高三数学教案：2.4极限的四则运算(一)

1、课题：2.4 极限的四则运算 (一)教学目的：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 an 的项无限趋近于 某个常数 a , 那么an 就说数列 an 以 a 为极限记作 lim an a n2. 几个重要极限：（ 1） lim 10（ 2） lim cc （ c 是常数）nnn（ 3）无穷等比数列 q n （ q1）的极限是0，即 lim q n0( q 1)n3. 函数极

2、限的定义 :(1) 当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数f ( x) 无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f ( x) 的极限是 a.记作：lim( )=+( ).xfxa，或者当 x 时， fx a(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f() 无限趋近于一个常数，xa就说当 x 趋向于负无穷大时，函数f ( x) 的极限是 a.记作 lim f ( x)= a 或者当 x时， f ( x) a.x(3)如果 lim f ( x)= a 且 limf ( x)= a，那么就说当 x 趋向于无穷大时，函数f ( x) 的极xx限是 a，记作： lim f

3、( x)= a 或者当 x时， f ( x) a.x4. 常数函数 f ( x)= c.( x r) ，有 lim f ( x)= c. 即 lim cc ,xxlim f ( x) 存在，表示 lim f ( x) 和 lim f ( x) 都存在，且两者相等. 所以 lim f ( x) 中的既有 +xxxx，又有的意义，而数列极限liman中的仅有+x的意义5.趋向 于 定 值 的 函 数 极 限 概念 ： 当 自 变 量 x 无限趋近于x0 （ xx0 ）时，如果函数yf ( x) 无限趋近于一个常数a ，就说当 x 趋向 x0时，函数yf (x) 的极限是 a ，记作第 1页共 5页

4、limf (x)a 特别地， lim cc ； lim xx0xx0xx0xx06.limf ( x) alimf ( x)limf (x)axx0x x0x x0其 中 limf ( x)a 表 示 当 x 从左侧趋近于x0时的 左极限 ， lim f ( x)a 表 示 当 x 从右xx0x x0侧趋近于 x0 时的 右极限二、讲解新课：1. 对于函数极限有如下的运算法则：如果fxag xb ，那么;lim(), lim()lim f (x)g( x)abxxoxxoxxolim f (x)g(x)ab ;limf ( x)a ( b0)x xoxxo g (x)b也就是说， 如果两个函数

5、都有极限，那么这两个函数的和、 差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0） .说明 ：当 c 是常数， n 是正整数时 :lim cf (x)c limf ( x) ,lim f ( x) n limf ( x) nx xox xox xox xo这些法则对于x的情况仍然适用 .limxkk( kn*),lim10(k*)xoxknx xox三、讲解范例：例 1求 lim (x23)x2x解： lim( x23x)lim x2lim3 x 4610x 2x2x 2例 2求 lim2x2x1.x32x21x1解： lim2x2x1lim (

6、2x2x1)lim 2x2lim xlim 1x12x21)x 1x 1x1x 1x32x21lim ( x3lim x3lim 2x2lim 1x1x1x 1x1212112132121这个题目可以把x=1 代入函数的解析式2x2x1中，就可以了 .所以求某些函数在2x21x3某一点 x=x0处的极限值时，只要把x=x0代入函数的解析式中，就得到极限值.这种方法叫 代入法 .例 2求 limx21.xx1 2x21第 2页共 5页分析： 这个题目如果用代入法做，则分子、分母都为0，所以不能求解.将分子分母因式分解，共有 x 1 这个因子 .因为 x 无限趋近于 1，不包含 x=1 即 x1，

7、所以可约去公因式，化简再求极限 .解： limx21lim( x1)( x1)limx1lim ( x1)x 11)x 12x2x1x1(x1)(2x1)x 12x1lim (2xx 11122 113当用代入法时，分子、分母都为0，可对分子、分母因式分解，约去公因式来求极限.就是先要对原来的函数进行恒等变形.称因式分解法 .例 3求 lim 2x 3x21x1x13x21lim(2 x3x2 1) lim 2x3lim x2lim121解： lim 2 xxx11)x1x1x 1x 11lim( xlim xlim12x1x1x 1例 4求 limx 216x4x4分析：当 x4时，分母的极

8、限是0 ，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数yx 2164内，可以将分子、分母约去公因式x4 后变成 x4 ，由此即x4在定义域 x可求出函数的极限 .解： lim x216lim (x4)( x4)lim( x4)lim xlim 4448x 4 x 4x 4x 4x 4x 4x 4例 5求 lim 3x 22x3xx1分析：当 x时，分子、分母都没有极限， 不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x 2 ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算3x2x 331 3lim(313 )lim3lim 1lim 32limx x2xx x2xxxxx2解：

9、 limx11113xx12lim(12 )lim1lim2xxxxxx例 6 求 lim2x 2x432x3xx1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以x 3 ，就可以运用法则计算了第 3页共 5页2214lim(214 )lim2lim 1lim 42x x 4limx x2x3xx x2x3xxxx2xx3解： lim1 11 110x3x3 x2 1x3lim(3)lim3limlim1x x3x x3x3xxxx x例 7( x 1)( x2);(2) lim4x24x1求下列极限 . (1) lim1)( x1)x32x21n(2xn( x 1)( x 2)

10、x2x 2112解： (1) limlim2limx x 2(2x1)( x 1)x111xx2xx2xx 2lim 1lim1lim21001xx2xxxlim 2lim1lim12002xx2xxx4x24x1441lim4lim4lim1lim xx2x3xx2x3xxx(2) lim32x21xxx121lim 1lim2lim1xx3xx3xxx000100四、课堂练习：0.1.求下列极限 : (1)lim (3x2 2x+1) (代入法 .)x1解： lim (3x2 2x+1)= lim 3x2 lim 2x+ lim 1=3 122 1+1=2.x1x1x1x1(2) lim

11、( x3)(2x1)x1 ( x5)( x6). (代入法 )解： lim ( x3)( 2x1)lim (x3)(2x1)x15)( x6)x1( x5)( x6)lim (xx1lim ( x3) lim (2x1)( 1 3)( 2 1)3x1x1lim ( x5) lim ( x6)(15)(16)14x1x1(3) lim x24. (因式分解法 .)x2x2解： limx24lim ( x2)( x2)lim (x2)4 .x2x2x2x2x 2第 4页共 5页(4) lim3x1(分子、分母同除x 的最高次幂 .)x212x20x3x131解： limlimxx20x212x 2

12、01220xx1xx2(5) limx 2822x4. (分子有理化 .)x 4解： limx28 2 2limx28 (2 2)2.x 4x 4x 4 (x 4)( x28 2 2)=lim(x4)(x4)limx44428 2 2)x28 2 242 8 2 2x 4 (x 4)( x2x 4五、小结 ：有限个函数的和 （或积） 的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.求函数的极限要掌握几种基本的方法.代入法；因式分解法；分子、分母同除x 的最高次幂；分子有理化法 .六、课后作业 ：1.（1）x 3x4);（ 2）limx 25 ;（3）lim2x;lim (233x 1x1x 2 x 2x 1 x2（4） lim ( x23x 11) ;（ 5） lim3 x4x 23;（ 6） lim3x3x2;x 0x 4xx21x 0