人教版八年级上册数学《13.4 课题学习 最短路径问题》教学课件

1、,13.4 课题学习 最短路径问题,我们以前学过哪些线段最短的问题？,1.两点间线段最短；,2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。,通常把以上两个问题称为“最短路径问题”，今天，我们来学习新的最短路径问题！,一、饮马问题,如图，牧马人从马棚A牵马到河边 l 饮水，然后再到帐蓬B问：在河边的什么地方饮水，可使所走的路径最短？,分析：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在直线 l 的什么位置时，AC +CB 的和最小？,联想,如图所示，点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点

2、B的距离的和最短？,两点之间，线段最短.,连接AB，与直线l相交于一点，这个交点即为所求.,思考：能把A、B两点从直线 l 的同侧转化为异侧吗？,分析：,作法及思路分析 1.作点 B 关于直线 l 的对称点 B ，连接CB。,3.连接AB两点，线段AB与直线 l 的交点C 的位置即为所求。,2.由上步可知 AC + CB = AC + CB，即把A、B 两点从直线 l 的同侧转化为异侧。,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC= AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,在ABC中， AB

3、 AC+BC， AC +BC AC+BC 即AC +BC 最短,你能用所学的知识证明AC +BC 最短吗？,归纳,提示：本题也可作A点关于直线l的对称点,变式练习1 如图，牧马人要把马从马棚A牵到草地边吃草，然后到河边饮水，最后再回到马棚A.,问题：请你确定这一过程的最短路径.,如图，在l1、l2之间有一点A,要使AM+MN+NA最小,点M、N应该在 l1、l2的什么位置 ?,转化为数学问题,分别做点A关于l1、l2的对称点A 、 A ，连接A 、 A与l1、l2的交点M、N即为所求。,变式练习2 如图：某一天牧马人要从马棚A牵出马到草地边吃草，再到河边饮水，最后回到帐篷B，请你帮他确定这一天

4、的最短路线。,如图，在l1、l2之间有点A、B,要使AP+PQ+QB最小,点P、Q应该在 l1、l2的什么位置 ?,转化为数学问题,分别做点A、B关于l1、l2的对称点A 、 B ，连接A 、 B与l1、l2的交点P、Q即为所求。,A,(3)两点在两相交直线内部,2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化，从而利用“两点之间，线段最短”来解决。,(2)一点在两相交直线内部,(1)两点在一条直线同侧,1.学了三种情况下的最短路径问题,如图所示，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,二

5、、造桥选址问题,当点N在直线b的什么位置时，AM + MN +NB最小？,由于河岸宽度是固定的，因此当 AM + NB 最小时，AM + MN +NB最小.,将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M移到点N，点A移到点A，则AA = MN，AM + NB = AN + NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时， AN+NB最小？,连接AB与b相交于N，N点即为所求.,1.作图在直线l上找一点C，使AC+BC最小.,.,.,A,B,(1),.,.,2.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线.,解：如图AP+AB即为最短的放牧路线.,3. 如图，M、N分别是ABC的边AB、AC上的点，在边BC上求作一点P，使PMN的周长最小.,解：如图，作点M关于BC的对称点M，连接MN，交BC于点P，则PMN的周长最小.,4.如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最大，请说明理由.