北师大版初三二次函数知识点及练习

1、二次函数知识回顾一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc （ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b ，c 可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数 y ax2 bx c 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项例 1（基础） . 二次函数y3x26x5 的图像的顶点坐标是（）a （ -1 ，8） b.（1，8） c（ -1 ， 2） d （ 1，-4 ）习题精练1、二

2、次函数yax2c的图象如图所示，反比例函数y a与正比例函数y（bbxx c） x 在同一坐标系中的大致图象可能是（）2、若二次函数y x 2bx 5 配方后为y ( x2) 2k 则 b 、 k 的值分别为（）a .0 5b .0. 1c.-4. 5d.-4.13、图（ 1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽 4m如图（ 2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）a y2x2b y 2x2c y1 x2d y1 x222图（ 1）图（ 2）4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）a yx22x3b yx22x3c

3、yx22x3d yx22x35. 若 y ax2bxc ，则由表格中信息可知y 与 x 之间的函数关系式是（）x101ax21ax2bx c83 y x24x 3 yx23x 4 y x23x 3 yx24x 86、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为1 米的喷水管喷水最大高度为3 米，此时喷水水平距离为1米，在如图4 所示的坐标系中，这支2喷泉满足的函数关系式是（） a）y( x1) 23（ b）y3( x1 )21（22c） y8( x1)23 （ d） y8( x1 ) 2322二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的

4、开口越小。开口方顶点坐对称a 的符号标轴向a0向上0 ，0y 轴a0向下0 ，0y 轴性质x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 22.yaxc 的性质：上加下减。a 的符号开口方顶点坐向标a0向上0 ，ca0向下0 ，c3. y a x h 2 的性质：左加右减。a 的符号开口方顶点坐向标a0向上h ，0a0向下h ，0对称轴y 轴y 轴对称轴x=hx=h性质x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x

5、 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c 性质x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 4.y a x2的性质：hka 的符号开口方顶点坐对称向标轴a0向上h ，kx=ha0向下h ，kx=h性质x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x

6、的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ya x h2，确定其顶点坐标kh ，k ； 保持抛物线 yax2 的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：向上 (k0)【或向下 (k0)【或左 ( h0) 【或左 (h0)【或左 (h0) 【或下 (k0) 【或下 (k0)】平移 |k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减

7、，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移 m 个单位， y ax2bxc 变成yax 2bx cm （或 yax 2bx cm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， yax 2bxc 变成ya( xm)2b(x m)c （或 ya( xm) 2b( x m)c ）考点 1. 二次函数的平移小试牛刀例 2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y5 与二次函数 y2x 2 x c 的x图像交于点 a( 1， m) （ 1）求 m 、 c 的值；（ 2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.例 3 把抛物线y=3x2 向上平移 2 个单位，得到的抛

8、物线是（）a.y=3 （ x+2） 2b.y=3（ x-2 ） 2c.y=3x2+2 d.y=3x2-2专题练习一1. 对于抛物线 y= 1 x2+ 10 x 16，下列说法正确的是（）333a. 开口向下，顶点坐标为（5， 3） b.开口向上，顶点坐标为（5，3）c. 开口向下，顶点坐标为（-5 ， 3） d.开口向上，顶点坐标为（-5 ， 3）2. 若抛物线 y=x2 -2x+c 与 y 轴的交点为（ 0， -3 ），则下列说法不正确的是（ ）a. 抛物线开口向上b. 抛物线的对称轴是 x=1c. 当 x=1 时， y 的最大值为 -4d. 抛物线与 x 轴交点为（ -1 ，0），（ 3，

9、 0）3. 将二次函数 y=x 2 的图象向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是 _.y1x34. 小明从图 2 所示的二次函数 yax 2bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：c 0 ； abc 0 ；21 01 2 xa b c 0 ； 2a 3b0 ； c4b0 ，你认为其中正确信息的个数有 _. （填序号）图考点 2. 根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1. 若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a0）；2. 若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式： y=a（x-h ） 2+k（

10、a0）；3. 若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x 1）（ x-x 2）（ a 0） .例 2 已知抛物线的图象以 a（ -1 ， 4）为顶点，且过点 b（ 2， -5 ），求该抛物线的表达式 .例 3已知一抛物线与x 轴的交点是a（-2 ，0）、 b（1，0），且经过点c（ 2，8）.（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求该抛物线的顶点坐标 .专项练习二1. 由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击. 为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价 . 若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则

11、y 与 x 之间的函数表达式为（ ）a.y=2a （ x-1 ）b.y=2a（ 1-x ）c.y=a（1-x 2）d.y=a（1-x ） 22. 如图 2，在平而直角坐标系 xoy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 a、b 两点，点 a 在 x 轴负半轴，点b 在 x 轴正半轴，与y 轴交于点 c，且 tan aco=1 ，2图 2co=bo，ab=3，则这条抛物线的函数解析式是3. 对称轴平行于 y 轴的抛物线与 y 轴交于点（ 0，-2 ），且 x=1 时， y=3；x=-1 时y=1，求此抛物线的关系式.4. 推理运算：二次函数的图象经过点a(0，3) ， b(2，3) ，

12、 c ( 1，0)（ 1）求此二次函数的关系式；（ 2）求此二次函数图象的顶点坐标；（ 3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少 平移个单位，使得该图象的顶点在原点四、二次函数 y a xh2k 与 y2bx c的比较ax从解析式上看，ya x2k 与 yax 2bx c 是两种不同的表达形式，后者通h2b2b ，k4ac b2过配方可以得到前者，即ya xb4ac，其中 h2a4a2a4a五、二次函数 y2bxc 图象的画法ax五点绘图法：利用配方法将二次函数y2bxc 化为顶点式y a (x2k，确axh)定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选

13、取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c 、以及0，c 关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0， x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .六、二次函数 yax2bxc 的性质1.当 a0 时，抛物线开口向上，对称轴为xb，顶点坐标为b ，4acb 22a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x 的增大而增大；当2ab22axb 时， y 有最小值 4ac2a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为b22ab ，4ac当

14、 xb 时， y 随 x 的增大而增大；当 xb时， y 随 x 的增大而2a4 a2a2a减小；当 xb时， y 有最大值 4acb22a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；ax2.顶点式： ya (xh) 2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3. 两根式： y a (x x1 )( x x2 ) （ a0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与2x 轴有交点，即 b 4ac 0 时，抛物线的

15、解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.专项练习三1.抛物线 y=kx 2-7x-7的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是 _.y2.已知二次函数 yx22xm 的部分图象如图 2 所示，则关于 x 的一元二次方程 x22xm 0 的解为xax2o1 33.已知函数 ybxc 的图象如图3 所示，那么关于 x 的方程图 2ax2bx c 20y的根的情况是（）a. 无实数根b. 有两个相等实数根0x3c. 有两个异号实数根d.有两个同号不等实数根图 34.二次函数 yax2bxc(a0) 的图象如图 4 所示，根据图象解答下列问题：（ 1）写出方程 ax2 bx c

16、0 的两个根（ 2）写出不等式 ax2 bx c 0 的解集（ 3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围（ 4）若方程 ax2bxck 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称y2bxc关于 x 轴对称后，得到的解析式是y2bxc ；axaxya xh2ya xh2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2. 关于 y 轴对称y2bxc关于 y 轴对称后，得到的解析式是y2bxc ；axaxya xh2ya xh2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是k ；3. 关于原点对

17、称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc ；yaxh2yaxh2k；k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxcb2；2ayaxh2yaxh2kk 关于顶点对称后，得到的解析式是5. 关于点 m，n 对称22ya xhk 关于点m，n 对称后，得到的解析式是ya xh2m2nk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛

18、物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数： 当b 24ac0 时，图象与 x 轴交于两点 ax1 ，0 ，b x2 ，0(x1x2 ) ，其中的x1 ，x2 是一元二次方程 ax2bx c 0 a 0 的两根这两点间的距离2ab x2x1b 4 ac.a 当0时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0时，图象与 x 轴没有交点 .

19、1当 a0时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有y0 ；2当 a0 时，图象落在 x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 2. 抛物线 yax 2bx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为 (0 ， c) ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数yax2bxc 中 a ， b ， c 的符号，或由二次函数中 a ， b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知

20、一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc( a0) 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与 x 轴有二 次 三 项 式 的 值 可一元二次方程有两个不相等实根两个交点正、可零、可负0抛物线与 x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与 x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根 .交点正y=2x 2y=3(x+4) 2y=3x 2y=x 2y=3(x-2) 2二次函数图像参考：x

21、 2y=2y=2x 2y=2(x-4) 2y=2(x-4) 2-3y=2 x 2+2y=2 x 2y=2 x 2-4x2y= -2y= -x 2y=-2(x+3) 2y=-2x2y=-2(x-3) 2y=-2x 2课后巩固练习：1、把抛物线yx2 向右平移1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（）ayx21byx12cyx21dyx122、在平面直角坐标系中，将二次函数y2x2 的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为()a y2x22b y 2x22 c y 2( x 2) 2d y2( x2) 23、把抛物线yx2 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位 ，则平移后抛物线的解析式

22、为（）.a y( x 1)23b y(x 1)23c y( x 1)23d y(x 1)234、抛物线 y(x 2)23 的顶点坐标是（）a (2，3)b ( 2，3)d (2， 3)d ( 2， 3)5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，若点a(1,y 1) 、 b(2,y2) 是它图象上的两点，则 y1 与 y2的大小关系是（）(a) y1 y2(b) y=y2(c) y y(d) 不能确定1126、函数 y=ax1 与 y=ax2 bx 1（a0）的图象可能是（）7、根据下表中的二次函数yax2bxc 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（）a

23、只有一个交点b有两个交点，且它们分别在y 轴两侧c 有两个交点，且它们均在y 轴同侧d无交点8、已知二次函数yax 2bxc 的 y 与 x 的部分 如下表：x1013y3131 下列判断中正确的是（）a抛物 开口向上b 抛物 与 y 交于 半 c当 x 4 ， y 0d方程 ax2bxc0 的正根在3 与 4 之 9、已知二次函数 y ax2bx c(a0)的 象如 所示， 下列 ： ac 0 ； 方程 ax 2bx c 0的两根之和大于 0； y随 x 的增大而增大；a b c 0，其中正确的个数（）a 4 个b 3 个c2 个d1 个10、已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的 象如 所示， 出以下 ：a 0. 函数的 象关于直 x1 称 .当x1或x3 ，函数y 的 都等于0. 其中正确 的个数是（）a 3b 2c 1d011、二次函数yax2bxc 的 象如 所示， 下列关系式不正确的是（）.a a 0b.abc 0c.abc 0d.b24ac 012、已知二次函数y=ax