高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置

1、第四节：直线与圆锥曲线的位置关系一、基本知识概要：1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两组解必相交；一组解时，若化为 x 或 y 的方程二次项系数非零，判别式 =0 时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。2. 弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。3. 当直线的斜率存在时，弦长公式：l1k 2 x1x2 = (1 k 2 ) ( x1 x2 ) 24x1 x2或当 k 存在且不为零时l112

2、y1y2 ，（其中（ x1 , y1 ），（ x2 , y2 ）是交点坐标） 。k抛物线 y 22 px 的焦点弦长公式 |ab|= x1x2 p2 p，其中为过焦点的直sin 2线的倾斜角。4.重点难点 :直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。5. 思维方式 : 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。6.特别注意 :直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。二、例题：【例 1】直线 y=x+3 与曲线 y2x | x |1（）94a。没有交点b 。只有一个交点c。

3、有两个交点d 。有三个交点解：当 x0 时，双曲线 y2x21的渐近线为：y3 x ，而直线 y=x+3 的斜率942为 1，10 因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3 个交点，选 d 思维点拔 注意先确定曲线再判断。【例 2】已知直线 l : ytan(x22) 交椭圆 x 29 y29 于 a、b 两点，若为 l 的倾斜角，且 ab 的长不小于短轴的长，求的取值范围。解： 将l的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 ， 消 去y， 得(19 tan 2)x 2362 tan 2x72 tan 29 0ab1tan2x2x11tan2(19 tan2)6 tan2619 tan2由 ab2

4、, 得 tan21 ,3tan3，333的取值范围是0,5,66 思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l 的方程由 tan 给出，所以可以认定2，否则涉及弦长计算时，还要讨论时的情况。2【例 3】已知抛物线 y 2x 与直线 yk (x1) 相交于 a、 b 两点（ 1）求证： oaob（ 2）当oab 的面积等于10 时，求 k 的值。（ 1）y 2x消 去 x后 ， 整 理 得证 明 ： 图 见 教 材 p127 页 ， 由 方 程 组k (x1)yky 2yk0。设 a( x1 , y1 ), b(x2 , y2 ) ，由韦达定理得y1 y21a, b 在抛物线

5、y 2x 上，y12x1 , y22x2 , y12y22x1x2koay1y2y1y211, oaobkobx2x1x2y1 y2x1（ 2）解：设直线与x 轴交于 n，又显然 k0,令 y0,则 x1，即 n （1，0）s oabs oans obn1 on y11 on y21 on y1y2222s oab1 1( y1y2 ) 24y1 y21( 1) 2422ks oab10,114,110k2解得 k26 思维点拔 本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例 4】在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3 对称

6、，求 k 的取值范围。解设 b、 c 关于直线 y=kx+3 对称，直线 bc方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得：2设 b（ x，y ）、 c（ x ，y ）， bc中点 m（ x， y），则y +4ky-4m=0，112200y0=（ y1+y2）/2=-2k。 x0 =2k2+m，点 m（ x0， y0）在直线上。 -2k （2k 2+m） +3， m=- 2k 32k 3 又 bc与抛物线交于k2k32k 30 即(k 1)(k 2k 3)0 ，不同两点， =16k +16m0把 m代入化简得kk解得 -1k022即 m-k -90设 m （x1， y1）、 n（ x2， y2）xx2km1， mk 29 12k 2922k把代入可解得：k3或 k3直线 l倾斜角,22, 233 思维点拔 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。三、课堂小结：1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提，否则不宜用此法。3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式l1k 2 x1x2 =(1k 2 )(