高三数学教案：2.1数学归纳法及其应用举例(一)

1、 题 ： 2.1 数学归纳法及其应用举例（一）教学目的：1. 了解 法的意 ，培养学生 察、 、 的能力能区分不完全 法与完全 法；学会由特殊到一般的思 方式2了解数学 法的原理，并能以 推思想作指 ，理解数学 法的操作步 3.能用数学 法 明一些 的数学命 .并能 格按照数学 法 明 的格式 写教学重点： 法意 的 和数学 法 生 程的分析教学 点： 数学 法中 推思想的理解授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 内容分析 ：数学 法是一种用于 明与自然数 n 有关的命 的正确性的 明方法 它的操作步 、明确，教学重点 是方法的 用但是我 不能把教学 程当作方法的灌 ，技能的

2、操 方法作 的灌 ，学生必然疑 重重 什么必 是二步呢？于是教 反复 例， 明二步缺一不可你怎么知道n=k 命 成立呢？教 又不得不作出解 ，可学生仍未完全接受学完了数学 法的学生又往往有 用 但想不起来的 ，等等 为此，我 想 化数学 法 生 程的教学，把数学 法的 生寓于 法的分析、 当中， 把数学 法的 生与不完全 法的完善 合起来 不 使学生可以看到数学 法 生的背景，从一开始就注意它的功能， 使用它打下良好的基 ，而且可以 化 思想的教学， 不 是 中学数学中以演 思想 主的教学的重要 充，也是引 学生 展 新能力的良机数学 法 生的 程分二个 段，第一 段从 法的 开始，到 不完全

3、 法的 ， 再到不完全 法可靠性的 ，直到怎么 束第二 段是 策 ，从介 推思想开始，到 推思想，运用 推思想，直到 出二个步 束理解数学 法中的 推思想， 要注意其中第二步， 明n=k+1 命 成立 必 用到n=k 命 成立 个条件教学 程 ：一、复 引入：问题 1： 里有一袋球共十二个，我 要判断 一袋球是白球， 是黑球， 怎么 ？方法一：把它倒出来看一看就可以了特点：方法是正确的，但操作上缺乏 序性方法二：一个一个拿，拿一个看一个比如 果 ： 第一个白球， 第二个白球， 第三个白球， ， 第十二个白球， 由此得到： 一袋球都是白球特点：有 序，有 程问题 2：在数列 an中， a11,a

4、n 1an,( n*)，先算出 a2 34的 ，再推ann， a， a1 通 an 的公式 程： a2 1， a31， a41，由此得到： an1,( nn * ) ，234n第 1页共 4页解决以上两个 用的都是 法 .再 看数学史上的两个 料： 料 1: （ fermat）是 17 世 法国著名的数学家，他是解析几何的 明者之一，是 微 分的 立作出 献最多的人之一，是概率 的 始者之一，他 数 也有 多 献但是， 曾 ，当n n ， 22n1一定都是 数， 是他 n=0，1， 2， 3，4 的 分别为 3,5,17,257,65537 作了 后得到的18 世 大的瑞士科学家欧拉（eule

5、r）却 明了当n=5 ，2251 =4 294 967 297=6 700 417 641，从而否定了 的推 有人 ， 什么不再多算一个数呢？今天我 是无法回答的但是要告 同学 ，失 的关 不在于多算一个上！ 料 2： f（n ）=n2+n+41，当 n n ， f（n ）是否都 数？f（ 0） =41， f（ 1） =43，f （ 2） =47， f（ 3）=53， f（4 ）=61，f（ 5） =71， f（ 6） =83，f （ 7） =97， f（ 8）=113， f （ 9） =131，f（ 10） =151， f（39） =1 601但是 f（ 40）=1 681=412 是合数算

6、了 39 个数不算少了吧，但 不行！我 介 以上两个 料，不是 世界 大 出 ，我 有 就可以原 ，也不是 法不行，不去学了， 而是要找出运用 法出 的原因，并研究出 策来 于生活、生 中的 ，得出的 的正确性， 接受 践的 ，因 践是 真理的唯一 准 于数学 ， 求数学 明 件展示：多媒体 件(游 ：多米 骨牌) ,多米 骨牌游 要取得成功，必 靠两条：（ 1）骨牌的排列，保 前一 牌倒 后一 牌也必定倒；（ 2）第一 牌被推倒用 种思想 出来的，用于 明不完全 法推 所得命 的正确性的 明方法就是数学 法二、 解新 ：1. 法 ：由一些特殊事例推出一般 的推理方法.特点：由特殊一般2. 不

7、完全 法 : 根据事物的部分 (而不是全部 )特例得出一般 的推理方法叫做不完全 法 .如我 在推 涉及所有正整数的等差数列通 公式 ，在考察了n=1， 2， 3， 4 几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全 .我 已 知道， 不完全 法所得到的命 并不能保 它成立，所以 种方法并不能作 一种 方法；同 也 看到， 不完全 法是研究数学的一把 匙，是 数学 律的一种重要手段.在 探索中， 了 求一般 律，往往先考察一些特例，通 些特例的不完全 形成猜想，然后再 去 明或否定 种猜想.因而学会用不完全 法 行探索， 提高我 的数学能力十分重要.3. 完全 法 : 把研究 象一一都考 到

8、了而推出 的 法称 完全 法.完全 法是一种在研究了事物的所有(有限种 )特殊情况后得出一般 的推理方法，又叫做 枚 法 .与不完全 法不同，用完全 法得出的 是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多 ，采用完全 法.4. 数学 法 : 于某些与自然数 n 有关的命 常常采用下面的方法来 明它的正确性：第 2页共 4页先 明当 n 取第一个 n0 命 成立；然后假 当 n=k(k n*，k n0) 命 成立， 明当 n=k+1 命 也成立 种 明方法就叫做数学 法5. 数学 法的基本思想： 即先 使 有意 的最小的正整数n 0，如果当命 成立，再假 当 n=k(k n0，kn* ) ，命 成立

9、 .( 命 是否成立不是确定的 个假 ，如能推出当 n=k+1 ，命 也成立，那么就可以 推出 所有不小于数 n0 +1， n0+2，命 都成立.6.用数学 法 明一个与正整数有关的命 的步 ：(1) 明：当 n 取第一个 0 正确；n(2)假 当 n=k(k n* ，且 k nn=k+1 也正确 .0) 正确， 明当由 (1)， (2)可知，命 于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确三、 解范例：n=n0 ，)，根据n 0 的正整例 1用数学 法 明：如果an是一个等差数列，那么an=a1+(n 1)d 一切 n n*都成立 . 明： (1)当 n=1 ，左 =a1 ，右 =a1+0 d=

10、a1，等式是成立的(2)假 当 n=k 等式成立，就是ak=a1+(k 1)d .那么 ak+1=ak+d=a 1+(k1)d +d=a1+ (k+1) 1 d， 就是 ，当 n=k+1 ，等式也成立 .由 (1)和 (2)可以判定，等式 任何n n* 都成立 .例 2用数学 法 明： 1+3+5+ +(2n1)=n2. 明： (1)当 n=1 ，左 =1，右 =1，等式成立 .(2)假 当 n=k ，等式成立，就是1+3+5+ +(2k1)=k2，那么 1+3+5+ +(2k1)+ 2(k+1) 1 =k2+ 2(k+1) 1 =k2+2k+1=(k+1)2. n=k+1 也成立 .由 (1

11、)和 (2)，可知等式 任何n n* 都成立四、 堂 ：n(n1)1.用数学 法 明：1+2+3+ +n=.2 明： (1)当 n=1 ，左 =1，右 =1(1 1)=1.2等式成立 .(2)假 当 n=k ，等式成立，即 1+2+3+ +k=k(k 1).2那么当 n=k+1 ，1111+2+3+k+(k+1)= k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+1)= (k+1)(k+1+1)222 n=k+1 ，等式也成立.由 (1)(2)可知等式 一切n n* 都成立 .第 3页共 4页1，公比 q 的等比数列的通 公式是：n1qn 1.2.首 aa =a 明： (1)n=1 ，左 =a1，右

12、 =a1 q11=a1q0=a1.左 =右 .k1 k1.那么当 n=k+1时 .(2)假 当 n=k 等式成立 .即 a=a qak+1=akq=a1q k 1 q=a1q(k+1) 1 n=k+1 等式也成立 .由 (1)、 (2)可知等式 一切n n* 都成立五、小 ： (1) 中心内容是 法和数学 法；(2) 法是一种由特殊到一般的推理方法，分 是完全 法和不完全 法二种，完全 法只局限于有限个元素，而不完全 法得出的 不具有可靠性，必 用数学 法 行 格 明;(3)数学 法作 一种 明方法，它的基本思想是 推(递归 )思想，它的 明步 必 是两步，最后 要 ；(4)本 所涉及到的数学思想方法有： 推思想、分 思想、数形 合思想、函数与方程思想六、 后作 ：1. 一切自然数n，猜出使 t nn2 成立的最小自然数t2. 平面上有 n 条直 ，其中无两条平行，无三条共点， ： (1) 这 n 条直 共有几个交点f(n) ？（ f (n)1n(n1)2(2) 这 n 条直 互相分割成多少条 段（或射 ）？(n2 条 )(3) 平面被 n 条