三年高考高考数学试题分项版解析-专题20-圆锥曲线的综合问题-文

1、三年高考高考数学试题分项版解析 - 专题 20 - 圆锥曲线的综合问题 - 文-作者 : _日期 : _专题 20 圆锥曲线的综合问题文1. 定值与最掌握与圆锥曲线有关的最值、值及掌握解答题 范围问题定值、参数范围问题2. 存在性问了解并掌握与圆锥曲线有关的掌握解答题 题存在性问题分析解读1. 会处理动曲线 ( 含直线 ) 过定点的问题 .2. 会证明与曲线上的动点有关的定值问题 .3. 会按条件建立目标函数 , 研究变量的最值问题及变量的取值范围问题 , 注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值 .4. 能与其他知识交汇 , 从假设结论成立入手 , 通过推理论证解答存在性问题 .5. 本

2、节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系 , 展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查 , 注重对数学思想方法的考查 , 分值约为 12 分 , 难度偏大 .2018 年高考全景展示1【 2018 年江苏卷】在平面直角坐标系中， a 为直线上在第一象限内的点，以 ab为直径的圆 c与直线 l 交于另一点 d若，则点 a 的横坐标为_【答案】 3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果 .点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题 . 通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式

3、或求函数值域，是解决这类问题的一般方法 .【年浙江卷】如图，已知点p 是 y 轴左侧(不含 y 轴一点，抛物线 c： y2x 上存在22018)=4不同的两点 a，b 满足 pa， pb的中点均在 c上2（）设 ab中点为 m，证明： pm垂直于 y 轴；（）若 p 是半椭圆 x2+=1( xb0)的离心率为2,椭圆 c截直线 y=1所得线段的长度为 2 2.:b2a22( ) 求椭圆c的方程；(动直线l:y kx m m0)交椭圆c 于 a b 两点交 y 轴于点 m 点 n是 m关于 o的对称点,圆)= + (,.n 的半径为|no 设 d为 ab的中点,de df与圆 n分别相切于点e

4、f 求edf的最小值.|., ,6【答案】( )x2y21;( ) edf 的最小值为42.2【解析】试题分析： ( )c2 得所 a2b , 由椭圆 c截直线 y=1 所得线段的长度为22 得,a2a2a22 ,求得椭圆的方程为 x2y21；（ 由 x22 y24 , 解得b242()2kxmy(2 k21)x24kx2m240, 确定 d (2km,m) , dn2 mk 43k 22,2k 212k 212k 21所以 sinfdnon2k 212, 由此可得fdn 的最小值为dn2k4k 2 12, edf 的最小值为4.2（）设 a( x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，7

5、y kx m联立方程x2 2 y2 4得 (2 k 21)x24kmx2m240 ，由0得 m24k 22（ * ）且 x1 x24km，2k 21因此 y1y22m，2k21所以 d (2km,m)，2k 212k 21又 n (0,m)，所以 nd(2km ) 2(mm)222k 212k 21整理得：224) ，24m (1 3kknd(2 k 21) 2因为 nfm24( k 43k 2 1)8k所以nd2(2 k 2 1)21nf(2 k232 1)2令 t 8k 23,t3故 2k21t14nd216t16所以11.nf2(1 t )21 2tt8故 nd1 ，nf2设 edf 2

6、 ，则 sinnf1 ，nd2所以得最小值为 .6从而edf 的最小值为，此时直线 l 的斜率时0 .3综上所述：当 k0 ， m( 2,0) (0, 2) 时，edf 取得最小值为 .3【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题常见解法：几何法 , 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 , 则考虑利用图形性质来解决；代数法 , 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 , 则可先建立起目标函数 , 再求这个函数的最值 ,

7、 最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解2. 【2017 天津，文 20】已知椭圆 x2y21(a b 0) 的左焦点为 f ( c, 0) ，右顶点为 a ，点a2b2e 的坐标为 (0, c) ， efa 的面积为 b2 .29（ i ）求椭圆的离心率；（ ii ）设点 q 在线段 ae 上， | fq |3 c ，延长线段 fq 与椭圆交于点 p ，点 m ， n 在 x 轴2上， pm qn ，且直线 pm 与直线 qn 间的距离为 c ，四边形 pqnm 的面积为 3c .（ i ）求直线 fp 的斜率；（ ii ）求椭圆的方程 .【答案】（）1 （）（）3 （） x2y21241

8、612【解析】试题分析：（）根据图象分析出1 (ca)cb2， 再结合 b2a2c2 ，求得离心率；（）22（）首先设直线 fp 的方程是 xmyc ，再写出直线 ae 的方程，方程联立得到点 q 的坐标，根据 fq3 c 得到 m 的值，求得直线的斜率；（）直线fp 的方程和椭圆方程联立，2求得点 p 的坐标，再求 fp , fqc ，确定直线 pm 和 qn 都垂直于直线 fp ，根据平面几何关系求面积，求 c ，解椭圆方程 .（）（）依题意，设直线fp的方程为 xmyc(m 0)，则直线 fp的斜率为 1 .m由（）知 a2c ，可得直线 ae的方程为 xy1，即 x2y2c0，与直线

9、fp 的方程联2cc立，可解得 x(2m2) c , y3c，即点 q的坐标为 ( (2m2)c ,3c) .m2m 2m2m2fq 3c，有 (2 m2)cc23c)23c220 ，所以 m4，即由已知 | |=m2()，整理得 3m 4m32m223直线 fp的斜率为.10【考点】 1. 椭圆方程； 2. 椭圆的几何性质； 3. 直线与椭圆的位置关系 .【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b, c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但

10、本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形pqnm 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大3. 【2017 浙江， 21】（本题满分15 分）如图，已知抛物线x211y ，点 a(， ) ，132439p( x, y)(作直线的垂线，垂足为 b(，) ，抛物线上的点x) 过点bap422q211（）求直线 ap斜率的取值范围；（）求 | pa | | pq | 的最大值【答案】（） (1,1) ；（） 2716【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得ap的斜率为 x1 ，由1x3 ，得 ap斜率的取222值范围；（）联立直线ap与 bq的方程，得 q的横坐标，进而表达 | p

11、a | 与 | pq |的长度，通过函数 f (k )( k1)(k1) 3 求解 | pa | | pq |的最大值（）联立直线 ap与 bq的方 程kxy1 k10,24xky930,k24解得点 q的横坐标是xqk 224k3，因为 |pa12( x12(k 1)2(k1)|=k) = 1k2pq2( xq(k1)( k 1)2，所以|papq(k1)(k 1)3| |=1 kx)k 21|=12令 f (k )( k 1)(k 1) 3 ，因为 f (k )(4k 2)(k 1)2 ，所以 f ( k) 在区间 ( 1, 1) 上单调递12增， (,1) 上单调递减，因此当 k= 1

12、时， | pa | | pq | 取得最大值 27 2216【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达| pa | 与 | pq |的长度，通过函数f (k )( k1)(k1) 3 求解 | pa| | pq |的最大值2016 年高考全景展示1. 【 2016 高考山东文数】 ( 本小题满分 14 分)已知椭圆 c:（ab0）的长轴长为 4，焦距为 2.（ i ）求椭圆 c的方程；( ) 过动点 m(0 ， m)( m0) 的直线交 x 轴与点 n，交 c于点 a，p( p 在第

13、一象限 ) ，且 m是线段pn的中点 . 过点 p 作 x 轴的垂线交 c 于另一点 q，延长线 qm交 c于点 b.(i) 设直线 pm、qm的斜率分别为 k、k ，证明 为定值 .(ii) 求直线 ab的斜率的最小值 .【答案】 ( ) x2y21 .( )(i)见解析； (ii)直线 ab 的斜率的最小值为6 .422【解析】试题分析： ( ) 分别计算 a,b 即得 .( )(i) 设 p x0 , y0x00, y0 0，13利用对称点可得 p x0 ,2 m , q x0 , 2m .得到直线 pm的斜率，直线 qm的斜率，即可证得 .(ii)设 a x1 , y1 , b x2,

14、 y2，分别将直线 pa的方程 ykx m ，直线 qb的方程 y3kx m 与椭圆方程x2y241 联立，2应用一元二次方程根与系数的关系得到 x2x1 、 y2y1 及 kab 用 k 表示的式子，进一步应用基本不等式即得 .( )(i) 设 p x0 , y0 x0 0, y00 ，由 m0, m ，可得 p x0 ,2 m , q x0,2m .所以 直线 pm的斜率 k2m mm ，x0x0直线 qm的斜率 k 2mm3m .x0x0此时 k 3 ，所以 k 为定值 3.kk(ii) 设 a x1 , y1 , b x2, y2 ，直线 pa的方程为 y kx m ，直线 qb的方程

15、为 y3kxm .14ykxm联立x2y2，412整理得2k21 x24mkx2m24 0 .22 m22由 x0 x12m4 可得 x12k 2，2k 211 x0所以 y1kx1m2k m22m ，2k 2 1 x0由 m 0, x0 0 ，可知 k 0，所以 6k126 ，等号当且仅当 k6 时取得 .k6此时m6 ，即 m14 ，符号题意 .48m267所以直线 ab 的斜率的最小值为6 .2考点： 1. 椭圆的标准方程及其几何性质；2. 直线与椭圆的位置关系；3. 基本不等式 .【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题. 解答此类题目，利用a,b, c, e的关系，确定椭圆

16、（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出. 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.152. 【2016 高考天津文数】（设椭圆x2y 23 ）的右焦点为 f ，右顶点为 a ，已知a21 （ a3113e ，其中 o 为原点， e 为椭圆的离心率 .|of | oa | fa |（）求椭圆的方程；（）设过点 a的直线 l 与椭圆交于点 b （ b 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 m ，与 y 轴交于点

17、 h ，若 bfhf ，且moamao ，求直线的 l 斜率 .【答案】（）x2y2641 （）43【解析】试题分析：（）求椭圆标准方程，只需确定量，由113c ，得| of | oa | | fa |113c再利用 a2c2b23，可解得 c21 ， a24 （）先化简条件：caa( ac) ，moamao| ma | | mo |，即 m再 oa中垂线上， xm1，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 b ；利用两直线方程组求h，最后根据 bfhf ， 列等量关系解出直线斜率 .（ 2）设直线的斜率为 k (k0)，则直线 l 的方程为 yk( x2)，设 b( xb , yb ) ，由

18、方程组x2y21,消去 y ，43y k (x 2),整理得 (4 k 23) x216k 2 x16k2120 ，解得x 2或 x8k 26 ，4k2316由题意得 xb8k 26 ，从而 yb12k，4k 234k23由（ 1）知 f (1,0)，设 h (0, yh ) ，有 fh(1, yh ) ， bf(94k2,12k) ，4k 234k 23由 bfhf ，得 bfhf0 ，所以4k 2912kyh0，4k234k 23解得 yh94k 2，因此直线 mh 的方程为 y1 x94k 2，12kk12k设 m (xm , ym ) ，由方程组y1 x94k 2,消去 y ，得 xm

19、20k 29 ，k12k12(k 21)y k (x 2),在 mao 中， moamao| ma | mo |，即 (xm2) 2ym2xm2ym2 ，化简得 xm1 ，即 20k291 ，12(k 21)解得 k6 或 k6 ，44所以直线 l 的斜率为 k6 或 k6 .44考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦

20、和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型3. 【2016 高考四川文科】（本小题满分13 分）已知椭圆 e： x2y21(a b 0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点a2b21p(3,) 在椭圆 e 上.( ) 求椭圆 e 的方程；17( ) 设不过原点o且斜率为1的直线 l 与椭圆e交于不 同的两点， ，线段ab的中点为，2a bm直线与椭圆e交于， ，证明： ma mbmc md omcd【答案】（ 1） x2y21；（ ）证明详见解析.42【解析】试题分析：（）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角

21、形的三个顶点可得a2b ，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用p(3, 1) 在椭圆上，可解出 b 的值，从而得到椭圆2的标准方程；（）首先设出直线l 方程为 y1m ，同时设交点 a(x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，把 l 方x2程与椭圆方程联立后消去y 得 x 的二次方程，利用根与系数关系，得x1 x2 , x1x2 ，由ma mb2mb （用 m 表示），由 om 方程 y1 x 具体地得出 c , d 坐标，1 ab 求得 ma42也可计算出 mcmd ，从而证得相等试题解析：（ i ）由已知，ab=2 .x2y21311(a b 0)过点4，解得 b21又椭圆b2p(

22、 3, 2) ，故4b2b21.a2所以椭圆 e 的方程是 x2y21.418考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想 . 在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为(x1, y1 ),( x2 , y2 ) ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得x1x2 , x1x2 ，再把 mamb用 x1 , x2 表示出来，并代入刚才的 x1 x2 , x1x2 ，这种方法是解析几何中的“设而不求”法可减少计算量，简化解题过程4. 【2016 高考新课标 1 文数】（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xoy 中, 直线 l : y=t ( t 0)交y 轴于点 m交抛物线 c：2于点关于点的对称点为连结并延长