九年级数学辅导：二次函数数y=ax2+bx+c的图象

1、庐山真面目 yax2bxc【知识要点】1二次函数 yax2bxc 的图象方法一：“列表、描点、连线”方法画出它的图象；方法二：通过二次函数yax 2 向左右方向或上下方向作平移变换而得到.2二次函数 yax 2bxc 的性质 .二次函数 yax2bxc 的性质如下表：函数二次函数 yax2bxc a,b, c是常数 , a0a 0a0图yy象oxox当a0 时；抛物线开口向上，并向上无限延伸；当a0 时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是 xb ，顶点坐标是（b , 4ac b 2）； 对称轴是 xb ，顶点坐标是（b , 4ac b2）；2a2a4a2a2a4a在对称轴的左侧，即当 x

2、b 时， y 随 x 的增大在对称轴的左侧，即当 xb 时， y 随 x 的增大2ab2ab性而减小；在对称轴的右侧，即当x， y 随 x 的而增大；在对称轴的右侧，即当 x， y 随 x 的2a2a质增大而增大，简记左减右增；增大而减小，简记左增右减；b 时， y 有最小值， 抛物线有最高点，当xb 时， y 有最大值，抛物线有最低点，当 x4ac b 22a4ac b22ay最小值.y最大值.4a4a【经典例题】例 1通过配方，确定抛物线 y2x24x6 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图第 1页共 6页归纳反思1通过本题你能总结出配方的要点和关键吗？2列表时选值，应以对称轴x=1

3、为中心，函数值可由对称性得到3描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点4、讨论一般式 y=ax2+bx+c 的对称轴与顶点坐标b xa x 2 b x22y ax2bx cya x 2cybbcaa2 a2 a2b224acb 2ybcy aba xax4a2 a2 a2 a由二次函数的顶点式可知： yax2bxc 的对称轴是 xb，顶点坐标是 (b ,2 a2a4 acb 2 ) ，因此我们可以用公式来求对称轴和顶点坐标。4 a例 2关于二次函数 y ax 2bx c 的图象有下列命题：（1）当 c0时，函数的图象经过原

4、点；（2）当 c0时，且函数的图象开口向下时，方程 ax 2bx c0 必有两个不等实根；2（3）函数图象最高点的纵坐标是4acb.4a（4）当 b0 时，函数的图象关于y 轴对称；（5）当 b0 ， c0 ，抛物线顶点是原点 .其中正确命题的个数是（） .a、 5b、 2c、3d、4例 3已知抛物线 yx 2(a2)x 9 的顶点在坐标轴上，求a 的值例 4如图，关于 x 的两个函数 yx 22mx m2 和 y mx m m0 在同一坐标系中的图象可能是（） .yyyyoxoxoxoxabcd第 2页共 6页例 5.已知函数 y1 x22 x 1 .2（ 1）作出函数的草图；（ 2）观察图

5、象，当 x 为何值时， y 0 ，当 x 为何值时， y 0 ；（ 3）求此抛物线与 x 轴的两个交点，与 y 轴的交点及顶点所组成的四边形的面积 .例 6 已知抛物线 y a x t 的顶点是 b（ 1）判断点22 经过点y a x t 1t成直角三角形？若能，求出220,t0 ）的顶点是 a，抛物线 y x22x 11t （ a,t 是常数，ax 2a 是否在抛物线 y2x1 上，为什么？（ 2）如果抛物线b求 a 的值这条抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点a 能否t 的值；若不能，说明理由第 3页共 6页【归纳小结与学法指导】本节主要内容是二次函数yax2bxc 的图象，二次函数的性质

6、.在画二次函数图象时，一般不用“列表、描点、连线”这种方法，而是采用将二次函数解析式先进行配方，得到它的顶点坐标及对称轴方程，然后找几个点，就可以画出二次函数的图象。（还可以采用图象变换法，主要是用图象平移方法来作 . 平移法则可简化为：“紧随变量，成比例” . 即向左是“ +”，向右“ - ”，向下是“ +”，向上是“ - ”. ）在研究二次函数性质时，可以结合它的图象直观得到 .【经典练习】一选择题：1 将抛物线 y 2x 2 如何平移得到抛物线 y 2 x 142（） .21a 、向左平移 14 个单位，再向上平移 21 个单位b 、向左平移 14 个单位，再向下平移 21 个单位c 、

7、向右平移 14 个单位，再向上平移 21 个单位d 、向右平移 14 个单位，再向下平移 21 个单位2 如图所示， a 0, b 0, c0 ，则二次函数 yax2bxc 的图象大致是（）yyyyoxoxoxoxabcd3抛物线 yax 2bxc 的对称轴的位置（）a 、与 a, b,c有关b、只与 a,b 有关c 、只与 a 有关d、只与 b 有关4二次函数 yx 23k x2k1的图象与y 轴的交点位于 0,5 上方，则 k 的范围是（）.a 、 k3b、 k3c、 k3d、以上都不对5已知抛物线 yx22bx4的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定是（） .a 、1b、 2c、-2d、2

8、 或 -2二、填空题：1、 x 26x= （ x） 2x 25x 8 = ( x5 ) 25 x2x 2=（ x） 2x24x9 =( x 2) 22m22 x22开口向下的抛物线 y2mx1的对称轴经过点1,3，则 m 为3抛物线 y2x2bxc 的顶点坐标是 1,2则 b,c.4若函数 yx 24xk 的最大值等于 3，则 k 的值等于5已知二次函数 yx1 2x3 2 ，当 x =时，函数 y 达到最小值6将函数 y2 x3 2 的图象向右平移16 个单位，再向上平移23 个单位，得到的图象的解析式是7 已 知二次函数 y3 x 1 2k 的图象上有 三个点 a 2 , y1 , b 2

9、, y2 ,c5, y3，则第 4页共 6页y1, y2 , y3 的大小关系为三解答题：1已知二次函数yx2xm .（ 1）写出它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；（ 2） m 为何值时，顶点在 x 轴上方；（ 3）若抛物线与 y 轴交于 a ，过 a作 ab x 轴交抛物线于另一点 b ，当 s aob4 时，求此二次函数的解析式 .2某商场试销一种成本为60 元 / 件的 t 恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高 40%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元 / 件）符合一次函数ykxb ，且 x70 时， y50 ； x80 时， y40 ；（ 1）求出一次函数

10、 y kx b 的解析式；（ 2）若该商场获得利润为 w 元，试写出利润 w 与销售单价 x 之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？第 5页共 6页【作业】日期姓名完成时间成绩一、选择题1. 二次函数 y=x2-2x+1 的顶点在（）a第一象限b.x轴上c.y轴上d.第四象限2. 下列关于抛物线 y=x2+2x+1的说法中 ,正确的是（）a开口向下b.对称轴是直线 x=1c.与 x 轴有两个交点d. 顶点坐标是 (-1,0)3. 若抛物线 y=x22）-2mx+m+m+1的顶点在第二象限，则常数 m的取值范围是（am2b.-1m2 c.-1m14. 二次函数 y

11、=1-6x-3x2的顶点坐标和对称轴分别是（）ya. 顶点 (1,4)对称轴 x=1b.顶点 (-1,4)对称轴 x=-1c.顶点 (1,4)对称轴 x=4d.顶点 (-1,4)对称轴 x=425. 如图 , 观察二次函数 y=ax +bx+c的图象可知点（ b，c）ox一定在第（）象限 .第 5 题图a. 一 b. 二 c.三d.四二、填空题7二次函数 yx22x 的对称轴是8二次函数 y2x22x1的图象的顶点是，当 x时，y 随 x 的增大而减小9抛物线 y ax 24x6的顶点横坐标是 -2 ，则 a =10抛物线 yax 22xc 的顶点是 (1 ,1) ，则 a ， c.311. 若抛物线 y=(m-1)x 2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m = _.12. 已知抛物线 y=ax2 +bx