初中数学竞赛专项训练--找规律题

1、.观察归纳猜想找规律 出几个具体的、特殊的数、式或 形，要求找出其中的 化 律，从而猜想出一般性的 .解 的思路是 施特殊向一般的 化；具体方法和步 是：（ 1）通 几个特例的分析， 找 律并且 ；（ 2）猜想符合 律的一般性 ；（ 3） 或 明 是否正确 ,下面通 例来 明 些 .一、数字类基本技巧（一） 出序列号：例如， 察下列各式数：0， 3， 8，15， 24， 。我 把有关的量放在一起加以比 ： 出的数： 0 ， 3 ， 8， 15 ，24 ， 。序列号：1 ， 2 ， 3， 4， 5， 。容易 ，已知数的每一 ，都等于它的序列号的平方减1。因此，第 n 是 n2-1（二）公因式法：

2、每位数分成最小公因式相乘，然后再找 律，看是不是与n,或 2n、 3n 有关。例如： 1， 9， 25， 49，（ 81），（ 121），的第 n （ ( 2n1) 2），1， 2， 3， 4， 5。，从中可以看出n=2 ，正好是 2 2-1的平方 ,n=3 ，正好是2 3-1 的平方，以此 推。（三）增副a ： 2、9、 28、65.增幅是 7、 19、 37. ，增幅的增幅是12、18答案与 3 有关且是 n 的 3 次 ，即：3n +1b： 2、 4、 8、 16.增幅是 2、 4、 8. .答案与 2 的乘方有关即： 2n（四）有的可 每位数同 减去第一位数，成 第二位开始的新数列，然

3、后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的 律上加上第一位数，恢复到原来。例： 2、 5、 10、17、 26 ，同 减去 2 后得到新数列：0、 3、8、 15、24 ，序列号： 1、2、3、4、5，从 序号中可以看出当n=1 ，得 1*1-1 得 0，当 n=2 ， 2*2-1 得 3，3*3-1=8 ，以此 推，得到第n 个数 n21 。再看原数列是同 减2 得到的新数列， 在 n21的基 上加 2，得到原数列第 n 项 n21（五）有的可 每位数同 加上，或乘以，或除以第一位数，成 新数列，然后，在再找出 律，并恢复到原来。例 ： 4， 16， 36， 64，？，

4、 144， 196， ？（第一百个数）同除以4 后可得新数列：1、 4、 9、16 ，很 然是位置数的平方，得到新数列第n 即 n2 ，原数列是同除以 4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4 即， 4 n2， 求出第一百个数 4*1002=40000(一 )等差数列例 ： 2， 5， 8， ()。例 5： 12， 15， 18，()，24， 27。a.20b.21c.22d.23( 二 )等比数列;.例题 1： 2， 1， 1/2， ()。a.0b.1/4c.1/8d.-1例题 2： 2， 8， 32， 128， ()。( 三 )平方数列1、完全平方数列：正序： 1， 4， 9，

5、16， 25逆序： 100， 81， 64， 49， 362、一个数的平方是第二个数。1)直接得出： 2， 4， 16， ( 256 )解析：前一个数的平方等于第二个数，答案为256。2)一个数的平方加减一个数等于第二个数：1， 2，5， 26， (677) 前一个数的平方加1 等于第二个数，答案为677。3、隐含完全平方数列：1)通过加减一个常数归成完全平方数列：0， 3，8， 15， 24， ( 35)前一个数加 1 分别得到 1，4， 9， 16， 25，分别为 1， 2， 3， 4，5 的平方，答案 35 2)相隔加减，得到一个平方数列：例： 65， 35， 17， ( 3 )， 1a

6、.15b.13c.9d.3解析：不难感觉到隐含一个平方数列。进一步思考发现规律是：65 等于 8 的平方加1，35 等于 6 的平方减 1，17 等于 4 的平方加1，再观察时发现：奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是 2 的平方减1 等于 3，答案是d。* ( 四 )立方数列立方数列与平方数列类似。例题 1： 1， 8， 27， 64， ( 125 )解析：数列中前四项为1，2， 3， 4 的立方，显然答案为5 的立方，为125。例题 2： 0， 7，26， 63 ， ( 124)解析：前四项分别为1，2， 3， 4 的立方减 1，答案为5 的立方减1，为 124。(

7、五 )、加法数列数列中前两个数的和等于后面第三个数：n1+n2=n3例题 1： 1， 1， 2， 3，5， ( 8 )。a8b7c9d10解析：第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律 3+5=8 答案为 a 。例题 2： 4， 5， ( 9 )， 14， 23，37a 6b 7c 8d 9解析：与例一相同答案为d例题 3： 22， 35， 56，90， ( 145) 99 年考题a 162b 156c 148d 145解析： 22 +35-1=56 ， 35+56-1=90， 56+ 90-1=145 ，答案为 d(六 )、减法数列前

8、两个数的差等于后面第三个数：n1-n2=n3例题 1： 6， 3，3， ( 0)， 3， -3a 0b 1c 2d 3解析： 6-3=3 ， 3-3=0， 3-0=3， 0-3=-3 答案是 a 。 (提醒您别忘了： “空缺项在中间，从两边找规律 ”)(七 )、乘法数列1、前两个数的乘积等于第三个数;.例 1： 1， 2，2， 4， 8， 32， ( 256)前两个数的乘 等于第三个数，答案是256。例 2： 2， 12， 36， 80， () (2007 年考 )a.100b.125c.150d.175解析：21， 34 ，49，516 自然下一 625 150 选 c，此 可以 形 ： 1

9、22 ，223 ，324 ， 425 .,以此 推，得出 n2(n1)2、两数相乘的 呈 律：等差，等比，平方等数列。例 2： 3/2， 2/3， 3/4， 1/3，3/8 ( a ) (99 年海关考 )a 1/6b 2/9c 4/3d 4/9解析： 3/2 2/3=1 2/33/4=1/2 3/4 1/3=1/41/33/8=1/8 3/8 ?=1/16 答案是 a 。(八 )、除法数列与乘法数列相 似，一般也分 如下两种形式：1、两数相除等于第三数。2、两数相除的商呈 律： 序，等差，等比，平方等。(九 )、 数数列由 数从小到大的排列：2， 3， 5，7， 11， 13， 17， 19

10、(十 )、循 数列几个数按一定的次序循 出 的数列。例： 3， 4， 5， 3， 4， 5， 3， 4， 5， 3， 4以上数列只是一些常用的基本数列，考 中的数列是在以上数列基 之上构造而成的，下面我 主要分析以下近几年考 中 常出 的几种数列形式。1、二 数列 里所 的二 数列是指数列中前后两个数的和、差、 或商构成一个我 熟悉的某种数列形式。例 1：2 6 12 20 30 ( 42 )a.38b.42c.48d.56解析：后一个数与前个数的差分 ：4，6， 8，10 然是一个等差数列，因而要 的答案与30 的差 是12，所以答案 是 b 。例 2：2022253037()a.39b.4

11、5c.48d.51解析：后一个数与前一个数的差分 ：2，3， 5， 7 是一个 数数列，因而要 的答案与37 的差 是 11，所以答案 是c。例 3：25112032( 47)a.43b.45c.47d.49解析：后一个数与前一个数的差分 ：3， 6， 9， 12 然是一个等差数列，因而要 的答案与32 的差 是15，所以答案 是c。例 4：4 5 71l19( 35 )a.27b.31c.35d.41解析：后一个数与前一个数的差分 ：1，2，4，8 是一个等比数列，因而要 的答案与19 的差 是 16，所以答案 是c。例 5：3 4 7 16 ( 43 )a.23b.27c.39d.43解析

12、：后一个数与前一个数的差分 ：1，3，9 然也是一个等比数列，因而要 的答案与16 的差 是27，所以答案 是 d 。例 6：32 2723 2018 ( 17 );.a.14b.15c.16d.17解析：后一个数与前一个数的差分别为：-5， -4， -3， -2 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与18 的差应该是 -1，所以答案应该是d 。例 7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 )a.20b.25c.27d.28解析：后一个数与前一个数的差分别为：3，4， 5， 3，4 这是一个循环数列，因而要选的答案与20的差应该是5，所以答案应该是b 。例 8：1， 3， 7，

13、15， 31， ( 63 )a.61b.62c.63d.64解析：后一个数与前一个数的差分别为：2， 4， 8， 16这显然是一个等比数列，因而要选的答案与31 的差应该是32，所以答案应该是 c。例 9： ( 69 ) ，36， 19， 10， 5， 2a.77b.69c.54d.48解析：前一个数与后一个数的差分别为：3，5， 9， 17 这个数列中前一个数的2 倍减 1 得后一个数，后面的数应该是17*2-1=33 ，因而 33+36=69 答案应该是b。例 10： 1， 2， 6， 15， 31，( 56 )a.53b.56c.62d.87解析：后一个数与前一个数的差分别为：1，4，

14、9， 16 这显然是一个完全平方数列，因而要选的答案与 31 的差应该是 25，所以答案应该是 b 。例 11： 1， 3， 18，216， ( 5184 )a.1023b.1892c.243d.5184解析：后一个数与前一个数的比值分别为：3，6，12 这显然是一个等比数列，因而要选的答案与216的比值应该是24，所以答案应该是d： 216*24=5184 。例 12： -2 1 7 16 ( 28 ) 43a.25b.28c.3ld.35解析：后一个数与前一个数的差值分别为：3，6，9 这显然是一个等差数列，因而要选的答案与16 的差值应该是 12，所以答案应该是 b。例 13： 13 6

15、10 15( )a.20b.21c.30d.25解析：相邻两个数的和构成一个完全平方数列，即：1+3=4=2 2， 6+10=16=4 2，则 15+ ？ =36=62 呢，答案应该是 b 。例 14： 102， 96， 108，84， 132，( 36 )，（ 228）解析：后项减前项分别得-6，12，-24，48，是一个等比数列，则 48 后面的数应为 -96，132-96=36 ，再看 -96后面应是96x2=192 ， 192+36=228 。二、设计类【例 1】在数学活动中，小明为了求的值（结果用n 表示），设计如图a所示的图形。（ 1）请你利用这个几何图形求的值为。;.（ 2） 你

16、利用 b，再 一个能求的 的几何 形。三、动态类【例 3】右 是一回形 ， 其回形通道的 与 ob的 均 1，回形 与射 oa交于点 a1，a2，a3，。若从 o点到 a1 点的回形 第 1 圈（ 7），从 a1 点到 a2 点的回形 第 2 圈，依此 推。 第 10 圈的 。【例 4】已知甲运 方式 ：先 直向上运 1 个 位 度后，再水平向右运 2 个 位 度；乙运 方式 ：先 直向下运 2 个 位 度后，再水平向左运 3 个 位 度。在平面直角坐 系内， 有一 点 p 第 1 次从原点 o出 按甲方式运 到点 p1，第 2 次从点 p1 出 按乙方式运 到点 p2，第 3 次从点 p2

17、出 再按甲方式运 到点 p3，第 4 次从点 p3 出 再按乙方式运 到点 p4, 。依此运 律， 第 11 次运 后， 点p 所在位置p11 的坐 是。解析：【例3】我 从 的情形出 ，从中 律，第1 圈的 1+1+2+2+1，第 2 圈的 2+3+4+4+2 ，第三圈的 3+5+6+6+3，第四圈的 4+7+8+8+4 ， 得到第10 圈的 10+19+20+20+10 79。【例 4】（ 3， 4）四、计算类【例 10】 察下列等式：， 第 n 个等式可以表示 。解析：【例10】【例 11】 察下列各式：，根据前面的 律，得：。（其中 n 正整数）;.解析：【例11】【例12】 察下列等

18、式： 察下列等式：4 1=3，9-4=5 ， 16-9=7 ， 25-16=9 ， 36-25=11 ， 些等式反映了自然数 的某种 律，设 n（ n1）表示了自然数， 用关于 n 的等式表示 个 律 。解析：【例12】（n1， n 表示了自然数）五、 图形类【例 13】在平面直角坐 系中，横坐 、 坐 都 整数的点称 整点。 察 中每一个正方形（ ）四条 上的整点的个数， 你猜 由里向外第10 个正方形（ ）四条 上的整点共有个。解析： 【例 13】第一个正方形的整点数 24-4 4，第二个正方形的 正点数有 34 4 8，第三个正方形的整点数 44 4 12 个，故第 10 个正方形的整点

19、数 114-4 40，【例14】“”代表甲种植物，“”代表乙种植物， 美化 境，采用如 所示方案种植。按此 律，第六个 案中 种植乙种植物株。【例 14】第一个 案中以乙中植物有22 4 个，第二个 案中以乙中植物有33 9 个，第三个 案中以乙中植物有44 16 个，故第六个 案中以乙中植物有77 49 个 .;.练习一、数字排列 律 1、 察下列各算式：1+3=4=221+3+5=9=32，1+3+5+7=16=4 2按此 律（ 1） 猜想： 1+3+5+7+2005+2007 的 ？（ 2）推广： 1+3+5+7+9+ （ 2n-1)+ （ 2n+1) 的和是多少 ？2、下面数列后两位

20、填上什么数字呢？23581217_3、 填出下面横 上的数字。112358_214、有一串数，它的排列 律是 1、 2、 3、 2、3、 4、 3、4、 5、 4、5、 6、 明的你猜猜第 100 个数是什么？5、有一串数字36101521_ 第 6 个是什么数？6、 察下列一 数的排列：1、2、 3、 4、3、 2、 1、2、 3、4、3、 2、1、，那么第2005 个数是（） .a 1b2c3d 47、100 个数排成一行，其中任意三个相 数中，中 一个数都等于它前后两个数的和，如果 100 个数的前两个数依次 1，0，那么 100 个数中“ 0”的个数 _ 个二、几何 形 化 律 1、

21、察下列球的排列 律(其中是 心球，是空心球)：从第 1 个球起到第2004 个球止，共有 心球个2、 察下列 形排列 律（其中是三角形，是正方形，是 ），若第一个 形是正方形， 第2008个 形是（填 形名称）.三、 数、式 算 律 1、已知下列等式： 13 12； 13 23 32； 13 23 33 62； 13 23 33 43 102 ；由此 律知，第个等式是2、 察下面的几个算式：1+2+1=4 ，1+2+3+2+1=9 ，1+2+3+4+3+2+1=16 ，1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 ，根据你所 的 律， 你直接写出下面式子的 果：1+2+3+ +99+100+99+ +3+2+1=_.3、1+2+3+ +100？ 研究， 个 的一般性