,显然，价格波动的幅度相同的情况下，两种商品的,价格灵敏程度明显不同！,这种灵敏度在数学上称为相对变化率！,在经济学上称为弹性！,弹性分析,假设函数 y = f ( x )可导，函数的相对改变量：,自变量的相对改变量：,函数值的相对改变量与自变量的相对改变量之间的比值：,称为函数 f ( x ) 在 x 与 两点间的弹性！,而极限：,，称为函数 f ( x ) 在点 x 处,的弹性(相对变化率),，记为：,对弹性的解释,函数 y = f ( x ) 在点 x 的弹性 反映了

14、随 x 的变化， f ( x ) 变化,幅度的大小，即 f ( x ) 对 x 变化反应的强烈程度或灵敏度！,例 10,某商品的需求量 Q 与价格 p 的关系为：,(1) 求需求弹性 ( p ) ；,(2) 当商品的价格为 p = 10 (元)时，再上涨1%，求商品需求量的变,解,(1) 需求弹性为：,化情况.,需求弹性为负，说明商品价格上涨1%，商品需求量将减少1.39 p %,例 10,某商品的需求量 Q 与价格 p 的关系为：,(1) 求需求弹性 ( p ) ；,(2) 当商品的价格为 p = 10 (元)时，再上涨1%，求商品需求量的变,解,(2) 当价格 p = 10时：,化情况.,

15、这说明价格 p = 10 (元)时，价格每上涨1%，商品的需求量,将减少13.9%，若价格降低1%，商品需求量增加13.9%！,问题六：销售量的预测问题 Logistics模型,新产品的销售量通常满足：,这个函数称为 Logistic函数！,一般的 Logistic 函数有3个参数 L，C，K,Logistic函数的性质：,(1) 极限值为 L 是 P 的承载容量；,(2) 报酬递减点是拐点，P 在这一点增长最快且 P = L / 2；,问题六：销售量的预测问题 Logistics模型,例 11,某款新游戏经过调试后，在市场上的销售量( 单位：万 )满足：,解,如图：,试讨论这款新游戏的市场走势以及最大销售量.,(万),当 (万)时，销量最快！,销量：,问题七：未定式的极限 洛必达法则,如果函数 与 满足,(1) 当 时，都趋于零；,(2) 在点 a 的某去心邻域内， 都存在，且 ；,那么,(3极限 存在，,洛必达( L Hospital )法则,问题七：未定式的极限 洛必达法则,洛必达( L Hospital )法则,如果函数 与 满足,(1) 当 时，都趋于无穷大；,(2) 在点 a 的某去心邻域内， 都