高三数学教案：易错题举例解析12

1、高中数学易错题举例解析高 中 数 学 中 有 许 多 题 目 ， 求 解 的 思 路 不 难 ， 但 解 题 时 ， 对 某 些 特 殊 情 形 的讨 论 ，却 很 容 易 被 忽 略 。也 就 是 在 转 化 过 程 中 ，没 有 注 意 转 化 的 等 价 性 ，会 经常 出 现 错 误 。本 文 通 过 几 个 例 子 ，剖 析 致 错 原 因 ，希 望 能 对 同 学 们 的 学 习 有 所帮 助 。 加 强 思 维 的 严 密 性 训 练 。忽 视 等 价 性 变 形 ， 导 致 错 误 。x 0x + y 0x1x +y 3y 0xy 0， 但y2与xy 2不 等 价 。x3 f

2、(1)0, 3f (2) 6, 求 f (3) 的 范 围 。【 例 1】已 知 f(x)= ax + b，若3a b0错 误 解 法由 条 件 得3b62a2 2 6 a15 2 得8b2333 + 得103ab43 ,即 10f (3)43 .33333错 误 分 析采 用 这 种 解 法 ， 忽 视 了 这 样 一 个 事 实 ： 作 为 满 足 条 件 的 函 数f ( x) axx，其 值 是 同 时 受 a和b 制 约 的 。当 a 取 最 大（ 小 ）值 时， b 不 一 定b取 最 大 （ 小 ） 值 ， 因 而 整 个 解 题 思 路 是 错 误 的 。f (1)a b正 确

3、 解 法由 题 意 有2ab , 解 得 ：f ( 2)2a1 2 f (2)f (1),b2 2 f (1)f (2),33f (3) 3ab16f (2)5 f (1).把 f (1) 和 f ( 2) 的 范 围 代 入 得39916f (3)37 .33在 本 题 中 能 够 检 查 出 解 题 思 路 错 误 ， 并 给 出 正 确 解 法 ， 就 体 现 了 思 维 具 有反 思 性 。 只 有 牢 固 地 掌 握 基 础 知 识 ， 才 能 反 思 性 地 看 问 题 。第 1 页共 17 页 忽 视 隐 含 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例2 】(1) 设、是 方

4、程 x22kxk60 的 两 个 实 根，则 (1) 2(1) 2 的 最 小值 是49(b)8(c)18(d )不存在(a )4思 路 分 析 本 例 只 有 一 个 答 案 正 确 ， 设 了 3 个 陷 阱 ， 很 容 易 上 当 。利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 易 得 ：2k,k 6,( 1)2(1) 2221221() 222()24(k3) 249 .44有 的 学 生 一 看 到49， 常 受 选 择 答 案 （ a） 的 诱 惑 ， 盲 从 附 和 。 这 正 是 思4维 缺 乏 反 思 性 的 体 现 。如 果 能 以 反 思 性 的 态 度 考

5、 察 各 个 选 择 答 案 的 来 源 和 它 们之 间 的 区 别 ， 就 能 从 中 选 出 正 确 答 案 。原 方 程 有 两 个 实 根、， 4k 24( k 6) 0k2或 k3.当 k3 时 ， (1)2(1)2 的 最 小 值 是 8 ；当 k2 时 ， (1) 2(1) 2 的 最 小 值 是 18 。这 时 就 可 以 作 出 正 确 选 择 ， 只 有 （ b） 正 确 。(2)2+y2=1,22已 知 (x+2)4求 x+y 的 取 值 范 围 。错 解由 已 知 得y2 = 4x 2 16x 12 ，因 此 x2 +y 2= 3x 2 16x 12= 3(x+8 )

6、 2 +283，3822282228 当 x= 3时 ， x+y有 最 大 值 3， 即 x+y的 取 值 范 围 是 ( ,3 。分 析没 有 注 意 x 的 取 值 范 围 要 受 已 知 条 件 的 限 制 ， 丢 掉 了 最 小 值 。2y 22y 2事 实 上 ， 由 于 (x+2)+ 4=1(x+2)=1 4 1 3 x 1，第 2 页共 17 页从 而 当 x= 1 时 x2+y2 有 最 小 值 1 。 x2+y2 的 取 值 范 围 是 1,28 。3注 意 有 界 性 ： 偶 次 方 x2 0 ， 三 角 函 数 1 sinx 1 ， 指 数 函 数 a x 0 ， 圆 锥

7、 曲线 有 界 性 等 。 忽 视 不 等 式 中 等 号 成 立 的 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。【 例 3】 已 知 ： a0 , b0 , a+b=1,求 (a+1)2+(b+1)2的 最 小 值 。ab错 解 (a+ 1 ) 2 +(b+1 ) 2=a 2 +b 2+1+1+4 2ab+2+4 4ab1+4=8,aba2b2abab (a+ 1 ) 2 +(b+ 1 ) 2 的 最 小 值 是 8.ab分 析上 面 的 解 答 中 ， 两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a2 +b 2 2ab ， 第 一 次 等 号 成 立 的条 件 是 a=b=1 , 第 二 次 等

8、号 成 立 的 条 件 是 ab=1，显 然 ，这 两 个 条 件 是 不2ab能 同 时 成 立 的 。 因 此 ， 8 不 是 最 小 值 。事 实 上 ， 原 式 = a 2+b 2 + 1+ 1 +4=( a 2 +b 2)+(1+1)+4=(a+b)2 2ab+(1 +a 2b2a 2b2a1 ) 2 2 +4bab1= (1 2ab)(1+ a 2 b2 )+4，由 ab ( ab ) 2=1得 ： 1 2ab 1 1 =1 , 且12 16 ， 1+12 17 ，242222a ba b 原 式 1 17+4=25( 当 且 仅 当 a=b=1 时 ， 等 号 成 立 ) ，22

9、2 (a +1 ) 2 + (b +1 ) 2 的 最 小 值 是 25。ab2 不 进 行 分 类 讨 论 ， 导 致 错 误【 例 4 】 (1) 已 知 数 列 an 的 前 n 项 和 sn2n1， 求 an .错 误 解 法nn1nn 1n 1ansnn 1(21) (21) 222 .s错 误 分 析显 然 ， 当 n 1时 ， a1s1 3 21 11。错 误 原 因 ： 没 有 注 意 公 式 a n snsn 1 成 立 的 条 件 是 。第 3 页共 17 页因 此 在 运 用 ansn sn 1 时 ， 必 须 检 验 n1 时 的 情 形 。 即 ：s1 ( n1)an

10、2, n n )。sn (n(2)实 数 a 为 何 值 时 ， 圆 x 2y22axa21 0 与 抛 物 线 y 21 x 有 两 个 公 共2点 。错 误 解 法 将 圆 x 2y 22ax a210 与 抛 物 线 y 21 x 联 立 ，消 去 y ，1 )x a 22得 x2(2a1 0 (x0).20因 为 有 两 个 公 共 点 ，所 以 方 程 有 两 个 相 等 正 根 ，得 2a10， 解 之 得2a 210.a17 .8（ 如 图 2 2 1； 2 2 2） 显 然 ， 当 a0 时 ， 圆 与 抛 物 线 有错 误 分 析两 个 公 共 点 。yyoxox图2 2图2

11、 2要 使 圆 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 ； 或 有两 个 相 等 正 根 。0当 方 程 有 一 正 根 、 一 负 根 时 ， 得2解 之 ， 得 1 a 1.a1 0.第 4 页共 17 页因 此 ，当 a17 或1 a 1时 ，圆 x2y 22ax a 21 0 与 抛 物 线 y21 x 有82两 个 公 共 点 。思 考 题 ： 实 数 a 为 何 值 时 ， 圆 x 2y22ax a21 0 与 抛 物 线 y21 x ，2(1) 有 一 个 公 共 点 ； (2) 有 三 个 公 共 点 ； (3) 有

12、四 个 公 共 点 ； (4) 没 有 公 共点 。 以 偏 概 全 ， 导 致 错 误以 偏 概 全 是 指 思 考 不 全 面 ， 遗 漏 特 殊 情 况 ， 致 使 解 答 不 完 全 ， 不 能 给 出 问题 的 全 部 答 案 ， 从 而 表 现 出 思 维 的 不 严 密 性 。【 例 5 】(1) 设 等 比 数 列an的 全 n 项 和 为 sn . 若 s3s62s9 ，求 数 列 的 公 比 q .错 误 解 法s3s62s9 ,a1 (1 q3 ) a1 (1 q6 )2a1 (1 q9 ) ，1q1 q1q整理得q3(2q 6q3）0.1由 q0得方程2q 6q310.

13、(2q31)(q 31)0,q34或 q 12。错 误 分 析在 错 解 中 ， 由 a1 (1 q3 )a1 (1 q6 )2a1 (1 q 9 ) ，1q1q1q整理得363）时 ， 应 有a10 和 q1q (2qq。10在 等 比 数 列 中 ， a10 是 显 然 的 ， 但 公 比 q 完 全 可 能 为 1， 因 此 ， 在 解 题时 应 先 讨 论 公 比 q1 的 情 况 ， 再 在 q1 的 情 况 下 ， 对 式 子 进 行 整 理 变 形 。正 确 解 法若 q1 ， 则 有 s33a1, s66a1 , s99a1. 但 a10 ， 即 得s3 s62s9 , 与 题

14、 设 矛 盾 ， 故 q 1.又 依 题 意s3 s62s9a1 (1 q3 ) a1 (1 q6 )2a1 (1 q 9 )1q1q1q第 5 页共 17 页3(2q6q3）0, 即( 231)(q31)0,因 为 q1 ， 所 以 q31 0, 所 以q1q2q310. 解 得q34 .2说 明 此 题 为 1996 年 全 国 高 考 文 史 类 数 学 试 题 第 （ 21 ） 题 ， 不 少 考 生 的 解 法同 错 误 解 法 ， 根 据 评 分 标 准 而 痛 失 2 分 。(2) 求过点 (0,1) 的直线，使它与抛物线y 22x 仅有一个交点。错误解法设所求的过点(0,1)

15、的直线为ykx1，则它与抛物线的交点为ykx11)22x 0. 整理得k 2 x2(2k 2)x1 0.y22x，消去 y 得 (kx直线与抛物线仅有一个交点，0, 解得 k1 . 所求直线为 y1 x 1.22错 误 分 析此 处 解 法 共 有 三 处 错 误 ：第一，设所求直线为 y kx1时，没有考虑 k0 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点， 它包含相交和相切两种情况， 而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与

16、抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0,1) ，所以x 0, 即 y 轴，它正好与抛物线y22x 相切。当所求直线斜率为零时，直线为y = 1 平行 x 轴，它正好与抛物线y 22x 只有一个交点。(0,1)的直线为 y kxykx1一般地，设所求的过点1 (k 0) , 则2，y2xk 2 x2(2k 2)x 10. 令0, 解得 k =1y1 x 1., 所求直线为22第 6 页共 17 页综上，满足条件的直线为：y1,x0, y1 x1

17、.2章节易错训练题1 、 已 知 集 合 m = 直 线 ， n = 圆 ， 则 m n 中 元 素 个 数 是a( 集 合 元 素的 确 定 性 )(a)0(b) 0或 1(c)0 或 2(d) 0 或 1或 22 、已 知 a = x| x 2+ tx+ 1 = 0，若 a r*=，则 实 数 t 集 合 t = _ 。t t2( 空 集 )3 、 如 果 kx 2+2kx (k+2)0恒 成 立 ， 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是 c( 等 号 )(a) 1 k 0(b) 1 k0(c) 1k 0(d) 1k04 、 命 题a : x 1 3 ， 命 题 0， 若 a 是 b 的

18、 充 分 不 必 要 条 件 ，b : ( x 2)( x a )则 a 的 取 值 范 围 是 c( 等 号 )（ a） (4,)（ b） 4,（ c） (, 4)（ d）, 42 logx0 在 (0,1) 内 恒 成 立 ，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 a( 等 号 )5 、若 不 等 式 xa2111(a) 16,1)(b) (1, +)(c) (16 ,1)(d)( 2 ,1) (1,2)( 1)n + 16 、 若 不 等 式 ( 1) na 010 、 已 知 函 数 f( x)=xx ，f (x) 的 反 函 数f 1( x )=。x 102x 2x 1x0 x1x

19、1（ 漏 反 函 数 定 义 域 即 原 函 数 值 域 ）11 、 函 数 f(x ) =log1( x 2 +a x + 2)值 域 为r， 则 实 数a的 取 值 范 围2是 d( 正 确 使 用 0和 0 ,b0 , a+b=1 ，则 ( a + a)+(b+ b)的 最 小 值 是 _ 。25( 三 相 等 )22422、 已 知 x k(kz) ， 函 数 y = sinx +sin2 x的 最 小 值 是 _ 。 5（ 三 相 等 ）23、求y28的最小值。sin 2xcos2x错解1 y282288sin2 xcos2 xsin2 xcos2 x| sin x cos x |1

20、6ymin16.16,.| sin 2x |错解 2y (2sin 2 x) (8cos2x) 1 2 2 2 8 11 6 2.sin 2 xcos2x第 9 页共 17 页错误分析在解法1 中，y16 的充要条件是28且 | sin 2x | 1.sin 2xcos2x即 | tan x |1且 | sin x |1. 这是自相矛盾的。ymin16.2在解法2 中， y1 62的充要条件是2sin 2x且8cos2x，即 sin 2 x2， cos2 x2 2, 这 是 不sin 2 xcos2 x可能的。正确解法 1y2csc2 x8 sec2x2(1cot 2 x)8(1tan 2 x

21、 )102(cot 2 x4 tan 2 x)102 2cot 2 x4tan 2x18.其中，当 cot 2x4 tan 2 x，即 cot 2 x2时， y18. ymin18.正 确 解 法 2 取正常数 k ，易得y(2k sin 2 x)(8xk cos2 x)ksin 2 xcos222k28k k62kk.其中“”取“”的充要条件是2k sin 2 x且8xk cos2 x，即 tan 2 x1 且 k18.sin 2 xcos22因 此 ， 当 tan 2x1 时， y62kk18,ymin18.2n 1n 1( 认 清 项24 、 已 知 a 1 = 1， a n= an 1 + 2(n 2) ， 则 a n= _。 2数 )25 、 已 知 9、 a1 、 a2、 1四 个 实 数 成 等 差 数 列 ， 9、 b1 、 b2、 b3 、 1五个 实 数 成 等 比 数 列 ，则 b2( a2 a1) = a( 符 号 )99(a) 8(b) 8 (c) 8(d)8第 10页共 17页26 、已 知 an是 等 比 数 列 ， s 是 其 前 n 项 和 ，判 断 s ， s s ， s s 成