全等三角形三种证明方法经典例题

1、.全等三角形经典例题典型例题：知识点一：全等三角形判定1例 1：如图， 在 AFD 和 EBC 中，点 A ，E，F，C 在同一直线上， 有下面四个论断： （ 1）AD CB ；（ 2） AE CF；（ 3） DF BE ；（ 4） AD BC。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。思路分析：1）题意分析 ：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定 1 中的三边对应关系。2）解题思路 ：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的 （

2、1）（ 2）（ 3）作为条件，来证明论断（ 4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。解答过程 ：已知：如图，在 AFD 和 EBC 中，点 A ， E， F， C 在同一直线上， AD CB ， AE CF，DF BE 。求证： AD BC 。证明： AE CF AE EF CF EF AF CE在 AFD 和 CEB 中，ADCBAFCEDFBE AFD EBC（ SSS） A C AD BC解题后的思考 ：在运用全等三角形判定 1 判断三角形全等时， 一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明， 另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力

3、，进一步规范了三角形全等证明题的书写。知识点二：全等三角形判定2例 2：已知：如图，OP 是AOC 和BOD 的平分线， OAOC，OBOD 。求证：（ 1） OAB OCD ；（ 2） ABCD 。.思路分析：1）题意分析 ：本题主要考查全等三角形判定2 中的对应关系。2）解题思路 ：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。解答过程 ：证明：（ 1） OP 是AOC 和BOD 的平分线， AOP COP， BOP DOP AOP BOP COP DOP AOB COD在 OAB 和 OCD 中，OAOCAOBCOD

4、OBOD OAB OCD （ SAS）（ 2）由（ 1）知 OAB OCD AB CD解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。例 3：已知：如图， AB CD ，AB CD，求证： AD BC， AD BC思路分析：1）题意分析 ：本题主要考查全等三角形判定2 的应用。2）解题思路 ：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB CD 这个条件。解答过程 ：连接 BD AB CD 1 2在 ADB 和 CBD 中，ABC

5、DABDCDBBDDB. ADB CBD （ SAS） AD BC， ADB CBD AD BC综上： AD BC， AD BC解题后的思考 ：本题中证明三角形全等用到了公共边， 这是解决问题的关键所在； 在解决这类问题时要善于从题目中发现这些重要的隐含条件。例 4：（ 1）在图 1 中， ABC 和 DEF 满足 AB DE，AC DF ， A D ，这两个三角形全等吗？（ 2）在图 2 中， ABC 和 ABD 满足 AB AB ， AC AD ， B B，这两个三角形全等吗？思路分析：1）题意分析 ：本题主要考查应用全等三角形判定 2 判定三角形全等的方法和需注意的问题。2）解题思路 ：

6、在图 1 中， ABC 和 DEF 满足 AB DE ， AC DF， A D，即两个三角形满足 SAS 的条件，所以这两个三角形全等。 （ 2）在图 2 中， ABC 和 ABD 满足 AB AB ， AC AD ， B B ，这两个三角形虽然也有两边和一角相等，但两个三角形的形状、大小完全不相同，所以这两个三角形不全等。解答过程 ：（ 1）全等；（ 2）不全等。解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（ 1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“ SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，

7、这两个三角形不一定全等。在证明题中尤其要注意这一点。小结：本题组主要考查了对全等三角形判定2 的掌握情况， 即两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。另一方面， 也提醒我们要注意两边和一角相等的另外一种情形，即“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不全等。”另外，在证明两个三角形全等时，要注意挖掘题目中的隐含条件如公共边或公共角等。知识点三：全等三角形判定3例 5：如图， BE AE ，CF AE ， ME MF 。求证： AM 是 ABC 的中线。.思路分析：1）题意分析 ：要证明AM 是 ABC 的中线，就要证明BM CM ，要证明线段相等，就要证明与BM 、CM 有关的三角形全

8、等，即BEM CFM ，然后从已知条件中找出能够判断这两个三角形全等的条件。2）解题思路 ：结合已知条件和对顶角相等可由 ASA 来判定 BEM CFM ，从而得出 BM CM ，进而得到 AM 是 ABC 的中线。解答过程 ： BE AE ，CF AE BEM CFM 90在 BME 和 CMF 中，BMECMF ME MF BEM= CFM BME CMF （ ASA ） BM CM AM 是 ABC 的中线。解题后的思考 ：要证明 AM 是 ABC 的中线，需要证明 M 是 BC 的中点，因此，转化为证明 BM CM ，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，

9、结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。知识点四：全等三角形判定4例 6：已知： BC EF， BC EF， A D ， ABF DEC 。求证： AF DC 。思路分析：1）题意分析 ：要证明 AF DC，就要先证明 ABF DEC ，而已知中证明这两个三角形全等的条件是 A D ， ABF DEC ，但还缺少一组边，如何找到这组边呢？根据 BCEF， BC EF，想到连接 BE ，从而证明 BFE ECB，进一步得到 BF EC，再利用 AAS 来判定两个三角形全等。2）解题思路 ：要证明线段相等，我们可以考虑先证明三角形全等，ABF 和 DEC 中有两

10、对角对应相等， 要使它们全等， 只要证得 BF EC 即可。于是连接 BE 证 BFE ECB ，即可证得 BF EC。解答过程 ：连接 BE BC EF FEB CBE在 BFE 和 ECB 中，.EFBCFEBCBEBE=EB BFE ECB （SAS） BF CE在 ABF 和 DEC 中，A D ABFDEC BF=EC ABF DEC （ AAS ） AF DC解题后的思考 ：证明三角形全等是证明线段相等的一种重要方法，解答时要结合图形，分析已知条件与求证的结论，寻找沟通二者的桥梁。例 7：在 ABC 中， ACB 90， ACBC ，直线 MN 经过点 C ，且 ADMN 于 D

11、，BEMN 于 E 。（ 1 ）当直线MN 绕点 C 旋转到图a 的位置时，求证：ADC CEB ；DEADBE ；（ 2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图b 的位置时，求证：DEADBE ；（ 3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 c 的位置时， 试问 DE、 AD、 BE 具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。图 a图 b图 c思路分析：1）题意分析 ：要证明一条线段等于两条线段之和，或证明一条线段等于两条线段之差，就要想这条线段与两条线段之间有何关系，以及两条线段AD 、 BE 与 CE、 DC 之间有何关系。这就需要我们用三角形全等来证明线段相等，从而实现等线段的转化。2

12、）解题思路 ：（ 1） ADMN 于 D ， BEMN 于 E ，又ACB90 ，在 RtADC与 RtCEB 中，直角对应相等，斜边对应相等。又DAC 与BCE 同为ACD 的余角，自然也是相等的，所以可得到ADC CEB 。进一步可推出DEADBE 。（ 2）第（3）问中，与（ 1）的证明思路类似，先证明ADC CEB ，再来证明 DE、 AD、 BE三条线段间的数量关系。解答过程 ：（ 1）ADCACB90 ，CADAC D90 。BCEAC D90 。CADBCE 。.ACBC ，ADC CEB 。图 a ADC CEB ，CEAD, CDBE 。DECECDADBE 。（ 2）ADC

13、CEBACB 90 ，ACDCBE 。又 ACBC ，ACD CBE 。CEAD, CDBE 。DECECDADBE 。图 b（ 3）当 MN 旋转到图c 的位置时， AD、DE、 BE 所满足的等量关系是DEBEAD（或 AD BEDE ， BEADDE 等）。ADCCEBACB90 ，ACDCBE 。又 ACBC ，ACD CBE 。ADCE， CDBE 。DECDCEBEAD 。图 c解题后的思考：在运动变换问题中， 不管运动变换前后的图形、 结论是否发生变化， 解题的基本思路不变，一般情况下，运动前的解题思路及方法是为解答运动后的相关问题作铺垫。小结： 本题组主要考查如何运用全等三角形

14、判定 4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 以及在运动变换问题中如何准确地运用三角形全等实现等线段的转.换。知识点五：全等三角形判定5例 8：已知：如图 AD 为ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于 F ，且有 BFAC ，FDCD 。求证： BEAC 。思路分析：1）题意分析 ：要证 BE 垂直于 AC ，需证BEC90，由题意可知 12 90 ，若能证明 1C90 ，就可得 BE 垂直于 AC ，这就要证C2。这可由已知条件证明 ACD BFD ，便可知C2 。再由 1 2 90和 1 2 BEC 180，得到 BEC 90。从而得到 BEAC 。2）解题思路 ：运用直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明ACD BFD ，进一步得到C2 。解答过程 ：证明：ADBC ，BDAADC 90。在 Rt ACD 和 Rt BFD 中，ACBF ,CDFD