角函数-Microsoft-Word-文档

1、角函数 - mi c r os of t -wor d - 文档-作者 : _-日期 : _三角函数（一）知识点一1.与（0360）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合） :|k 360, k z ;终边在 x 轴上的角的集合 :|k 180 , kz ;终边在 y 轴上的角的集合：|k18090 , kz ;终边在坐标轴上的角的集合：|k90 , kz .2. 角度与弧度的互换关系： 360=2 180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制 .3.弧度制下，扇形弧长公式 l1r ，扇形面积

2、公式 s1 l r1 r2 | |，其中222为弧所对圆心角的弧度数。例 1.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()( a)2(b)sin 2(c)2( d )2sin1sin1例 2. 已知为第三象限角 ,则所在的象限是 ( )2(a) 第一或第二象限 (b) 第二或第三象限 (c)第一或第三象限(d)第二或第四象限知识点二1.三角函数定义 :利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数 .在终边上任取一点 p( x, y) （与原点不重合），记r | op | x2y 2 ，2则 siny ， cosx ， tany ， cotx 。rrx

3、y注 : 三角函数值只与角 的终边的位置有关，由角 的大小唯一确定 , 三角函数是以角为自变量 ,以比值为函数值的函数 .根据三角函数定义可以推出一些三角公式:诱导公式：即k或 k g90o22之间函数值关系 (kz ) ，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ；如sin(270 o)cos同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系.重视用定义解题 .三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法 .如单位圆正弦线 : mp ; 余弦线 : om; 正切线 : at2. 各象限角的各种三角函数值符号 :一全二正弦 ,三切四余弦3sinycosxtany , cotxr

4、rxy(纵坐标 y 的符号 )(横坐标 x 的符号 )例 3. 已知角 的终边经过 p(4,3), 求 2sin+cos 的值 .例 4. 若是第三象限角 , 且 coscos, 则是()222( a) 第一象限角(b) 第二象限角(c ) 第三象限角( d ) 第四象限角例 5.若 cos 0, 且sin2 0, 则角 的终边所在象限是（ ）(a) 第一象限 (b) 第二象限 (c)第三象限 (d)第四象限知识点三 三角函数公式三角函数的公式：（一）基本关系公式组二 ( kz )sin(2 kx)sin x,cos(2 kx)cos xtan(2 kx)tan x,cot(2 kx )cot

5、 x公式组三sin(x )sin xtan(x )tan xcos(x)cos xcot(x)cot x公式组四公式组五4sin(x)sin xsin(2x )sinxcos(x)cos xcos( 2x )cos xtan(x)tanxtan( 2x )tanxcot(x)cotxcot(2x )cotx公式组六sin(x)sin xtan(x)tan xcos(x)cos xcot(x)cot x(二)两角和与差公式公式组一cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sin coscossintan()tantantan(

6、tantan1tantan)tantan1公式组二:sin 22 sin coscos 2cos2sin 22 cos21 12 sin 2tan22 tansin1 cos1tan2221costan1cossin1cos21cos1cossincos,22公式组三cos(1)sincos(1)sin,sin( 1) cos2,22sin( 1)costan(1)cottan(1)cot2,2,2常用数据:30o、45o、60o、90o的三角函数值注 : 以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式 .如 tan()(1tan tan)tantancos21

7、 cos,sin 21cos等.2222从而可做到 : 正用、逆用、变形用自如使用各公式.5三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备 .三角函数恒等变形的基本策略。常值代换：特别是用“ 1”的代换，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。项的分拆与角的配凑。222222如分拆项： sin x 2cosx (sin x cosx) cosx 1 cosx;配凑角 (常用角变换 ):2() () 、 2() () 、2、2、22()等.降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。引入辅助角。

8、asin+bcos=a 2b2 sin(+ )，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan= b 确定。a例 6.化简： 12sin 440例 7.已知 tan ，tan 是方程 x23 3x 40 两根，且 ， (, ) ，则 +等22于 ( )(a)2(b)2或(c)或3333例 8.tan15cot15 的值是（）2(d)336(a)2(b)2+3(c)4(d) 433,则3例 9. 设(0,),若 sin2cos(4) =（ ）25(a) 7(b) 1(c) 7(d)4552例 10. sin163o sin 223osin 253o sin313 o( )(a) 1(

9、b) 1(c)3(d) 32222例 11. 求下列各式的值： 1tan 75;tan17 +tan28 +tan17 tan281tan 75例 12.已知为锐角，且 tan1 ，求 sin2 cos sin的值 .2sin2 cos2例 13. 已知 为第二象限角，且 sin =15sin(4), 求的值 .4sin 2cos21例 14. 已知 tan()1 ，（ 1）求 tan的值；（ 2）求 sin 2a cos2的值王新敞421 cos 2例 15. 已知 sin 2cos , 求 sin4cos的值; 求sin22sin cos 的值.5sin2cos7例 16. 已知 sinc

10、os5 ，求 sin cos 的值 .4例 17. 已知锐角, 满足 cos = 3 ,cos( + )=5 ,求 cos .513例 18. 已知，0 ，tan =1 ，tan =1 ，求 2 + .237例 19. 在 abc 中，已知 cosa = 5 ，sinb = 3 ，则 cosc 的值为 ( )135(a) 16(b) 56(c) 16 或 56(d)166565656565例 20. 若关于 x 的方程 2cos2(+ x)sinx + a = 0 有实根，求实数 a 的取值范围。三角函数作业（一）一、选择题：1、已知 a= 第一象限角 ，b= 锐角 ，c= 小于 90的角 ，

11、那么 a 、 b、 c 关系是（）ab=a cb b c=ccacda=b=c82、将分针拨慢 5 分钟，则分钟转过的弧度数是（）abcd33663、已知 sin2cos5, 那么 tan的值为3sin5cos（）a 2b2c 23d 2316164、已知角 的余弦线是单位长度的有向线段 ;那么角 的终边（）a在 x 轴上b在直线 yx 上c在 y 轴上d在直线 yx 或 yx 上5、若 f (cos x)cos2 x ,则 f (sin15 ) 等于()a3b 3c 1d122226、要得到 y 3sin(2x) 的图象只需将 y=3sin2x 的图象4（）a向左平移个单位 b向右平移个单位

12、 c向左平移个单位 d向右448平移个单位87、如图，曲线对应的函数是（）a y=|sinx|by=sin|x|cy=sin|x|dy=|sinx|28、化简1sin 160 的结果是()a cos160bcos160ccos160dcos1609、 a 为三角形 abc 的一个内角 ,若 sin acos a12 ,则这个三角形的形状为25（）9a. 锐角三角形b. 钝角三角形c. 等腰直角三角形d. 等腰三角形10、函数 y2sin(2x) 的图象（）3a关于原点对称b 关于点（，0）对称 c关于 y 轴对称 d关于直线6x= 对称611、函数 ysin(x), xr 是2（ ）a , 上

13、是增函数b 0, 上是减函数22c ,0上是减函数d , 上是减函数12、函数 y2cos x 1的定义域是（ ）a2k,2k3( kz)b 2k, 2k6( kz )36c 2k, 2k2( kz )d2k2,2k2(kz )3333二、填空题：、已知4,则2的取值范围是.133314、 f (x) 为奇函数， x0时,f (x)sin 2x cos x,则 x0时f ( x).15、函数 ycos(x)( x, 2) 的最小值是81 , 且63、已知 sincos, 则cossin.16842三、解答题：17、求值 sin2 120cos180tan45cos2 ( 330 )sin( 2

14、10 )1018、已知 tan3,3,求 sincos 的值 .21sin1sin19、已知是第三角限的角，化简sin1sin120、已知函数 f ( x)2cos x(sin xcos x)1， xr （ ）求函数 f ( x) 的最小正周期；（ ）求函数 f ( x) 在区间 3上的最小值和最大值8，421、已知函数 f(x) 3 sin( x ) cos( x)(0,0) 为偶函数，且函数（）求 f（y f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.）的值；28（）将函数 yf(x)的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横6坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数y g(x)的图象

15、，求 g(x)的单调递减区间 .22、已知函数 f ( x)2sin2 x3 cos 2x ， x， 442（ i）求 f (x) 的最大值和最小值；（ ii）若不等式 f ( x)m 上恒成立，求实数 m 的取值范围2 在 x，42三角函数（一）例题答案11例 1.c 例 2.d 例 3. 由定义 ：r5,sin=34+cos2,cos =, 2sin=553 (k5例 4.b 解： (2k 1)(2k1)( kz ) , k2kz ) ,则是第2242二或第四象限角 , 又 coscos , cos0,则是第二或第三象限角 , 必为22222第二象限角例 5.d 例 6. 解：原式1 si

16、n 2 (36080 )1 sin 2 80cos2 80 cos80例 7. a 例 8.c 例 9.b 例 10.b例 11. 解： 原式 = tan 45tan 75tan(45 75 ) tan1203 ;1tan 45 tan 75 tan(1728)tan17tan28,tan17 +tan28 =tan(17 +28 )(1tan17 tan28 )=11 tan17 tan28tan17 tan28 原式 =1tan17 tan28 + tan17 tan28 =1例 12.解： tan1 ,为锐角 , cos2 25sin2 cos sinsin215(2cos 1)sin2

17、 cos22sincos cos22cos4sin()2 (sincos )例 13.解：422cos2sin 2cos 21 2sin cos2(sincos ) .当为第二象限4cos (sincos )角，且 sin15 时， sincos0, cos1 ，所以sin(4)=22.44sin 2cos214 cos例 14. 解（ 1）：由tantan1tan1 ，解得1tan()4tan1tan2341tantan224（ 2） sin22sincos1115cos2sincoscostan1cos212cos212cos2326例 15. 解： q sin2cos,tan2sin4c

18、ostan4215sin2cos5tan212622 sincossin 22sincostan 22 tan426 sinsin2cos221415tan例 16.解: (sincos) 225 1 2sincos25 ,sincos9161632例 17. 解： cos = 3 ,sin= 4 ,又 cos(+)=50 , +为钝角 , 5513sin( + )= 12 ,13 cos =cos(+ )=cos(+)cos +sin(+ )sin=5312433 （角变换技13513565巧）例 18.解： tan22tan3, tan(2)tan2tan1,又 tan2 0 ，241 t

19、an2tan1 tan12tan sinb a b, 即 b 必为锐角 , cosb = 4 ,cosc =13cos(a5cosacosb =12354165+ b) = sinasinb13513565例 20. 解：原方程变形为： 2cos2xsinx + a = 0 即 22sin2x sinx + a = 0,a 2 sin 2 xsin x 22(sin x1)217 , 1sinx1 ,48当 sin x1时，amin17 ； 当 sin x1时，amax 1, a 的取值范围是 17 , 1488作业（一）参考答案1. b 2. c 3. d 4. a 5. 6.c 7.c 8

20、. 9.b 10. b 11. 12.d13.(0, )14.cosx15. 116.3 17原式(3 )21 1 (3 ) 211sin 2 x22222218q tan3, 且3sin0,cos0 ，2sin3cossin3132sincos由得sin2cos2112cos219. 2tan 20、解：（ ） f (x)2cos x(sin xcos x)1sin 2xcos2x2 sin2x 4因此，函数 f ( x) 的最小正周期为 （ ）解法一：因为 f ( x)2 sin2 x在区间 3上为增函数，在区间4，883 3上为减函数，又 f0，8，84f32 ， f32 sin3 2

21、cos 1 ，8424413故函数 f (x) 在区间 3上的最大值为 2，最小值为 1，84解法二：作函数 f (x)2 sin在长度为一个周期y2x42的区间 9上的图象如下：由图象得函数f (x) 在区间8，ox4 3上 的最大值为2，最小值为31 2，f84421、解：（） f(x)3 sin(x)cos(x) 23 sin(x)1 cos(x) 2sin(x- )226因为f(x)为偶函数，所以对 xr,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-x-x） sin(-).66即-sinx cos(-x sin(x cos(-x sin(-)+cos-)=sin)+cos666),6整理

22、得sinx cos(0，且 xr,所以cos（-)=0.因为） 0.66- .所以又因为0，故f(x)622sin(x .x +)=2cos222,所以 2.由题意得故2f(x)=2cos2x.因为f ()2 cos2.84（）将 f(x)的图象向右平移个个单位后，得到f (x) 的图象，再将所得66图象横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到f () 的图象 .4614所以g( x) f (6) 2 cos 2() 2 cos f (2).4463当2k2 k+ (k z),23即4k28(kz)时， g(x)单调递减 .3 x4k+3因此 g(x)的单调递减区间为4k2,4k8(kz)3

23、322.解：（ ） f (x)1cos 2x3cos2x1sin 2x3cos2x212sin2x 又 x 23， 2x34263即 2 12sin 2x 3 ， f ( x) max3， f ( x) min2 3（ ） f (x) m2f (x)2mf ( x)2， x ， ，42 mf (x)max2 且 mf (x)min2 ，1m4 ，即 m 的取值范围是(1，4) 15三角函数（二）知识点四三角函数性质ysin xycosxya sinx（ a 、0）定义rrr域值域1,1 1,1a, a周期222性奇偶奇函数偶函数当0, 非奇非偶 , 当0,性奇函数2k,2k 2k 1 ,2 k

24、 2k1上为增函数 ;22k22,2上为增函数；2k ,32 k , 2k 1 单 调2k 上为增函数；性22上为减函数 .上为减函数 .32k（ k z ）2k（ k z ）2,2上为减函数（kz ）ytan x定义域x | x r且 x k1, k z2y cot xx | x r且 x k , k z值域rr周期性奇偶性奇函数奇函数单调性k,k 上为增函数k , k 1 上为减函数（ kz ）22（ k z）以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象.函数 ya sin(x ) 的图像和性质以函数 y sin x 为基础 , 通过图像变换来把握 .如 ysinx图例变化为 y asin

25、( x ) (a0, 0) 相应地， 的单调增区间162 k,变为2k x2k的解集是 的22 k222增区间 .注 : ysin( x ) 或 y cos( x) （0）的周期 t2 ; ysin(x) 的对称轴方程是 x k（ kz ），对称中心 (k,0) ；2y cos( x) 的对称轴方程是 xk （ kz ），对称中心 (k1 ,0) ；2y tan( x) 的对称中心（ k ,0 ）. 2例 21.下列函数中，既是（ 0，）上的增函数，又是以为周期的偶函数是 ()2(a)y=lgx2(b)y=|sinx|(c)y=cosx(d)y= 2sin 2x例 22.函数 ysin x 的最小正周期是（）2(a)(b)(c) 2(d) 42例 23. 函数 y2 sin(2x)( x 0, ) 为增函数的区间是 ()6(a) 0,(b) ,7 (c) ,535121236(d) ,6 x 2例 24函数 y2cos( x)(6) 的最小值是（）33( a) 2( b)3