高三数学教案：圆的方程2

1、课题： 7.6 圆的方程（二）教学目的：1. 掌握圆的一般方程及一般方程的特点；2. 能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；3. 能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；4渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索 王新敞教学重点： 圆的一般方程x2y2dxey f0的形式特征王新敞教学难点： 对圆的一般方程x2y2dxeyf0 的认识直线与圆的位王新敞置关系（尤其是圆的切线）王新敞授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析：遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般

2、也就不难， 它们可以通过形式上的互相转化而解决王新敞直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）王新敞由于圆的一般方程中含有三个参变数d、e、f，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径王新敞本节为 第二课时 讲解圆的一般方程王新敞教学过程 ：一、复习引入：1圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞2 求曲线方程的一般步骤为：（ 1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点m 的坐标；（ 2）写出适合条件 p 的点 m 的集合； (可以省略 ，直接列出曲线

3、方程 王新敞 )（ 3）用坐标表示条件p（ m），列出方程 f (x, y) 0 ;（ 4）化方程 f ( x, y)0 为最简形式；（ 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞 (可以省略不写 ,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞 )3建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞第1页共7页4.圆的标准方程： (x a)2( yb)2r 2 圆心为 c (a,b) ，半径为 r，若圆心在坐标原点上，这时ab 0 ，则圆的方程就是 x2y2r 2王新敞5圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 王新敞y圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了rmc

4、(a,b)圆，所以，只要a, b, r 三个量确定了且r 0，圆的方程就ox给定了王新敞这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定 a,b, r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决王新敞二、讲解新课：圆的一般方程：将圆的标准方程(x a)2( yb)2r 2 的展开式为：x 2y 22ax2by(a 2b 2r 2 )0 王新敞取 d2a, e2b, fa 2b2r 2 得x 2y2dxeyf0再将上方程配方，得( xd ) 2( ye ) 2d 2e 24f224不难看出，此方程与圆的标准方程的关系（ 1）当 d 2e 24f0 时，表示以（ - d ，- e ）为圆心 ,

5、1d 2e 24f222为半径的圆；（ 2）当 d 2e 24f0时，方程只有实数解xd ， ye ，即22只表示一个点（ -d ， - e ） ;22（ 3）当 d2e24f0 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞综上所述，方程x2y2dxey f0 表示的曲线不一定是圆王新敞第2页共7页只 有 当 d 2e 24f 0 时 ， 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 ， 我 们 把 形 如x2y2dxey f0的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：（ 1） x2 和 y

6、2的系数相同，且不等于0；（ 2）没有 xy 这样的二次项王新敞但要注意：以上两点是二元二次方程ax 2bxy cy2dx ey f 0表示圆的必要条件，但不是充分条王新敞看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数d , e, f 就可以了 王新敞三、讲解范例：例 1 求过三点 o(0,0), m (1,1), n (4,2) 的圆的方程， 并求这个圆的半径和圆心坐标 王新敞分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y 2dx ey f 0 o (0,0), m (

7、1,1), n (4,2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于d , e, f 的三元一次方程组，f0即 def204d 2e f 20 0解此方程组，可得：d8, e6, f0 王新敞所求圆的方程为：x 2y 28x6 y0 王新敞1d2e24f5 ；d4,f3 王新敞r222得圆心坐标为（4， -3 ）.第3页共7页或 将 x 2y 28x 6 y 0 左 边 配 方 化 为 圆 的 标 准 方 程 ，( x 4)2( y3)225 , 从而求出圆的半径 r5 ，圆心坐标为 (4,-3)王新敞例 2 已知一曲线是与两个定点o（ 0， 0）、 a（

8、3， 0）距离的比为 1 的点的2轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线王新敞分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出 王新敞解：在给定的坐标系里，设点m (x, y) 是曲线上的任意一点，也就是点m ( x, y) 属于集合 p m | om1 王新敞am2即x 2y 21 ,x2y 21( x 3) 2y 22( x 3) 2y24ym整理得： x2y22x 30oa(3,0) x所求曲线方程即为：x 2y 22x 30 王新敞将其左边配方，得( x 1) 2y 24 王新敞此曲线是以点c（ -1 ，0）为圆心， 2为半径的圆 . 如右上图所示王

9、新敞例 3求圆心在直线x- y-4=0上，且经过两圆 x2y 24x 30 和2230 的交点的圆的方程xy 4 y王新敞解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为x 2y 24x 3(x 2y则其圆心坐标为 ( 2, 2)1124 y 3)0(1)王新敞所求圆的圆心在直线xy40 上，2240,1王新敞113所求圆的方程为x 2y26 x 2 y 3 0 王新敞第4页共7页说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程王新敞例 4 如图，已知定点a(2 ， 0) ，点 q 是圆 x 2y21 上的动点， aoq的平分线交 aq于 m，当 q点在圆上移动时，求动点m的轨迹方程王新敞解：

10、由三角形的内角平分线性质，得qmoq1 ， qm1 .maoa2ma2设 m、q的坐标分别为 (x, y) 、 ( x0 , y0 ) ，则x0122yx13 x1x01q22m13 yy00y01a(2,0) xy22o112 q在圆 x 2y 21 上， x02y02 ， ( 3 x1)2( 3 y) 21 王新敞222 )2y 2 4 . 王新敞动点 m的轨迹方程为 ( x39说明：注意三角形内角平分线性质的应用.四、课堂练习：课堂练习p791. 下列方程各表示什么图形？（ 1） x 2y 20 ;解：此方程表示一个点o（ 0，0）王新敞（ 2） x 2y 22x4 y6 0 ;解：可化

11、为 : ( x1) 2( y2) 211此方程表示以点（ 1， -2 ）为圆心，11为半径的圆王新敞（ 3） x 2y 22ax b20第5页共7页解：可化为： ( x a) 2y 2a2b 2 ，此方程表示以 (- a ,0)为圆心，a2b2为半径的圆王新敞2. 求下列各圆的半径和圆的坐标：(1)x2y26x0 答案：即 ( x3) 2y 29 ，圆心为（ 3， 0），半径为3 王新敞(2)x ybx0 答案：即x( y b)b，圆心为（0 -b），半径为|222222，b 王新敞（ 3） x 2y 22ax2 3ay3a 20答案：即( xa)2( y3a)22a ), 半径为 a a，圆心为 ( a , 3王新敞五、小结：1对方程 x 2y2dxeyf0 的讨论 (什么时候可以表示圆) 王新敞22dxeyf0 表示一个圆的充要条件2方程 axbxy cy王新敞3与标准方程的互化王新敞4用待定系数法求圆的方程王新敞5圆与圆的位置关系王新敞六、课后作业：补充：若实数 x、y 满足等式 ( x2)2y 23 ，那么 y 的最大值为 ( )xa.1.3 .3 .3王新敞232解：实数 x, y 满足 ( x