控制系统的稳定性分析

1、Principle of Control in Mechanical Engineering,Zhou-xianhui 2009.2,Electromechanical Engineering department,第五章 系统的稳定性,Stability of the control system,5.1 系统稳定性的概念 5.2 Routh(劳斯）稳定判据 5.3 Nyquist稳定判据 5.4 Bode稳定判据 5.5 系统的相对稳定性 5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性,稳定性概念,Routh稳定性判据,Bode稳定性判据,Nyquist稳定性判据,稳定性概念,稳定性是线性控制系

2、统中最重要的问题,1.稳定性的概念,一个系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动取消后，这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的。否则，称这个系统是不稳定的。,5.1 系统稳定性的初步概念,条件稳定系统,b、c允许偏差范围,d、e规定偏差边界,稳定系统,不稳定系统,5.1 系统稳定性的初步概念,系统的稳定性概念又分绝对稳定性和相对稳定性。,系统的绝对稳定性是指系统稳定（或不稳定）的条件。 系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。,5.1 系统稳定性的初步概念,2. 系统稳定的充要条件,线性系统动态微分方程的一般式为：,经拉氏变换得：,该系统的传递函数为：,5.1 系统稳定性的初

3、步概念,系统的特征多项式 ：,系统的特征方程 ：,特征方程的根 ：,系统的单位脉冲响应为：,系统的特征方程的根是负实数或共轭复数具有负实部时，系统在稳态时（t），单位脉冲响应趋于零，则系统是稳定的 。,系统稳定的充要条件：特征方程的根全部位于复平面虚轴的左半部。,5.1 系统稳定性的初步概念,为了避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，并以此来判断系统的稳定性。这就产生了一系列稳定判据。,5.2 Routh稳定判据,一、代数稳定判据,1、稳定的必要条件：特征方程中各项系数0 2、稳定的充分条件：劳斯阵列中第一列所有项0,一直计算到最后一行算完为止。然后判断阵列

4、中第一列系数的符号，若全部0,则系统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数，就为特征方程在右半s平面的根数。,5.2 Routh稳定判据,Routh阵列,解：1、该系统满足必要条件,1,3,-2,3,5.2 Routh稳定判据,2、计算Routh阵列如下：,二、计算示例,例2,K为何值时，系统稳定?,5.2 Routh稳定判据,3、列Routh阵列：,必要条件,三、劳斯判据的两种特殊情况,1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；,5.2 Routh稳定判据,第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。,1,0,1,0,0,2,第一列系数符号无改变，故系统没有正

5、实部的根。,行为0， 表明系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。,5.2 Routh稳定判据,三、劳斯判据的两种特殊情况,1、某一行第一个元素为零，而其余各元素均不为零、或部分不为零；,由该行的上一行元素来解决： （1）构成辅助多项式，并求导，用其系数代替全为零的行； （2）构成辅助方程，并解出这些大小相等但位置径向相反的特征根。,显然，这些根的数目一定是偶数。,5.2 Routh稳定判据,三、劳斯判据的两种特殊情况,2、某一行所有元素均为零。,表明在 S 平面内存在大小相等但位置径向相反的根，即存在两个大小相等、符号相反的实根和（或）一对共轭虚根。,5.2 Routh稳定判据,三、劳斯判据

6、的两种特殊情况,2、某一行所有元素均为零。,3,8,8, 1 6 8,0 0,系统临界稳定, 1 3,辅助方程式,第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。,前向通道传递函数：G(s) 反馈通道传递函数：H(s) 开环传递函数： Gk(s)=G(s)H(s) 闭环传递函数：,5.3 Nyquist稳定判据,一、开环与闭环传递函数,通常，我们画的Nyquist曲线都是开环Gk(s)频率特性曲线。,-KT,0,-8KT/5,闭环系统的绝对稳定性可以由开环频率特性曲线图确定。 Nyquist稳定性判据,5.3 Nyquist稳定判据,二、幅角原理,s1,s2,1、特征根,2、

7、特征根在频率域的特性,j,(S1j)当0时，其幅角增量为-/2,(S2j)当0时，其幅角增量为/2,s3,(S3j)当0时，其幅角增量为/2+,左半平面单个复数特征根平均幅角增量为：/2,5.3 Nyquist稳定判据,二、幅角原理,ReG,ImG,s1,s2,s3,1、Si位于s右半平面时，特征根的幅角增量为-/2，,2、Si位于s左半平面时，特征根的幅角增量为/2，,n个特征根。 设p个位于右半平面， (n-p)个位于左半平面,系统幅角增量为：,幅角原理的数学表达式,5.3 Nyquist稳定判据,三、G(j)幅角增量与（0，0）点的几何关系,G(j)的Nyquist图中幅角增量为0则其必

8、包含（0，0）点。,四、反馈系统开环与闭环的特征方程式,5.3 Nyquist稳定判据,特征方程为：A(s)=0,特征方程为：,五、开环稳定，闭环是否稳定的依据,5.3 Nyquist稳定判据,若G(s)稳定，则其特征方程A(s)=0 的特征根有0个在s右半平面。其幅角增量为：,对GB(s) ，设其特征根在右半平面有p个，则左半平面有（n-p）个，其特征多项式的幅角增量为：,五、开环稳定，闭环是否稳定的依据,5.3 Nyquist稳定判据,若GB(s)稳定，则 p=0,1G(s)不包含（0，0）点,G(j)不包含(-1,j0)点,5.3 Nyquist稳定判据,对于开环稳定的系统，闭环系统稳定

9、的充要条件是：系统的开环频率特性不包围（1，j0）点。,5.3 Nyquist稳定判据,解：1、先考查开环状态下是否稳定。,由题意得：,开环状态下系统是稳定的。,2、作系统开环传递函数G(s)的Nyquist图。,特征根 为负值,2、作系统开环传递函数G(s)的Nyquist图。,K0=4, T=0.1s时的G(j)Nyquist图,K0=4, T=0.1s时的G(j)Nyquist图,G(j)包围了（-1,j0)点，该闭环系统不稳定！,5.3 Nyquist稳定判据,5.3 Nyquist稳定判据,六、具有零根的开环G(j)H(j)轨迹,(b),(a),以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实

10、轴端和 G(j) H(j)轨迹的起始端。,(c),对下图作辅助线如虚线所示，可知它们都不包含（1，j0)点。其闭环系统均稳定。,习惯上，把开环系统 的零根作左极点处理。,单位反馈系统的开环传递函数为,应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性。,1、S1=0,S2=-1/T,开环稳定 2、开环 Nyquist曲线不包围 (-1, j0 )点,系统闭环稳定。,5.3 Nyquist稳定判据,一、Nyquist图 与Bode图的对应关系,5.3 Bode稳定判据,二、利用Bode图判断稳定性,稳定,不稳定,5.3 Bode稳定判据,Frequency (rad/sec),Phase (deg) M

11、agnitude (dB),bode plot,-150,-100,-50,0,50,10,-2,10,-1,10,0,10,1,10,2,10,3,-300,-250,-200,-150,-100,-50,5.3 Bode稳定判据,系统稳定,一、相对稳定性和稳定裕量,5.4 系统的相对稳定性,特征方程最近虚轴的根和虚轴的距离,稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。,注意：虚轴是系统的临界稳定边界,G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度,GH平面,一、相对稳定性和稳定裕量,5.4 系统的相对稳定性,二、相对稳定性的

12、定量衡量指标,5.4 系统的相对稳定性,1、相位裕量,正相位裕量,具有正相位裕量的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 度才达到临界稳定条件。,因此相位裕量也叫相位稳定性储备。,二、相对稳定性的定量衡量指标,5.4 系统的相对稳定性,2、幅值裕量,正幅值裕量,正相位裕量 线以上,正幅值裕量 0dB线以下,负幅值裕量,负相位裕量 线以下,负幅值裕量 0dB线以上,负相位裕量,二、相对稳定性的定量衡量指标,5.4 系统的相对稳定性,具有负幅值裕量及负相位裕量时，闭环不稳定。,工程实践中，为使系统有满意的稳定储备，一般希望：,Frequency (rad/sec),Phase (de