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文档简介
1、第 1 讲三角函数的概念第一种方式:学习三角函数有什么用?三角学的发展, 由起源迄今差不多经历了三四千年之久,在古代, 由于古代天文学的需要, 为了计算某些天体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形,这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学古代平面三角学;虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学,但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。 三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 三角函数在物理学中也是常用的工具。在实际生活中, 有许多周期现象可以用三角函数来
2、模拟,如物理中简谐振动、交流电中的电流、 潮汐等, 都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题; 很多最值问题都可以转化为三角函数来解决,如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。思考:火箭飞升问题:一枚运载火箭从地面o 处发射,当火箭到达a 点时,从地面c 处的雷达站测得ac的距离是006km,仰角是 45 1s 后,火箭到达b 点,此时测得bc的距离是6.13km,仰角为 60。问:解:在 rt ocb 中, sin 600ob , ob 6.13 sin 6005.31kmbcao6sin 4504.
3、24kmaboboa(5.31 4.24) m 1.07kmvab / t1.07 /1(km / s)1.07km / s第二种方式:三角函数的起源发展史早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。古希腊三角术的奠基人是公元前2 世纪的喜帕恰斯。他按照古巴比伦人的做法,将圆周分为360 等份(即圆周的弧度为360 度,与现代的弧度制不同) 。对于给定的弧度,他给出了对应的弦的长度数值,这个记法和现代的正弦函数是等价的。 喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数公式表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。梅涅劳斯在他的著作球面学 中使用了正弦来描述球面的梅涅劳斯定理。古
4、希腊三角函数与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰,托勒密在数学汇编( syntaxis mathematica)中计算了36 度角和 72 度角的三角函数的正弦值, 还给出了计算和三角函数公式表以及角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0 到 180 度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值。古希腊文化传播到古印度后, 古印度人对三角术进行了进一步的研究。 公元 5 世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦, 这个做法被后来的古印度数学家使用, 和现代的正弦定义一致了。 阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。 他在计算弦长时使用了不同的单位,重新计算了 0 到 90
5、 度中间隔三又四分之三度( 3.75 )的三角函数值表。 然而古印度的数学与当时的中国一样, 停留在计算方面, 缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义,但他们的三角函数学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了三角函数公式中的正切和余切、正割和余割的概念,并计算了间隔 10 分 (10 ) 的正弦和正切数值表。到了公元14 世纪,阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化 (古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式) 的努力为后来三角函数从天文学中独立出来,成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。第三种方式:生活中的三角函数在花样滑冰比赛中, 运动员的动作是那么优美! 尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止运动员在原地转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险你能算出他们在一次原地转身五圈的动作中转过的角度吗?炎炎夏日,用纸扇驱走闷热,无疑是一种好办法扇子在美观设计上,可考虑用料、图案和形状若从数学角度看,我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇?唐朝诗人王之涣留给后人的佳作 登鹳雀楼 不仅刻画了祖国的壮丽山河, 而且写出了登高望远的襟怀,其中一句“欲穷千里目,更上一层楼”更解释了“只有站得高,才能看得远”这一生活哲理, 成为不朽名句 . 如果从数学角度推理, 以自己为中心, 要看到千里内 (
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