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1、11.4 平面曲线积分 与路径无关的条件,返回,定理11.2 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有,(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分,(iii),(iv) 在 D 内处处成立,与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.,函数,则以下四个条件等价:,是 D 内是某一函数,的全微分,即,证明 (i) (ii),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(i),所以,证明 (ii) (iii),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (i

2、ii) (iv),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以,从而在D内每一点都有,证明 (iv) (i),设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,由条件(iv), 在 D 上处处成立,由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:,具有性质：d u = P dx + Q dy,称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线

3、积分时, 可选择方便的积分路径;,例1 试应用曲线积分求,的原函数.,解 这里,在整个平面上成立,由定理2, 曲线积分,线段 于是有,只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.,例2. 设质点在力场,作用下沿曲线 L :,由,移动到,求力场所作的功W,解:,令,则有,可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.,取圆弧,解,例4： 计算积分,其中C是,上半圆周,顺时针方向为正。,例5： 已知点O（0,0）及点A（1,1），且曲线积分,与路径无关,试确定常数a,b,，并计算曲线积分。,全微分求积（全微分方程）,设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D 有连续偏,导数，且,是某个函数u的全微分, 且,则,(u的求法),例 求,的一个原函数, 并计算,上述求原函数的过程称为全微分求积(分).,原函数的另一种求法:,例,求 u,为全微分方程 .,若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函数的的全微分，,称方程,求出原函数

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