题解第3章多维随机变量及其分布(2)

1、习题 3.11设二维随机变量 ( x ,y ) 的联合分布函数f ( x, y) a( barctgx )(c arctgy ) ，求常数 a 、 b 、 c (x,y) 解：由分布函数 f ( x, y) 的性质得：f (,)a( b)(c) 1 ；22f (, y)a( b)(carctgy )0 ；2f ( x,)a(barctgx )(c)0；2从而 b2， c， a12 。22. 设有 10 件产品，其中 2 件是次品， 8 件是正品，从中依次随机取出二件，每次取一件， 取后不放回。 以 x 表示第一次取的次品数， 以 y 表示第二次取到的次品数，求 ( x ,y ) 的分布列 .解

2、： x 与 y 可能的取值都为： 0,1 ，则分布列为y10x2880454581145453把一颗均匀的骰子随机的抛两次，设随机变量 x 表示第一次出现的点数，随机变量 y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量( x ,y) 的分布列解： x 与 y 可能的取值都为： 1，2,3,4,5,6则分布列为y123456x11111113636363636362021111363636363630031113636363614000411363636500005136366000060364 一口袋中有三个球，它们依次标有数字 1、2、2，从袋中任取一球后，不放回袋中， 再从袋中任取一球。 设

3、每次取球时， 袋中各个球被取到的可能性相同，用 x 和 y 分别表示第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(1) ( x ,y ) 的分布列；(2) 求 p( xy) 解： (1) 由题意知： ( x ,y ) 的可能取值为(1,2)、 ( 2,1) 、 (2,2) ，而p x1,y2p( x1)p(y2 x1)111 ；33p x2,y1p( x2)p(y1 x2)211 ；323p x2, y2p( x2)p(y2 x2112)233所以， ( x ,y ) 的分布列为：y12x101321133(2) p( x y)p x 1,y 1 p x2,y 1 p x 2,y 20112 。33

4、3若采用有放回的抽取方式， 则 ( x , y) 的可能取值为 (1,1) 、(1,2) 、( 2,1) 、(2,2) ，而px1,y1p( x1)p(y1)111 ；339px1,y2p( x1)p(y2)122 ；339px2,y1p( x2)p(y1)122 ；3392224p x2,y2p( x2)p(y2)339所以， ( x ,y ) 的分布列为：y12x1129922499(2) p( x y) px1,y1 p x2,y 1 p x 2,y 21247 。99995 设 ( x ,y ) 的分布列为：y012x-10.250.05000.150.0510.10.30.1求（ 1

5、） p( xy ) ；（2） p( xy ) ；（ 3） p( x y 0) p( xy )p( x1,y0)p( x1,y1)p( x1,y 2)解 （1）p( x0,y1) p( x0, y2)p( x 1,y0)p( x1 , y2 ).0.（ ） p( xy)p(x1,y1)p( x0,y0)p(x1,y1)0.35；2（ 3）p( xy0)p(x1,y1)p(x0,y0)0.056 设二维随机变量 ( x ,y ) 的联合密度函数为ce ( 2 x 4 y )0 x, yf ( x, y)其它0(1) 确定常数 c ；(2) 求 p( x y) 解： (1)利用密度函数的性质可得：1

6、f (x, y) dxdyce (2 x 4 y) dxdyc e 2 xdxe 4 ydy1 c000083于是 c8；(2) p( xy)f ( x, y) dydx2e 2 xx4 ydydx(2e 2x2e 6x )dx4ex000y112 337设二维连续型随机变量(x ,y) 的联合密度函数为f ( x, y)k (2xy)0x2,1y20其它求： (1)常数 k ；(2)p( x1 ,y 2) ；(3)p( x1) ；(4)p( xy3) 2222y221解： (1)xy)dyxy9k1，所以 kdxk(2 k(2 y2) dx;01019（ 2） p( x1 , y 2)114

7、 ;2 dx k (2 x y)dy229019(3)p( x1)122xy)dy5;9dx(2911(4)p( xy3)122(2x12(4 xx2979dxy)dy2)dy1813x9 128. 设二维随机变量 (x , y) 的联合密度函数为f ( x, y)(1 y)0x y10其他，求(1) p( x0.5,y0.5) ；(2)p( x0.5)和 p(y0.5) ； (3) p( x y 1) 解：（1） p( x0.5,y0.5)1(1y)dxdy11 ；y0.50.54829(2)p( x0.51(1y)dxdy0.5)x480p(y0.5)0.50.5(1y)dxdy1 ；0x

8、63 (3)p( xy1)0.51xy)dxdy0x(189 设二维随机变量 ( x ,y) 在 g 上服从均匀分布，其中 g0y1,| x |y ，求 ( x ,y ) 的密度函数？4解：由题意知区域 g 的面积为 a11 21，所以 ( x ,y ) 的密度函数为2f (x, y)10y1,| x |y 0其它10. 设二维连续型随机变量 ( x ,y ) 的联合密度函数为10 x1,0 y 2f ( x, y)20其他求： x 与 y 中至少有一个小于0.5 的概率。解： p( x 0.5 y 0.5) 1p( x0.5,y0.5)11215dydx80.50.5211. 设 x 与 y

9、 为从 0, 4 中随机取出的两个数，求 (1) 两数都小于等于 3 的概率； (2) 两数都大于 3 的概率 .解： (1)由题意知 ( x ,y ) 服从二维均匀分布且联合密度函数为10 x 4,0 y 4 ,f (x, y)160其他p( x3,y4411;3)dxdy1633 1619(2)p( x3,y 3)33dxdy.00 161612为了控制某种零件的生产质量，零件的尺寸超过容许的上限的概率为p10.06 ，超过容许下限的概率为p2 0.02 。因此，在容许的界限内的概率为p0.92 。现在独立的随机抽取（不放回） 100 件零件，求其中有 x 件和 y 分别超过容许上限和容许

10、下限的概率 ?解：设 x 和 y 分别是在被抽取的100 件零件分别超过容许上限和容许下限的的件数，他们可能的取值为 x, y 0,1,2, ,100且x y100 。由题意知 ( x ,y) 服从参数为 (100,0.06,0.02,0.92,)的多项分布，所以 (x ,y)的联合分布为p( x x,y y)100!0.06 x 0.02 y0.92100 x y x! y!(100 xy)!5习题 3.21设二维随机变量 ( x ,y ) 的联合分布函数f (x, y)12 (arctgx )(arctgy )22求关于x和y的边际分布函数fx( )和fy( y)x解： fx ( x)f

11、( x,)12arctgx arctg ()1 (arctgx ) ；12212fy ( y)f (, y)arctg ()arctgy arctgy ) 22(222 求习题 3.1 第二题中关于 x 和 y 的边际分布列？解：在无放回抽取方式下( x ,y ) 的分布列为：y12x101321133所以， x 的边际分布列为：x12p(xxi)1233y 的边际分布列为：y12p(yyi )1233在有无放回抽取方式下 ( x ,y ) 的分布列为：y12x1129922499所以， x 的边际分布列为：x1212p(xxi )336y 的边际分布列为：y1212p(yyi )33上例表明

12、， x 与 y 的联合分布列不能由边际分布列唯一确定3设 x 与 y 独立，下表给出了二维随机变量( x ,y ) 的分布、边缘分布的部分值，将其余概率填入表中空白处y23p(yyi )x-1018118p( x1xi )6解：由独立性及边际分布的定义得y23p(yyi )x-111110812424131318448p( x112xi )2664设二维随机变量 ( x ,y ) 密度函数xye ( x y)x0, y0，f ( x, y)其他0求 x 与 y 的边际密度函数 f x ( x) 和 fy ( y) 解： fx ( x)f (x, y)dyxye ( x y) dyxe x( x

13、0) ；0fy ( y)f ( x, y)dxxye (x y )dx ye y( y0) 0xe xx 0ye yy0所以 f x ( x)其他， fy ( y)其他0075设二维随机变量 ( x ,y ) 的密度函数为f ( x, y)10x 1,| y |x0其他求关于x和y的边际密度函数() 和f xxfy ( y)x0x12x0x1解： fx( x)f ( x, y)dy1 dyx0其它0其它11y01 dx1y1y0y1fy ( y)f (x, y) dx0y11y0y11 dxy00其它其它1 | y | y | 1 0其它6 若 x 和 y 都是服从正态分布的随机变量，则(x

14、,y) 也服从正态分布吗？解：设二维随机变量 ( x ,y ) 的联合密度函数为1x2y2e21sin xsin y， (x,y)f ( x, y)2由于 sin x 为奇函数，所以 x 和 y 边际密度函数为：1x2y2f x ( x)f ( x, y)dye2 (1sin xsin y)dy21 e21e2同理可得：x2y2y 22(e2e 2 sin x sin y)dyx2y21x22e2 dye221y 2fy ( y)e 22即 x n (0 , 1)和 y n (0 , 1) ，但 ( x ,y) 却不是服从二维正态分布的87证明定理证明：充分性：因 ( x ,y) 的联合密度函

15、数为1( x1 ) 2 ( y2 )21(2)f ( x, y)e 2212212边际密度函数为1( x1 )21( y 2 )2fx ( x)e2 12； fy ( y)2e2 22212所以f ( x, y)fx ( x) fy ( y)必要性：因 x 与 y 相互独立，所以对任意实数x 、 y ，均有f ( x, y)f x (x) fy ( y)取 x1 ， y2 得1f ( 1, 2 )f ( 1 ) f (2 )11212221212从而08 设随机变量 (x ,y) 的联合分布函数为：f ( x, y)1(arctgx )(2arctgy ) (x,y)22试证明 x 与 y 是

16、相互独立证明：关于 x 和 y 的边际分布函数 fx ( x) 和 fy ( y) 分别为：fx ( x)f ( x,)12arctgx 2arctg ( )1 (arctgx ) ；1221 (2fy ( y)f (, y)arctg ()arctgy arctgy ) 222所以，对任意实数 x 、 y ，均有( ,)( ) ( )，故x 与 y相互独立f x yfx x fy y9已知 x u 0,2,y n (0,1) ，且 x 与 y 相互独立，求 ( x ,y ) 的密度函数解：因为 x 与 y 相互独立，f ( x, y)f x ( x) fy ( y) ，且91x21y2f x

17、 ( x)0， fy ( y)2 , (y) ，所以2e0其他21y2e 20 x2，yf ( x, y)f x (x) f y ( y)2 20其他10设随机变量 ( x ,y ) 的联合分布函数为1xyx 1, y 1；f ( x, y)40其他判断 x 与 y 是否相互独立1 1xydy11解： fx ( x)f (x, y)dy4x；120其他1 1 xy1y1fy ( y)f ( x, y)dxdy21, y 1 时，14，当 x0其他f ( x, y)fy ( y) fx ( x) ，所以 x 与 y 不相互独立11已知 x u 0,1,y e(1) ，且x 与 y相互独立，求 p

18、( x y 1) 解：因为 x 与 y 相互独立， f ( x, y)f x ( x) fy ( y) ，且f x ( x)10 x1， fy ( y)e yy 0 ，所以0其他0其他f ( x, y)f x (x) fy ( y)ey0 x，0y 所以10其他p( x y11 xe 1 1)e ydydx00习题 3.31设 ( x ,y ) 的分布列为10p( x ,y)z1xyz2xyxz3yz4maxx,yz5minx,yy112x11038812008213088求（ 1 ）z1xy；（ ）xy；（ ）x ；（4）z4max x ,y及2 z23z3yz5min x ,y 的分布列？

19、解：将 ( x ,y ) 及各个函数的取值对应列于下表中：10301020188888（-1 ，（-1 ，1） （-1 ，2） （2，-1） （2，1） （2，2） （3，-1 ） （3，1） （3，2）-1 ）-2011342450233104211-11-221-33322-112222333-1-1-1-112-112将上表中 z1 ， z2， z2 ， z4 ， z5 重复的取值所对应的概率求和，整理得z1 ，z2 ， z2 ， z4 ， z5 的分布列：z121235p1321188888z20134p1232888811z3-3113222p2311188888z4-123p143

20、888z5-112p6118882设随机变量 x 与 y 独立同分布，p( x i ) pqi 1(i1,2, ),p(y j )pq j 1 ( j1,2,) ，求随机变量 zxy 的分布律k解： p( x y k )p( x r )p(y r k)r0kk( pq r 1)( pq r k 1 )( p2 q2 r 2 k ) r 0r03 设随机变量 x 与 y 相互独立，且 x 与 y 具有同一分布列，x 的分布列为：x01p( xxk )1122试求随机变量 zmax x ,y 的分布列解：由题意知： z 的可能取值为0、 1，而p(z0)p(max x , y0)p( x 0,y0)p( x0) p(y0)111 ；224p(z1)p(max x ,y1)p( x1, y0)p( x0,y 1)p( x 1,y 1)p( x1)p(y 0)p( x0) p(y1)p( x1)p(y1)121111113 ；2222224于是随机变量 z 的分布列为：z01p( zzk )13444设二维随机变量 ( x ,y ) 的联合