控制系统的微分方程

1、控制理论基础,第二章 控制系统的微分方程,本章主要内容: 2.1 2.2 2.3,建立系统微分方程的一般方法和步骤 线性系统及其齐次性和叠加性 非线性数学模型线性化,Part 2.1建立系统微分方程的一般方法和步骤,数学模型的定义,数学模型是指出系统内部物理量（或变量）之间动态 关系的数学表达式。揭示系统结构、参数与性能特性 的内在联系。,建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。,自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动

2、规律。,建立数学模型的目的：,建立数学模型的方法：,解析法（本课程研究） 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法(系统辨识课研究) 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,常用数学模型,时间域：微分方程 复数域：传递函数 频率域：频率特性,Part2.1.1 微分方程的一般特征,Part2.1.2 建立系统微分方程的一般步骤,简化物理系统 划分环节 写出每或一环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式,简化物理系统,简忽略次要因素 分布参量集中化 非线性因素线性化 时变参量定

3、常化,分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定待研究元件或系统的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。,划分环节,按功能（测量、放大、执行）划分,写出每或一环节(元件) 运动方程式,从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。,负载效应,写成标准形式,微分方程的标准化包含两方面的内容： 将与输入量有关的各项放在方程的右边， 与输出量有关的各项放在方程的左边； 各导数项按降幂排列,Part2.1.3 理想元件的微分方程描述 电气系统三元件,电

4、学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,机械运动系统的三要素,机械运动的实质： 牛顿定理、能量守恒定理,阻尼 ,质量 M,弹簧 K,Part 2.1.4 机械系统的微分方程,机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。,机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数 2）阶次等于独立储能元件的数量,机械旋转系统,K 扭转刚度系数,粘性摩擦系数,例2.1：直线运动（机械平移系统）,例2.2：转动系统,Part 2.1.5 电气系统的微分方程,电气系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律（克希霍夫电流电压定律）写出微分方程式，进而建立

5、系统的数学模型。 1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。 2）基尔霍夫电压定律 电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。,电气系统,例2.3： uC 为输出电压， ur为输入电压， 写出电气系 统的微分方程。,Part2.1.6 机电系统的微分方程,Part 2.2 线性系统及其齐次性和叠加性,线性微分方程：因变量或它的导数都不高于一次方，并 且没有因变量与其导数之积。,线性系统：用线性微分方程描述的系统。,线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数 是常数。,线性时变系统：用线性微分方程描述，微

6、分方程的系数 是随时间而变化的。,线性系统的重要性质:,2. 叠加性，即： 如果输入r1(t)输出y1(t)， 输入r2(t)输出y2(t) 则输入r1(t)+r2(t) 输出 y1(t)+y2(t),1.齐次性，即： 如果输入r1(t)输出y1(t)， 则输入a r1(t输出a y1(t),线形系统的一般形式,Part 2.4 非线性数学模型线性化,非线性系统：,如：带铁芯的电感线圈、机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速度的平方成反比等。,用非线性微分方程描述。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性； 非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分

7、析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,线性化方法,以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对平衡工作点的偏差。,增量 （小偏差法）,假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程 局部线性增量方程,增量方程,增量方程的数学含义： 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,非线性微分方程的小偏差线性化： 将非线性函数在平衡工作点邻域展开成泰勒级数，并且略去高次项。,单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 注：y = f (x0)称为系统的静态方程,多变量函数泰勒级数法,1）确定工作点； 2）列出在工作点附近各元件的增量方程；