2019年陕西省榆林市高考数学一模试卷(理科)

1、.2019 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（ 5分）若复数z，则其虚部为（）a ib 2ic 2d 22（ 5 分）若集合a x|x 2 ，b x|x2 5x+6 0，xz ，则 a b 中元素的个数为 （）a 0b 1c 2d 33（ 5分）函数的图象的大致形状是（）a bcd4（ 5分）已知向量、 满足 | 1， | 2， |，则 |（）a 2b cd5（ 5分）设 、 都是锐角，且 cos， sin（ +），则 cos（）a b c或d或6（ 5 分）设 x， y 满足约

2、束条件，则 z 3x2y 的最大值是（）a 0b 2c 4d 67（ 5 分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人;.称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（ 1.732， sin15 0.258， sin7.5 0.131）a 6b 12c 24d 488（ 5 分）如图所示，在正方体abcd a1b1 c1d1 中，若点e 为 bc 的中点，点 f 为 b1c

3、1的中点，则异面直线af 与 c1e 所成角的余弦值为（）a b cd9（ 5 分）在等比数列 an 中， a1+an 34， a2?an1 64，且前 n 项和 sn 62，则项数n 等于（）a 4b 5c 6d 710（ 5 分）已知定义域为r 的偶函数 f（x）在（， 0上是减函数，且 2，则不等式 f（ log4x） 2 的解集为（）a b（ 2， +）cd11（53），则对任意实数a、b，若 a+b 0，则（）分）设 f（ x） x +log 2（ x+a f（a） +f（ b） 0b f（ a） +f（ b） 0;.c f（a） f（ b） 0d f（ a） f（b） 012（ 5

4、 分）已知f1， f 2 分别为双曲线c： 1（a 0， b0）的左、右焦点，过f 1 的直线 l 与双曲线c 的左右两支分别交于a，b 两点，若 |ab|： |bf2|： |af 2| 3：4： 5，则双曲线的离心率为（）a b c 2d二、填空题 （本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（ 5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 abc 三个内角a、b、 c 所对的边分别为a、 b、c，面积为s，则“三斜求积”公式为222，则用“三斜若 a sinc 4sina，（a+c） 12+b求积”公式求得 abc

5、 的面积为14（5 分）已知函数 （fx）+4 x 3lnx 在 t，t+1 上不单调，则 t 的取值范围是15（ 5分）已知不等式xx（ 0，+）恒成立，则k 的最大值e 1 kx+lnx，对于任意的16（ 5分）已知 g 为 abc 的重心，过点g 的直线与边 ab， ac 分别相交于点p， q，若ap ab，则当 abc 与 apq 的面积之比为时，实数 的值为三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答）17（ 12 分）已知数列 an 中，a1 4，a

6、n 0，前 n 项和为 sn ，若 an+，（ nn * ，n 2）（ l）求数列 an 的通项公式；（ 2）若数列 前 n 项和为 tn，求证 tn18（ 12 分）在 abc 中，角 a、 b、 c 的对边分别为222）a、 b、 c，且（ 2a c）（ a b+c 2abccosc（ 1）求角 b 的大小；（ 2）若 sina+1（ cosc+） 0，求的值19（ 12 分）设椭圆 c：的离心率e，左顶点 m 到直线;.1 的距离 d， o 为坐标原点（）求椭圆c 的方程；（）设直线l 与椭圆 c 相交于 a， b 两点，若以ab 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 o 到直线 ab 的距

7、离为定值；（）在（）的条件下，试求aob 的面积 s 的最小值20（ 12 分）如图，四棱锥p abcd 的底面 abcd 为平行四边形，da dp， ba bp（ 1）求证： pa bd；（ 2）若 da dp， abp 60， ba bpbd 2，求二面角 d pc b 的正弦值21（ 12 分）已知函数f（x） x2 2（ 1）已知函数 g（x） f（ x） +2（ x+1） +alnx 在区间（ 0， 1）上单调，求实数a 的取值范围；（ 2）函数有几个零点？选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22（ 10 分）已知曲线c 的参数方程为（ 为参数），设直线 l 的极坐标方程为 4cos+

8、3sin 80（ 1）将曲线 c 的参数方程化为普通方程并指出其曲线是什么曲线（ 2）设直线 1 与 x 轴的交点为p， q 为曲线 c 上一动点，求pq 的最大值选修 4-5：不等式选讲23设函数f （x） |x+1|+|x a|（a 0）（ 1）作出函数 f（ x）的图象；（ 2）若不等式 f（ x） 5 的解集为（， 2 3， +），求 a 值;.2019 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（ 5 分）若复数z，则其虚部为（）a ib 2ic 2d 2【考点

9、】 a5 ：复数的运算【专题】 38：对应思想； 4o ：定义法； 5n ：数系的扩充和复数【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】 解： z， z 的虚部为 2故选： d 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（ 5 分）若集合 a x|x 2 ，b x|x2 5x+6 0，xz ，则 a b 中元素的个数为 （）a 0b 1c 2d 3【考点】 1e ：交集及其运算【专题】 37：集合思想； 4o ：定义法； 5j：集合【分析】 化简集合b，根据交集的定义写出a b，再判断其中元素个数【解答】 解：集合a x|x 2 ， b x|x2 5

10、x+60， xz x|2 x 3，xz ? ，则 a b ? ，其中元素的个数为 0故选： a【点评】 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题3（ 5 分）函数的图象的大致形状是（）;.a bcd【考点】 49：指数函数的图象与性质【专题】 13：作图题【分析】 f （x）中含有 |x|，故 f（ x）是分段函数，根据 x 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可【解答】解：（f x）是分段函数，根据 x 的正负写出分段函数的解析式，（f x）， x 0 时，图象与y ax 在第一象限的图象一样，x 0 时，图象与y ax 的图象关于x轴对称，故选： c【点评】 本题考查识图问题，利用特

11、值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法4（ 5 分）已知向量、满足 | 1， | | 2， |，则 |（）a 2b cd【考点】 9b ：向量加减混合运算【专题】 11：计算题； 21：阅读型； 35：转化思想； 48：分析法； 5a ：平面向量及应用【分析】 运用向量模长的计算可得结果【解答】 解：根据题意得， （） 22+ 2 2 ?又（222? 6+ ） +2 ? +1+4+2 2? 1，;.（） 2 1+4 1 4， 2故选： a【点评】 本题考查向量模长的计算5（ 5 分）设 、 都是锐角，且cos， sin（ +），则 cos（）a b c或d或

12、【考点】 gp：两角和与差的三角函数【专题】 56：三角函数的求值【分析】 由 、 都是锐角，且cos值小于，得到 sin大于 0，利用余弦函数的图象与性质得出的范围，再由 sin（+）的值大于，利用正弦函数的图象与性质得出+为钝角，可得出cos（+）小于0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出sin和 cos（+）的值，将所求式子中的角 变形为（ +） ，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值【解答】 解： 、 都是锐角，且cos ， ，又 sin（ +） ， + ， cos（ +），sin ，则 cos cos（ +） cos（+）cos+sin（ +）sin +

13、 故选： a【点评】 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键6（ 5 分）设 x， y 满足约束条件，则 z 3x2y 的最大值是（）a 0b 2c 4d 6【考点】 7c ：简单线性规划【专题】 31：数形结合； 59：不等式的解法及应用;.【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】 解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z 3x 2y 为，由图可知，当直线过 a（ 0， 2）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大

14、值为3 0 2（ 2） 4故选： c【点评】 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（ 5 分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位3.1416，后人称 3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的n为（）（ 1.732， sin15 0.258， sin7.5 0.131）;.a 6b 12c 24d 48【考点】 ef：程序框图【专题】 11：计算题； 27：图表型；

15、 4b：试验法； 5k ：算法和程序框图【分析】 列出循环过程中s 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】 解：模拟执行程序，可得：n 3，s3 sin120，不满足条件 s 3，执行循环体，n 6， s6 sin60，不满足条件 s 3，执行循环体，n 12， s 12sin30 3，不满足条件 s 3，执行循环体，n 24， s 24sin15 120.2588 3.1056，满足条件 s 3，退出循环，输出n 的值为 24故选： c【点评】 本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题8（ 5 分）如图所示，在正方体abcd a1b1 c1d1

16、 中，若点 e 为 bc 的中点，点 f 为 b1c1的中点，则异面直线af 与 c1e 所成角的余弦值为（）;.a b cd【考点】 lm ：异面直线及其所成的角【专题】 11：计算题； 31：数形结合； 41：向量法； 5g：空间角【分析】 以 a 为原点， ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， aa1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线af 与 c1e 所成角的余弦值【解答】 解：以 a 为原点， ab 为 x 轴， ad 为 y 轴， aa1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体abcd a1b1c1d1 中，棱长为2，则 a（ 0， 0， 0）， f （2

17、， 1， 2）， c1（2， 2， 2），e（ 2， 1， 0），（ 2， 1，2），（ 0， 1， 2），设异面直线af 与 c1e 所成角为 ，则 cos，异面直线 af 与 c1e 所成角的余弦值为故选： b【点评】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（ 5 分）在等比数列 an 中， a1+an 34， a2?an1 64，且前 n 项和 sn 62，则项数n 等于（）a 4b 5c 6d 7【考点】 87：等比数列的性质【专题】 11：计算题;.【分析】 根据等比数列的性质得到a2?an 1 a1?an

18、 64，与已知的a1+an 34 联立，即可求出 a1 与 an 的值，然后利用等比数列的前n 项和公式表示出 sn，把求出的a1 与 an 的值代入即可求出公比 q 的值，根据 an 的值，利用等比数列的通项公式即可求出项数n 的值【解答】 解：因为数列 an 为等比数列，则a2?an 1 a1?an 64 ，又 a1+an 34 ，联立 ，解得： a1 2， an 32 或 a132， an 2，当 a1 2， an 32 时， sn 62，解得 q 2，所以 an 2 2n 1 32，此时 n 5；同理可得 a1 32，an 2，也有 n 5则项数 n 等于 5故选： b【点评】 此题考

19、查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题10（ 5 分）已知定义域为 r 的偶函数 f（x）在（，0上是减函数，且 2，则不等式 f（ log4x） 2 的解集为（）a b（ 2， +）cd【考点】 3i：奇函数、偶函数；4o：对数函数的单调性与特殊点【专题】 11：计算题【分析】 由题意知不等式即 f（log 4x），即 log4x ，或 log 4x，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集【解答】 解：由题意知 不等式 f（ log4x） 2，即 f（ log4x），又偶函数 f（x）在（， 0上是减函数， f（ x）在 0，+）上是

20、增函数，log 4x log42，或log 4x，;. 0 x，或x 2，故选： a【点评】 本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点3），则对任意实数 a、b，若 a+b 0，则（）11（5 分）设 f（ x） x +log 2（ x+a f（a） +f（ b） 0b f（ a） +f（ b） 0c f（a） f（ b） 0d f（ a） f（b） 0【考点】 3e ：函数单调性的性质与判断；3n ：奇偶性与单调性的综合【专题】 35：转化思想； 4r ：转化法； 51：函数的性质及应用【分析】 求解函数 f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案

21、【解答】 解：设，其定义域为r ， f（ x），函数 f （ x）是奇函数且在（0， +）上单调递增，故函数 f （ x）在 r 上是单调递增，那么： a+b 0，即 a b， f（ a） f （ b），得 f（ a） f（ b），可得： f（ a） +f（ b） 0故选： b【点评】 本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力属于基础题12（ 5 分）已知f1， f 2 分别为双曲线c： 1（a 0， b0）的左、右焦点，过f1 的直线 l 与双曲线 c 的左右两支分别交于a，b 两点，若 |ab|： |bf22| 3：4： 5，|： |af则双曲线的离心率为（）a b c 2d【考点

22、】 kc ：双曲线的性质【专题】 34：方程思想； 48：分析法； 5d ：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设 |af 1| t，|ab | 3x，根据双曲线的定义算出t 3a，xa，rt abf 2 中算出cos;. baf 2，可得 cos f 2af 1，在 f2af1 中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案【解答】 解： |ab|： |bf2|： |af 2| 3： 4： 5，设 |af 1| t， |ab |3x，则 |bf 2| 4x， |af 2| 5x，根据双曲线的定义，得 |af2| |af1| |bf 1| |bf 2| 2a，即 5xt （ 3x+t）

23、4x2a，解得 t 3a，x a，即 |af 1| 3a， |af2| 5a， |ab|： |bf 2|： |af 2| 3： 4： 5，得 abf 2 是以 b 为直角的 rt ， cos baf2，可得 cosf 2af 1，222 2|af 1|?|af2|cos f 2af1 f2af1 中， |f1f 2| |af 1| +|af 2| 9a2+25a2 2 3a 5a（） 52a2，可得 |f1f 2| 2a，即 ca，因此，该双曲线的离心率e故选： a【点评】 本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题二、填空题 （本

24、大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（ 5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 abc 三个内角a、b、 c 所对的边分别为a、 b、c，面积为s，则“三斜求积”公式;.为222，则用“三斜若 a sinc 4sina，（a+c） 12+b求积”公式求得abc 的面积为【考点】 hp：正弦定理；hr：余弦定理【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 4r ：转化法； 58：解三角形【分析】 由已知利用正弦定理可求ac 的值，可求 a2+c2 b2 4，代入“三斜求积”公式即可计算得解【解答】 解：根据正弦定

25、理：由a2sinc 4sina，可得： ac 4，2 12+b2222由于（ a+c），可得： a +c b 4，可得：故答案为：【点评】 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（ 5 分）已知函数f （x）+4x 3lnx 在 t，t+1 上不单调，则t 的取值范围是0 t 1 或 2 t 3【考点】 6b ：利用导数研究函数的单调性【专题】 11：计算题； 35：转化思想【分析】 先由函数求f （x） x+4，再由“函数在 t，t+1上不单调” 转化为 “ f（ x） x+40 在区间 t，t+1 上有解” 从而有在 t， t+1 上有解，进而转化为： g

26、（ x） x2 4x+3 0 在 t， t+1 上有解，用二次函数的性质研究【解答】 解：函数 f（ x） x+4函数在 t， t+1 上不单调， f（ x） x+4 0 在 t， t+1 上有解在 t ，t+1 上有解 g（ x） x2 4x+30 在 t， t+1 上有解;. g（ t） g（t+1） 0 或 0 t 1 或 2 t 3故答案为： 0 t 1 或 2 t 3【点评】 本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意判别式的应用x15（ 5 分）已知不等式e 1 k

27、x+lnx，对于任意的x（ 0，+）恒成立，则k 的最大值 1【考点】 6e ：利用导数研究函数的最值【专题】 35：转化思想； 49：综合法； 53：导数的综合应用.e【分析】 不等式 ex 1 kx+lnx ，对于任意的x（ 0，+）恒成立 等价于对于任意的x（ 0，+）恒成立求得，（ x 0），的最小值即可k 的取值【解答】 解：不等式ex 1 kx+lnx，对于任意的x（ 0，+）恒成立等价于对于任意的x（ 0， +）恒成立令，（ x 0），令 g（x） ex（ x 1）+lnx，（ x 0），则， g（ x）在（ 0，+）单调递增， g（ 1） 0， x（0， 1）时， g（ x）

28、0， x（ 1，+）时， g（ x） 0 x（0， 1）时， f（ x） 0， x（ 1，+）时， f （ x） 0 x（0， 1）时， f（ x）单调递减， x（1， +）时， f（ x）单调递增 f（ x） min f（ 1） e 1 k e1故答案为： e 1;.【点评】 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力，属于中档题16（ 5 分）已知 g 为 abc 的重心，过点g 的直线与边ab， ac 分别相交于点p， q，若ap ab，则当 abc 与 apq 的面积之比为时，实数 的值为或【考点】 ht ：三角形中的几何计算【专题】

29、35：转化思想； 49：综合法； 58：解三角形【分析】 利用重心定理，用， 把向量表示为，再利用 a，p，q 共线，可得 x+y 1，最后代入面积公式即可得解【解答】 解：设 aq acg 为 abc 的重心， p， g，q 三点共线， abc 与 apq 的面积之比为时，或，故答案为：或【点评】 本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而得到、， y 的关系式，是解答本题的关键三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第

30、22、 23 题为选考题，考生根据要求作答）17（ 12 分）已知数列 an 中，a1 4，an 0，前 n 项和为 sn ，若 an+，（ nn * ，;.n 2）（ l）求数列 an 的通 公式；（ 2）若数列 前 n 和 tn，求 tn【考点】 8e ：数列的求和；8h：数列 推式【 】 35： 化思想； 48：分析法； 54：等差数列与等比数列【分析】（ 1）运用数列的 推式和等差数列的定 、通 公式，即可得到所求通 ，注意 首 ；（ 2）求得 （），由裂 相消求和， 合数列的 性和不等式的性 ，即可得 【解答】 解：（ 1）数列 an 中， a1 4， an 0，前 n 和 sn，若

31、 an+，（ nn* ， n2），由 an sn sn1（）（+）+，且+ 0，可得 1，数列 首 2，公差 1 的等差数列，即有+n 1 2+n 1 n+1，即 sn（ n+1） 2，当 n2 ， an+ n+1+ n 2n+1；则 an；（ 2） n 2 ，可得列（）， 前 n 和 tn+ （ + + +）+ （），由在 nn* 增，可得最小 ，且，;. tn【点 】 本 考 数列的通 公式的求法，注意运用数列 推式和等差数列的定 、通 公式，考 数列的裂 相消求和，属于中档 22218（ 12 分）在 abc 中，角 a、 b、 c 的 分 a、 b、 c，且（ 2a c）（ a b +

32、c ） 2abccosc（ 1）求角 b 的大小；（ 2）若 sina+1（ cosc+） 0，求 的 【考点】 hr ：余弦定理【 】 11： 算 ； 35： 化思想； 49： 合法； 58：解三角形【分析】（ 1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等 的 用化 可得cosb， 合范 b（ 0， 180），可求 b 的 ；（ 2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等 的 用化 已知等式可得cos（ a+30）， 合范 a+30 （ 30， 150），可求 a 30，由正弦定理即可求得的 【解答】（本 分 12 分）222解：（ 1）（ 2a c）（ a b +c ） 2abccosc（

33、2a c） 2accosb 2abccosc（ 2a c） cosbbcosc3 分，由正弦定理可得：， a 2rsina， b2rsinb， c 2rsinc， 2sinacosb sinccosb sinbcosc， 2sinacosb sinccosb+sinbcosc sin（ b+c） sina， sina 0， cosb ， b（ 0， 180）， b 60 6 分;.， b 60， a 30，.（ 2） sina+1（ cosc+） 0， sina+1cosc0，可得： sinacosc， b 60， c 180 ba 120 a， sinacos（ 120 a），可得：cosa

34、sina， cos（ a+30 ）， a（ 0， 120）， a+30 （30， 150）， a 30，由正弦定理可得： 12 分【点 】 本 主要考 了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等 的 用在解三角形中的 合 用，考 了 算能力和 化思想，属于中档 19（ 12 分） 设椭圆 c：的离心率e，左 点 m 到直 1 的距离 d， o 坐 原点（）求 c 的方程；（） 直 l 与 c 相交于 a， b 两点，若以ab 直径的 坐 原点， 明：点 o 到直 ab 的距离 定 ；（）在（）的条件下， 求aob 的面 s 的最小 【考点】 kh ：直 与 曲 的 合【 】 5e ： 曲 中的最 与范

35、 【分析】（）由已知得222，由此能求出 c 的方，又 a b +c程（） a（ x1， y1），b（ x2， y2），当直 ab 的斜率不存在 ，x1x2 +y1y20，点 o 到;.直线ab 的距离为当直线ab 的斜率存在时，设ab 的方程为y kx+m，联立2224 0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出，得（ 1+4k ）x +8kmx+4m点 o 到直线 ab 的距离为，由此能证明点o 到直线 ab 的距离为定值（ 3）设直线oa 的斜率为k0， oa 的方程为y k0x， ob 的方程为y，联立，得，同理，得，由此能求出aob 的面积 s 的最小值【解答】 解：（）由已知得222，

36、又 a b +c解得 a 2， b 1， c，椭圆 c 的方程为（）证明：设a（ x1， y1）， b（ x2， y2）， 当直线 ab 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1 x2， y1 y2，以 ab 为直线的圆经过坐标原点， 0， x1x2+y1y2 0，又点 a 在椭圆 c 上， 1，解得 |x1| |y1|此时点 o 到直线 ab 的距离（ 2）当直线 ab 的斜率存在时，设ab 的方程为 y kx+m，;.联立222，得（ 1+4k） x+8kmx+4m 4 0，以 ab 为直径的圆过坐标原点o， oa ob， x1 x2+y1y2 0，（ 1+k2） x1x2+km（ x1+x

37、2） +m2 0，（ 1+k2）?，22整理，得 5m 4（ k +1 ），点 o 到直线 ab 的距离，综上所述，点o 到直线 ab 的距离为定值（ 3）设直线 oa 的斜率为 k0，当 k0 0 时， oa 的方程为 y k0x，ob 的方程为 y，联立，得，同理，得， aob 的面积 s 2，令 1+ t， t 1，则 s2 2，令 g（ t）+ +4 9（2，（ t 1） + 4 g（ t ），;.当 k0 0 时，解得s 1， s 的最小值为【点评】 本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线ab 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运

38、用20（ 12 分）如图，四棱锥p abcd 的底面 abcd 为平行四边形，da dp， ba bp（ 1）求证： pa bd；（ 2）若 da dp， abp 60， ba bpbd 2，求二面角 d pc b 的正弦值【考点】 l3 ：棱锥的结构特征；mj ：二面角的平面角及求法【专题】 31：数形结合； 41：向量法； 5g：空间角【分析】（ 1）取 ap 中点 f ，连接 dm ， bm ，由已知可证 pa dm ， pa bm，又 dm bm m，可得 pa平面 dmb ，因为 bd ? 平面 dmb ，可证 pa bd ；（ 2）由已知可得dap 是等腰三角形，abp 是等边三角形，求出