高等数学考前复习

1、高等数学期末复习,兵团广播电视大学农五师分校 曾林彬 电话:7671056 E-mail: ,考试说明,本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。其中形成性考核作业成绩占考核成绩的20%，期末考试成绩占考核成绩的80%。期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分。,考核内容和考核要求,考核内容 一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数和常微分方程四个部分，包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、无穷级数、常微分方程等方面的知识,高等数学期末考试,考试题型：单选

2、题5个（约15%）、 填空题5个（约15%），计算题6个,应用题1个。 考试时间：90分钟 命题原则 不超过期末复习指导的要求，试题主要分布在第二、三、四、五、六、八章，占80%以上，理解占10%，掌握占90%。题型有：填空题单项选择题计算题（约70%）。 出题单位 中央广播电视大学 考试形式 闭卷,高等数学期末复习,复习资源,教材 中央电大复习指导 形成性考核册 中央电大网上教学答疑文本 兵团电大学习资源 农五师电大教学资源,网络资源,1、资源网站,农五师电大教学平台：http：/ 巴南电大在线平台：http：/ 中 央 电 大 在 线: ht

3、tp：/www.open, 注：要先注册，输入用户名和密码，然后登录。,2、网络资源内容,农五师电大教学平台： 兵团电大在线平台：http：/,（1）市电大责任老师介绍 （2）教学大纲 （3）课程教学实施细则 （4）电子教案 （5）直播课堂 （6）重难分析 （7）平时作业（4套） （8）期末复习提要,高等数学（1）重难点分析兵团电大农五师分校曾林彬,第一章 函数,理解函数概念，掌握函数的两要素 ;定义域和对应关系，会判断两函数是否相同； 掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值； 了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性），

4、知道它们的几何特点； 熟练掌握六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形； 了解复合函数概念，会对复合函数进行分解； 了解初等函数的概念； 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法； 会列简单应用问题的函数关系式。,高等数学期末复习,第二章 极限与连续,了解极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道数列极限的“”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限； 了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系； 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法； 了解函数连续性的定义，了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判

5、断函数在某点的连续性； 了解函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型； 了解“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质。,高等数学期末复习,第三章 导数与微分,理解导数与微分概念（微分用 定义），了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系； 熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则； 熟练掌握复合函数的求导法则； 掌握隐函数的微分法，取对数求导数的方法； 知道一阶微分形式的不变性； 了解高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法。,高等数学期末复习,第四章 导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉

6、格朗日定理证明简单的不等式； 掌握洛比塔法则，能用它求“ ”、“ ”型不定式极限； 掌握用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系； 掌握用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点； 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线； 掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,高等数学期末复习,第五章 不定积分,理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系； 熟练掌握积分基本公式和直接积分法； 熟练掌握第一换元积分法和分部积分法； 掌握第二换元积分法。,高等数学期末复习

7、,第六章 积分及其应用,了解定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质； 了解原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数； 熟练掌握牛顿莱布尼兹公式； 掌握定积分的换元积分法和分部积分法； 了解无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分； 会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积。,高等数学期末复习,第七章 无穷级数,了解级数收敛与发散概念及其主要性质； 了解级数收敛的必要条件； 掌握正项级数收敛性的比值判别法； 知道几何级数和 级数收敛的条件； 理解幂级数收敛半径概念，熟练掌握求收敛半径的方法； 会求收敛区间。,高等

8、数学期末复习,第八章 常微分方程,了解微分方程，阶，解（特解、通解），线性，初值问题等概念； 掌握变量可分离微分方程的解法； 熟练掌握一阶线性方程的解法； 了解特征方程和特征根概念，熟练掌握求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法； 掌握二阶线性常系数非齐次方程（特殊自由项）的特解待定系数法，能求此类方程的通解,高等数学期复习,第一章：函数,理解函数的概念；掌握函数,中符号f ( )的含义；,了解函数的两要素；会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否相等,两个函数相等的充分必要条件是定义域相等且对应关系相同,了解函数的主要性质，即单调性、奇偶性、有界性和周期性,若对任意x，,有,则称为偶

9、函数，偶函数的图形关于y轴对称,若对任意x，,有,则称为奇函数，奇函数的图形关于原点对称,熟练掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形,基本初等函数指以下几种类型：,常数函数:,幂函数：,指数函数：,对数函数：,三角函数：,反三角函数：,了解复合函数、初等函数的概念，,会把一个复合函数分解成较简单的函数,如函数,可以分解,分解后的函数前三个都是基本初等函数，,而第四个函数是常数函数和幂函数的乘积,会列简单的应用问题的函数关系式,高等数学1,综合练习,一、填空题,设,则,解：,设,则,得,故,函数,的定义域是,解：,对函数的第一项，,要求,且,即,且,对函数的第二项，要求,即,取公共

10、部分，得函数定义域为,高等数学1,设,的定义域为,则函数,的图形关于对称,解：设,则对任意,有,即,是偶函数，,故图形关于,轴对称,高等数学1,二、单项选择题,下列各对函数中，（）是相同的,A.,B.,C.,D.,解,A, B, D三个选项中的每对函数的定义域都不同，,而选项C中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C正确,设函数,的定义域为,，则函数,（）对称,的图形关,于,A.,B.,轴,C.,轴,D.坐标原点,解：,设,则对任意,有,高等数学1,即,是奇函数，,故图形关于原点对称选项D正确,3设函数,的定义域是全体实数，,则函数,是（）,A.单调减函数；,B.有界函数；,C.偶函数；,

11、D.周期函数,解：,A, B, D三个选项都不一定满足。,设,则对任意,有,即,是偶函数，,故选项C正确,高等数学1,三、计算题,求下列函数的定义域：,解：, 对,要求,即,对,要求,且,即,且,取公共部分，,得函数定义域为,对,要求,即,得函数定义域为,对,要求,即,得函数定义域为,已知,求,解：,方法一：,设,则,得,即,由此得,方法二：,将,看作新的变量，,得,同理,高等数学1,高等数学1,判断下列函数的奇偶性：,解：,对任意,有,可知,是奇函数,解：,对任意,有,可知,是奇函数,解：,对任意,有,可知,是偶函数,高等数学1,本章重点：,函数概念及其性质,理解函数的概念，了解决定函数的要

12、素是定义域和对应关系，,能根据这两个要素,判别两个函数是否相等。,能熟练地求出函数的定义域和函数值。,了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，,特别是要会判断函数的奇偶性。,例1、求下列函数的定义域,（1）,解,函数的定义域是,解得,即函数的定义域是,且,高等数学1,（2）,解,分段函数的定义域是所有定义区间的并集，,此分段函数的定义域是,或,但,的定义域是,故综合起来可知所求函数的定义域是,例2、,若函数,求,解,已知,即,根据函数概念可知,（即下划线的部分替换成x）,（即下划线的部分替换成 ）,（即下划线的部分替换成0）,高等数学1,规范以上的做法就是：,设,则,将,代入,中，即有,令

13、,则有,令,则有,令,则有,例3、,（1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？,A,B,C,D,解,A,B,D中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，,高等数学1,C中函数,的定义域是,对应关系可化为,故这两个函数是相同的函数。,（2）下列函数中，哪个函数是奇函数？,A,B,C,D,解,由奇函数的定义验证A,C可知它们都不满足,D满足,即它为偶函数,验证B,故此函数是奇函数。,高等数学1,2.基本初等函数,了解复合函数、初等函数的概念，,会分析复合函数的复合过程，,能把一个复合函数分解成几个简单函数。,(这在学习第三章导数与微分内容时要用到),如将函数,分解成,高等数学1,第2

14、章 极限与连续,本章重点：,极限的计算,了解极限的概念，知道左右极限的概念，,知道函数在点,处存在极限的充分必要,条件是,在,处的左右极限存在且相等。,关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：,（1）极限的四则运算法则：,运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，,且分母不为0。,当所求极限不满足条件时，,常根据函数的具体情况进行分解因式,（以消去,零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、,或分子分母同时除以,（分子分母同,趋于无穷大时）,等变形手段，,以使函数满足四则运算法则的条件。,（2）两个重要极限：,熟记,要注意这两个公式自变量的,变化趋势以及相应的函数表达，同时要熟悉它们

15、的变形形式：,高等数学1,（3）利用无穷小的性质计算：,无穷小量是指极限为0 的量，有限个无穷小量之和、,积都是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。,（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。,（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。,例1：求下列极限,解,（1）,分子、分母同除以,则,高等数学1,（2）,解,首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算,（3）,解,由于,时，有,因此,还是无穷小量，故,高等数学1,（4）,解,（5）,解,（6）,解,高等数学1,2、函数连续,理解函数在一点连续的概念，,它包括三层含义：,在,的一个邻域内有定义；,

16、在,处存在极限；,极限值等于,在,处的函数值，,这三点缺一不可。,若函数,在,至少有一条不满足上述三条，,则函数在该点是间断的，,会求函数的间断,点。,了解函数在区间上连续的概念，,由函数在一点连续的定义，,会讨论分段函数的连续性。,知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，,两个连续函数的复合仍为,连续函数，,初等函数在其定义域内是连续函数。,知道闭区间上连续函数的性质（最大最,小值存在定理、零点定理、介值定理）。,例2,讨论函数,在,处的连续性。,高等数学1,解,的定义域为,由于,在,点处的左右极限不相等，,故极限不存在，,因此函数,在,点间断。,第三章：导数与微分,高等数学

17、1,理解导数的概念；,了解导数的几何意义；,会求曲线的切线和法线；,会用定义计算简单函数的导数；,知道可导与连续的关系。,高等数学1,在点,处可导是指极限,存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成,在点,处的导数,的几何意义是曲线,上点,处的切线斜率,曲线,在点,处的切线方程为,高等数学1,函数,在,点可导，则在,点连续。反之函数,在,点连续，在,点不一定可导。,了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。,熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。,微分四则运算法则与导数四则运算法则类似,熟练掌握复合函数的求导法则。,高等数学1,掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表

18、示的函数的求导法。,一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如,求,直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得,两端求导得,整理后便可得,高等数学1,若函数由参数方程,的形式给出，则有导数公式,了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。,高等数学1,综合练习,一、填空题,设,则,。,解：,故,曲线,在,处的切线方程是 。,解：,又有,故切线方程为,或,高等数学1,设,则,。,解：,故,二、单项选择题,曲线,在点（）处的切线斜率等于0。,A.,B.,C.,D.,解：,令,得,而,故选项C正确。,高等数学1,则,（）。,A.,B.,C.,D.,解：,故选项C正确。,

19、3下列等式中正确的是（）,A.,B.,C.,D.,解：按微分法则进行运算得,高等数学1,故选项A正确。,高等数学1,三、计算题,计算下列函数的导数或微分：,设,求,解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则,由此得,高等数学1,设函数,由方程,确定，求,解：,等式两端对,求导得,整理得,方法二：由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,高等数学1,设函数,由参数方程,确定，求,解：,由参数求导法,求下列函数的二阶导数：,3,解：,解：,高等数学1,第4章：导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式,掌握洛必塔法则，会用它

20、求,“,”、“,”型不定式的极限，以及简单的“,”、“,”型不定式的极限。,掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。,若在区间,上有,，则,在区间,上单调增加；,若在区间,上有,，则,在区间,上单调减少。,高等数学1,了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。,在点,满足,，那么,若,在点,的左右由正变负（或,），则点,是,的极大值点；,若,是,在点,的左右由负变正,（或,），则点,的极小值点。,极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。,了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方

21、法；会求曲线的拐点。,若在区间,上有,，则,在区间,上是凹函数；,若在区间,上有,，则,在区间,上是凸函数。,高等数学1,会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。,若,，则,是曲线,的水平渐进线；,若,，则,是曲线,的垂直渐进线。,熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。,求,在区间,上的最大值的方法是：找出,的所有驻点，,找出,的所有不可导点，,将所有这些点的函数值与两个端点的函数值,一起比较大小，最大者为最大值，相应的点为最大值点。,求最小值的方法类似。,高等数学1,综合练习,一、填空题,函数,的单调增加区间是。,解：,当,时,故函数的单调增加区间是,曲线,的凸

22、区间是。,解：,当,时,故函数的凸区间是,高等数学1,二、单项选择题,函数,在区间,内满足（）。,A.单调上升；,B.先单调下降再单调上升；,C.先单调上升再单调下降；,D.单调下降,解：,令,得,在,点的左右有负变正，,即函数先单调下降再单调上升。故选项B正确,曲线,的垂直渐近线是（）。,A.,B.,C.,D.,解：,当,时,垂直渐进线是,故选项D正确,高等数学1,3下列等式中正确的是（）,A.,B.,C.,D.,解：,按微分法则进行运算得,故选项A正确。,高等数学1,三、计算题,计算下列函数的导数或微分：,设,求,解：,由导数四则运算法则和复合函数求导法则,由此得,设函数,由方程,确定，,

23、求,解：,方法一：,等式两端对,求导得,高等数学1,整理得,方法二：,由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得,左端,右端,由此得,整理得,高等数学1,设函数,由参数方程,确定，,求,解：,由参数求导法,高等数学1,求下列函数的二阶导数：,解：,解：,高等数学1,第4章：导数的应用,了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单 的不等式。,掌握洛必塔法则，,会用它求,型不定式的极限，,以及简单的,、,型不定式的极限。,掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。,若在区间,上有,，则,在区间,上单调增加；,若在区间,上有,，则,在区间,上单调减少。,了解极

24、值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值,存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。,高等数学1,在点,满足,那么,若,在点,的左右由正变负（或,），,则点,是,的极大值点；,若,在点,的左右由负变正（或,），,则点,是,的极小值点。,极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。,了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。,若在区间,上有,则,在区间,上是凹函数；,若在区间,上有,则,在区间,上是凸函数。,高等数学1,会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。,若,则,是曲线,的水平渐进线；,若,则,是曲线,的垂直渐进线,。,熟练掌

25、握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，,求,在区间,上的最大值的方法是：,找出,的所有驻点，,找出,的所有不可导点，,将所有这些点的函数值与两个端点的函数值,一起比较大小，,最大者为最大值，,相应的点为最大值点。,求最小值的方法类似,高等数学1,综合练习,一、填空题,函数,的单调增加区间是。,解：,当,时,。,故函数的单调增加区间是,曲线,的凸区间是。,解：,当,时,故函数的凸区间是,二、单项选择题,函数,在区间,内满足（）。,A.单调上升；,B.先单调下降再单调上升；,C.先单调上升再单调下降；,D.单调下降,高等数学1,解：,令,得,。,在,点的左右有负变正，,即函数先单调下

26、降再单调上升。故选项B正确,曲线,的垂直渐近线是（）。,解：,当,时,垂直渐进线是,。故选项D正确,3下列结论中，（）是正确的。,A.函数的极值点一定是驻点；,B. 函数的驻点一定是极值点；,C. 函数在极值点一定连续；,D. 函数的极值点不一定可导,解：,函数的极值点不一定是驻点；,函数的驻点不一定是极值点；,函数在极值点,不一定连续；,在,取极小值但不可导，,故选项D正确,高等数学1,三、计算题,求函数,的单调区间，凹凸区间，极值点和拐点：,解：,令,得,当,或,时，,当,时，,故题给函数的单调增加区间是,和,单调减少区间是,是极小值点，,是极大值点,令,得,当,时，,当,时，,故题给函数的凸