新人教版第二十一章一元二次方程全章导学案

1、九年级数学第二十一章一元二次方程导学案21.1 一元二次方程一、一元二次方程x问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？思考：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_，方程中含有_未知数（一元），并且未知数的最高次数是_.归纳：1.一元二次方程定义：2. 一元二次方程的一般形式:二

2、、应用举例:例：1.将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项2.下列方程是一元二次方程的是有 ：（1），（2）(x+1)(x-1)=0，（3），（4），（5）， （6）3. 若是关于x的一元二次方程，求m的值4.若是关于x的一元二次方程，则（ ）.a m0，n=3 b m3，n=4 c m0，n=4 d m3，n05.已知：关于x的方程.（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程.6.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; 一个长方形

3、的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。三.一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_，即使一元二次方程等号左右两边相等的_的值。例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。变式：下列各未知数的值是方程的解的是（ ）a. b. c. d. 2.已知方程的一个根是1，则m的值是_。3.已知m是方程的一个根，则代数式_。21.2一元二次方程的解法（1） 直接开平方法1你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ 2探究一桶某种油漆可刷的

4、面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？例1用直接开平方法解下列方程：（1）2x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2 （4）4m2-9=0 （5） 3(x-1)2-9=108 解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 练习：（1）(3x+1)2=7 （2）y2+2y+1=24 （3）9x2+6x+1=4 （4） 3(x-1)2-6=0 21.2一元二次方程的解法（2） 配方法一.复习回顾：填空：x2+

5、6x+_=（x+_）2； x2-x+_=（x-_）24x2+4x+_=（2x+_）2; x2-x+_=（x-_）22：探究 x2+6x+4=0什么叫配方法？ 配方法的目的是什么？ 配方法的关键是什么？ 例题：用配方法解下列一元二次方程：（1） （2）x2+10x+9=0（3） （4）课堂训练1将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ） a（x-2）2+3 b（x-2）2-3 c（x+2）2+3 d（x+2）2-32已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ） ax2-8x+（-4）2=31 bx2-8x+（-4）2=1 cx2+8x+42=1 dx2-4x+4=-1

6、13如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ） a1 b-1 c1或9 d-1或94（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2（3）x2+px+_=（x+_）25.用配方法解下列关于x的方程：（1） （2） 3x2+6x-4=0 （3）4x2-6x-3=0 （4）x(x+4)=8x+1221.2一元二次方程的解法（3） 公式法一.新知探究：1.任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a0）， 你能否用上面的配方法得出方程的解呢？ 用配方法解方程ax2bxc = 0（a0）解：移项，得 ，

7、二次项系数化为1，得 ，配方 ，方程左边写成平方式 ，a0,4a2 0,有以下三种情况：（1）当b2-4ac0时， ； 。（2）当b2-4ac=0时， 。（3）b2-4ac0时，方程根的情况为 。2.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）式子叫做方程ax2bxc = 0（a0）根的 ，通常用字母 “” 表示。当 0时， 方程ax2+bx+c=0(a0)有 实数根；当 0时， 方程ax2+bx+c=0(a0)有 实数根；当 0时， 方程ax2+bx+c=0(a0) 实数根。（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2bxc = 0

8、，当0时，将a、b、c代入式子 就得到方程的根这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法例题：1.用公式法解下列方程（1）x2-4x-7=0 （2）2x2-x+1=0 （3）5x2-3x=x+1 （4）x2+17=8x2. 关于x的一元二次方程x2(m2)xm10有两个相等的实数根，则m的值是 .3.如果关于x的一元二次方程kx2x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 。4.如果关于x的方程ax 2+x1= 0有实数根，则a的取值范围是 。5.已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，求m取什么值时，方程有两个不相等的实数根？方程有两个相

9、等的实数根？方程没有实数根？练习：1.用公式法解下列方程 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=02. 已知：关于的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求另一个根及值21.2一元二次方程的解法（4） 因式分解法1：知识准备将下列各题因式分解am+bm+cm= ; a2-b2= ; a22ab+b2= 2.解下列方程（1）2x2+x=0（用配方法） （2）3x2+6x=0（用公式法）除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、归纳：一元二次方程，先因式分解使方程化为_ _的形式，再使_，从而实现

10、_ _，这种解法叫做_。如果，那么或，这是因式分解法的根据。练习1、说出下列方程的根：（1） （2）练习2、用因式分解法解下列方程(1) x2+x=0 (2) x2-2x=0（3） (4) （5）4x2-121=0 （6）(2x-1)2=(3-x)2 （7） （8）3x2-12x=-12 因式分解法解一元二次方程的一般步骤一元二次方程的解法小结1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：方法名称理论根据适用方程的形式直接开平方法平方根的定义或配方法完全平方公式所有的一元二次方程公式法配方法所有的一元二次方程因式分

11、解法两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程3、一般考虑选择方法的顺序是：直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法二、用适当的的方法解下列方程： 21.2 一元二次方程根与系数的关系1.知识探究设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，试推导x1+x2=_x1x2= _一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=例1：不解方程，求下列方程的两根和与两根积：（1）x2-6x-15=0 （2）3x2+7x-9=0 （3）5x-

12、1=4x2例2：已知方程的一个根是 -3 ，求另一根及k的值。例3:已知,是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 22.3.1 实际问题与一元二次方程（1）一.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设_，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中_ 关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_；(4)“检验”，即验证是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题。二.例题解析：1生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（ ）ax（x+1）=18

13、2 bx（x-1）=182 c2x（x+1）=182 dx（1-x）=18222一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ） a12人 b18人 c9人 d10人3某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人？4.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？5.学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？6.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？7.一个直角三角形的两条直角边的和是14

14、cm，面积是24 cm，求两条直角边的长。8.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12 cm，求菱形的周长。22.3.2 实际问题与一元二次方程（2）探 究：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）初步应用1要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？2如图，某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地上修建三条同样宽度的马路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是144，求马路的宽.3如图，要设计一幅宽20、长30的图案，其中有两横两竖的彩条（图中阴影部分），横、竖彩条的宽度比为，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确到0.1）4如图，利用一面墙（墙的长度为10m），用20长的篱笆，怎样围成一个面积为48的矩形场地5.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发