厦门大学材料力学课件本科版平面曲线的曲率

1、第六节平面曲线的曲率(curvature)弧微分(arcelement)曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径小结思考题作业1曲率y设函数 f (x)在区间(a, b)内具有连续导数.基点: M0 (x0 , y0 ),M ( x, y)为任意一点,MM0sx0xOx(1) 曲线的正向与x增大的方向一致;规定的方向与曲线正向一致时,M0 M = s, 当M0 Ms取正号, 相反时, s取负号.2为了得出曲线 y = f (x) 的曲率公式, 先一计算、弧弧长微函分数s(x)对x的微分,称为弧微分.曲率s = s( x)单调增函数. 设M( x + Dx, y + Dy), 如图设对应于x的增量Dx,

2、，弧 s的增量为Ds, 那末yM DyMM0sx + Dxx0xOx= M M Ds = M0 M M0 M Ds 2 MM 2 MM 2| MM |2= 于是= Dx (Dx)2Dx| MM| MM 2 Dy 2 MM 2(Dx)2+ (Dy)2= = 1 + 3| MM|(Dx)2| MM | Dx DsDx曲率 Dy 2 Ds 2 MM 2= 1 + Dx Dx | MM|yM Dy令Dx 0 取极限,M M ,MM0sx0| MM | = 1即lim| MM |x + DxM MxOxDy = yds得=+1 + y2又limDx0 DxdxQ s = s( x) 为单调增函数, 故d

3、s =1 + y2dx.弧微分公式4DsDxDsMM 2 Dy 2 Dx = | MM | 1 + Dx 曲率1 + y2dx弧微分公式ds =如将dx写到根式内,得ds =(dx)2 + (dy)2 .1 + x2dy.ds =如曲线x = x( y),则如曲线为参数方程 x = j (t ),dx = j(t )dt,dy = y (t)dt, y = y (t ),j2 (t ) +y 2 (t )dt.ds =r = r (q )如曲线以极坐标方程给出可化为参数方程形式 x = r (q ) cosq y = r (q ) sinqr(q )2 + r (q )2dq .代入公式,得

4、ds =5曲率二、曲率及其计算公式1. 曲率的定义曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量.M2j 2DS1M1jDS21M3DS2M2NNDS211M1弧段弯曲程度越大转角越大转角相同弧段弯曲程度大越短6曲率yCDa设曲线C是光滑的，MM0是基点. MMDsM=Ds ,M0sa + DaM M切线转角为Da .OxDa弧段MM的平均曲率为K =定义DsK = lim Da曲线C 在点M处的曲率为DsDs0在lim Da = da 存在的条件下,K = da .DsdsDs0ds7曲率(1) 直线的曲率处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.注2. 曲率的计算公式设

5、y =f ( x)二阶可导, Qtana =y,Q K = da ,有a = arctan y, da = 1 ydx1 + y2dsy1 + y2dx. K =由ds =.3(1 + y2 )28曲率 x = j (t ),设 y = y (t ),二阶可导,d2 y = j (t )y (t ) - j (t )y (t )y (t )dy=,dxj(t ).Qj 3 (t )dx2| y |K =,由公式3(1 + y2 )2 K =j (t )y (t ) - j (t )y (t ) .3j 2 (t ) +y 2 (t )29曲率例 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一

6、点的曲率最大?| y |y = 2ax + b,y= 2a,K =解3(1 + y2 )22a K =.31 + (2ax + b)2 2显然,当x = - b 时, K最大.2a- 4acb2b又Q(-,- 2a)为抛物线的顶点,4a 抛物线在顶点处的曲率最大.10曲率三、曲率圆与曲率半径(circle of curvature)yr = 1定义设曲线 y = f (x) 在点DKM(x, y)处的曲率为K (K 0).在点M处的曲线的法线上,OMy =f ( x)x在凹的一侧取一点D,使DM= 1= r .以D为圆心, r 为半径作圆(如图).K曲率圆.称此圆为曲线在点M处的曲率中心,rD

7、曲率半径.11曲率注(1) 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数, 即r = 1 , K =1 .rK(2) 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).(3) 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).12曲率四、小结研究曲线的弯曲程度: 曲率;基本概念: 弧微分, 曲率, 曲率圆,曲率中心,曲率半径;基本计算: 弧微分, 曲率;曲线上一点处的曲率圆弧近似代替该点附近曲线弧,使问题简化.13曲率思考题t为何值时, 曲线 x = a(t - sin t ); t (0, 2p ) y = a(1 - cos t ),的曲率最小？求出最小曲率, 写出该点的曲率半径.| y |