线性代数A至C

1、.线性代数模拟题a一单选题 .1.下列（ a）是 4 级偶排列（a ） 4321；(b)4123；(c)1324；(d) 23412. 如果a11a12a134a112a113a12a13da21a22a231， d14a212a213a22a23 ，a31a32a334a312a313a32a33那么 d1（b ）（ a ）8；(b)12 ；(c) 24；(d)24 3. 设 a 与 b 均为 nn 矩阵，满足abo ，则必有（ c）（ a ） a o 或 b o ；（ b） a b o ；（ c） a 0 或 b0 ；（ d） a b 0 4. 设 a 为 n 阶方阵 ( n3) ，而 a

2、*是 a 的伴随矩阵， 又 k 为常数，且 k0, 1，则必有 ka *等于（ b）（ a ） ka* ；（ b） k n 1 a* ；（ c） kn a* ；（d ） k 1 a* 5.向量组1,2 ,.,s 线性相关的充要条件是（ c）（a ）1,2 ,.,s 中有一零向量(b)1 ,2 ,.,s 中任意两个向量的分量成比例(c)1 ,2 ,.,s 中有一个向量是其余向量的线性组合(d)1 ,2 ,.,s 中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知1,2 是非齐次方程组axb的两个不同解，1 ,2 是 ax0 的基础解系， k1 ,k 2为任意常数，则axb 的通解为（b）(a) k1

3、1k 2 (12 )12 ;(b) k1 1k2 (12 )1222(c) k1 1 k2 ( 12 )12 ; (d) k1 1 k 2 (12 )12227. 2 是 a 的特征值，则（ a 2 /3） 1 的一个特征值是（ b）(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/48. 若四阶矩阵a 与 b 相似，矩阵a 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式 |b -1 -i|=( b);.(a)0(b)24(c)60(d)1209. 若 a 是（ a ），则 a必有 aa （ a ）对角矩阵； (b) 三角矩阵； (c) 可逆矩阵； (d) 正交矩阵10. 若 a 为可逆矩阵，

4、下列（ a ）恒正确（ a ） 2 a2a ；(b)2a12 a 1；(c) ( a 1 ) 1( a )1；(d) ( a ) 1( a 1 ) 1二计算题或证明题1. 设矩阵322ak1k423(1) 当 k 为何值时，存在可逆矩阵p，使得 p 1ap 为对角矩阵？(2) 求出 p 及相应的对角矩阵。参考答案：(1)322122a - ek1k01k( 1)2 ( 1) 0423001得 a的特征值为 :121,31.则应有当 1=2 =1时， a+e的秩为 1a -e422422k0kk0k所以， k=0422000(2)42211/ 21/ 2当 1 = 2 = 1时，a - e0 0

5、 00 0000000011对应特征向量可取为p12, p20021011当3 =1（）0 1 0，对应的特征向量可取为p30时 a e0001;.1111因此， p200,102112. 设 n 阶可逆矩阵 a 的一个特征值为 ，a * 是 a 的伴随矩阵，设 |a|=d ，证明： d/ 是 a * 的一个特征值。参考答案：设 是 a 的属于特征值 的特征向量 ,则 a = 两边左乘 a* 得 a*a = a* 所以有|a| = a* ,即 d = a* 因为 a 可逆 ,所以 a 的特征值都不等于0所以有(d/ ) = a* 即 d/是 a* 的一个特征值 ,是 a 的属于特征值 d/ 的

6、特征向量 .3. 当 a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解ax1x2x31x1ax2x3a2x1x2ax3a参考答案：. 对增广矩阵b=（ a ， b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有a 11111aa211aa2b1a1a0a11 aa(1a) 0a 11 aa(1a)11a a201 a 1 a21 a3002 a a2a3a2a 1当 2 aa 20 时，即 a1,2 时， r（ a ） =r（b ） =3，方程组有唯一解。此时解为： x1a1 , x21, x3(a1)2a2a2a2当 2aa2 =0 时， a=1,2 。当 a=1 时， r（a

7、）=r （ b） =1，方程组有无穷解x11k1k2此时解为：x2k1x3k2当 a 2 时， r（ a ）=2， r（b ）=,3 无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示;.103211,3, 301,11221,45527421460参考答案：103211032110321（1 , 2 , 3, 4,）1 3 0 11033 300000 05=21752011101110042146000044000111030110301( r1 -2r4 ,r3 -r4 )00000 (交换行 )01101，则向量的秩为3，01101000110001100000

8、极大无关组为：a1 , a2 , a4 ，且 a3 3a1 a2 ， a5a1 a2 a45. 若 a 是对称矩阵，b 是反对称矩阵，试证： abba 是对称矩阵参考答案：由已知条件知道，at =a, btb ,则有，（ abtt( ba)ttattbtab ba ,所以 abba 是对称矩阵ba） ( ab )ba;.线性代数模拟题b一单选题 .1. 若 (1) n (1k4 l 5 ) a11ak 2 a43al 4 a55 是五阶行列式aij 的一项，则 k 、 l 的值及该项符号为（c）（ a ） k2 ， l3 ，符号为负；(b)k2 ， l3 符号为正；(c)k3， l2 ，符号为

9、负；(d)k1 ， l2 ，符号为正2. 下列行列式（ a ）的值必为零(a)n 阶行列式中，零元素个数多于n2n 个；(b)n 阶行列式中，零元素个数小于n2n 个；(c) n 阶行列式中，零元素个数多于 n 个；(d) n 阶行列式中，零元素的个数小于 n 个3. 设 a ，b 均为 n 阶方阵，若 ab aba2b2 ，则必有（ d）（ a ） ai ；(b) b o ；(c) ab ；(d) ab ba 4. 设 a 与 b 均为 n n 矩阵，则必有（ c ）（ a ） a ba b ；（b ）abba ；（c） abba ；（ d ） a b 1a 1b 1 5. 如果向量可由向量

10、组1 , 2 ,.,s 线性表出，则（ d）(a) 存在一组不全为零的数k1, k2 ,.,k s ，使等式k1 1k22 .ks s 成立(b) 存在一组全为零的数k1 ,k2 ,., ks ，使等式k1 1k2 2. kss 成立(c) 对 的线性表示式不唯一(d) 向量组,1 , 2 ,.,s 线性相关6. 齐次线性方程组 ax 0 有非零解的充要条件是（ a）(a) 系数矩阵 a 的任意两个列向量线性相关(b) 系数矩阵 a 的任意两个列向量线性无关(c ) 必有一列向量是其余向量的线性组合(d) 任一列向量都是其余向量的线性组合7. 设 n 阶矩阵 a 的一个特征值为 ，则 ( a

11、1 2 i 必有特征值（c ）)(a) 2+1 (b) 2-1 (c)2 (d)-2321a （ a ）8.已知a00a与对角矩阵相似，则000(a)0 ;(b) 1 ;(c) 1 ;(d)29.设 a ， b ， c 均为 n 阶方阵，下面（d）不是运算律;.（ a ） a b c (c b)a ； （ b） ( a b)cac bc ；（ c） (ab )ca(bc ) ；（ d） ( ab)c( ac ) b 10. 下列矩阵（ b）不是初等矩阵001100100100(a)010 ；（ b）000 ；（ c） 020；（ d）012100010001001二计算题或证明题（101. 已

12、知矩阵 a ，求 a 10。其中 a21a e =10（）（2），求的 a 的特征值为1 =1， 2 =2 。12= 11=1时，解方程（ a-e ） x=0 ，由 ae001当11，得基础解系1，单位化1为 p111211=2 时，解方程（ a-2e ）x=0，由 a2e101当1，得基础解系2，单位00化为 p21011210将 p1、 p2 构成正交矩阵：pp1, p2，有 p 1 ap02102p 1 a10p1010，则021011012021112012010ap p102101101， 和 答 案 不 一 样2022啊，不知道怎么回事。参考答案： a10101210210;.2.

13、 设 a 为可逆矩阵， 是它的一个特征值，证明： 0 且 -1 是 a-1 的一个特征值。参考答案：当 a 可逆时，由 ap= p, 有 p= a-1 p，因为 p0，知道 0，因此 a-1 p= -1 p, 所以 -1 是 a-1 的一个特征值。3. 当 a 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解ax1x2x3a3x1ax2x32x1x2ax32参考答案：对增广矩阵b=（ a ， b）作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵，有a 11a 31a1211a2b1a1201a21a3(a1) 01a1a23(a1)11a201aa10002aa23(a1)当 2 aa 20

14、时，即 a1,2 时， r（ a ） =r（b ） =3，方程组有唯一解。此时解为： x1a1 , x23 , x33a2a 2a 2当 a=1 时， r（ a ） =r （b ） =1，方程组有无穷解x12k1k2此时解为：x2k1x3k2当 a 2 时， r（ a ）=2， r（b ）=,3 无解。4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示111121101, 2, 3, 431204112参考答案：111111111111（ 1 , 2 ,2110000100113 , ）4 =12001000则向量的秩为 33011411200030000极大无关组为：a2

15、, a3 , a4 ，且 a1a2 a3a45. 若 a 是对称矩阵， t 是正交矩阵，证明t 1 at 是对称矩阵;.参考答案：、(t 1 at ) t tt * at *( t 1 )t ，因为 t 是正交矩阵，所以 tt t 1 ，又 a 是对称矩阵， at a ，所以(t 1 at ) tt t * at *( t 1 ) t =t 1 * a * t ，是对称阵。;.线性代数模拟题c一单选题 .1. 设五阶行列式aijm ，依下列次序对aij 进行变换后，其结果是（a ）交换第一行与第五行，再转置，用2 乘所有的元素，再用-3 乘以第二列加于第三列，最后用 4 除第二行各元素（a ）

16、 8m ；(b)3m ；(c)8m ；(d) 1 m 43xkyz02. 如果方程组4 y z 0 有非零解，则（ d ）kx 5y z0（ a ）k 0或k 1；（ b ）k 1或k 2；（ c）k1 k 1；（ d ）k1或或k3 3.设 a ， b ， c ， i 为同阶矩阵，若abc i ，则下列各式中总是成立的有（a ）（ a ） bcai ；(b)a c bi ；(c)bac i ；(d)c b ai 4.设 a ， b ， c 为同阶矩阵，且 a可逆，下式（a ）必成立（ a ）若 abac ，则 bc ；(b)若 abcb ，则 ac ；(c) 若 acbc ，则 ab ；(d

17、)若 bc o ，则 bo 5.若向量组 1 ,2 ,.,s 的秩为 r ，则（ d）（a ）必定 rs(b) 向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关(c ) 向量组中任意r 个向量线性无关(d)向量组中任意个r1向量必定线性相关6. 设向量组1 ,2 ,3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（c）(a)12 ,23 ,31;(b)1 , 12 ,321 ;(c)12 ,23 ,31;(d)12 ,223 ,3 31 .7. 设 a、 b 为 n 阶矩阵，且 a 与 b 相似， i 为 n 阶单位矩阵，则（ d）(a) i-a i-b (b)a与 b有相同的特征值和特征向量(c)a与 b

18、 都相似于一个对角矩阵(d)ki-a与 ki-b相似（ k 是常数）8. 当（ c）时， a 为正交矩阵，其中aba0c(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; (c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量组1 ,2 ,3 ,4 线性无关，则向量组（a ）(a) 12 ,23 ,34 , 41 线性无关;.(b)(c)(d)12 ,23 ,34 ,41 线性无关 ;12 ,23 ,34 ,41 线性无关 ;12 ,23 ,34 ,41 线性无关 .10. 当 a （ b ）时，有a1a2a3a1 3c1 a2a b1b2b3b1c1c2c3c1100103（ a ） 010；（b ） 010；（ c）3010013c2b2c20 00 11 0a33c3b3c331000；（d ） 0101031二计算题或证明题1. 设 a b, 试证明(1)am bm(m 为正整数 ) （ 2）如 a可逆，则 b 也可逆，且 a1 b 1参考答案：略。