03届 普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(文史类)及答案

1、2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（文史类）注意事项：1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示 上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式： ，其中R 表示球的半径.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题共60分）一

2、.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1直线对称的直线方程为 （ ）（A） （B） （C） （D）2已知，则 （ ） （A） （B） （C） （D）3抛物线的准线方程是的值为 （ ） （A） （B） （C） （D） 4等差数列中，已知为（ ） （A）48 （B）49 （C）50 （D）51 5双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D）6设函数 ，若，则的取值范围是 （ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，）7已知（ ） （A） （B） （C） （D

3、） 8函数（ ） （A）0 （B） （C） （D） 9已知（ ） （A） （B） （C） （D） 10已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，该圆柱的全面积为（ ） （A） （B） （C） （D）11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）若重合，则tg= （ ） （A） （B） （C） （D）112一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A） （B） （C） （D）2003年普通高等学校招生全

4、国统一考试数 学（文史类）第卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13不等式的解集是_.14的展开式中系数是 _ .15在平面几何里，有勾股定理：“设”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则_.”2153416如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_（以数字作答） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17（本小题满分12分）

5、已知正四棱柱点中点ED1B1A1C1BDCAFM（）证明的公垂线（）求点的距离18（本小题满分12分） 已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求.19（本小题满分12分） 已知数列满足（）求；（）证明yOOOx20（本小题满分12分） 已知函数（）求函数的最小正周期和最大值；（）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象21（本小题满分12分）O北东Oy线岸OxOr(t)P海 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，

6、问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？22（本小题满分14分） 已知常数，在矩形ABCD中，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由OPAGDFECBxy2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部

7、分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四. 只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1C 2D 3B 4C 5B 6D 7D 8C 9C 10B 11C 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.13 14 15 1672三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM

8、， F为BD1中点， FMD1D且FM=D1D又EC=CC1，且ECMC，四边形EFMC是矩形 EFCC1 又CM面DBD1 EF面DBD1BD1面DBD1，EFBD1 故EF为BD1与CC1的公垂线（II）解：连结ED1，有V由（I）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，则SDBCd=SDCDEF.AA1=2AB=1.故点D1到平面BDE的距离为.18解：设z= 由题设即 （舍去）即|z|=19（I）解（II）证明：由已知 = 所以20解（I） 所以函数的最小正周期为，最大值为.（）由（）知111故函数在区间上的图象是21解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向. 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是，其中t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有即即， 解得.答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭22解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）设，由此有E（2，4ak），F（24k，4a），G（2，4a4ak）.直线OF的方程为：，