双曲线及其标准方程教学设计

1、2014 年河南省高中数学优质课大赛人教 a 版 选修 1-1双曲线及其标准方程教学设计鹤壁高中乔肖燕2014 年 14 月课题：双曲线及其标准方程授课人：河南省鹤壁市鹤壁高中乔肖燕2014年 4 月【教材内容分析】本节课是高中数学选修1-1 第二章第二节第一课时的内容， 前面有椭圆知识及学习方法的铺垫，后面有抛物线学习的延续，有利于学生掌握和巩固. 三种圆锥曲线中，双曲线是最复杂的一种 . 但本节课的知识难度不是很大，比较易于学生理解和掌握 .【学情分析】知识结构分析：学生刚刚学习过椭圆，对椭圆有了系统的认知和了解，从定义到方程，从方程到性质，从性质到应用. 双曲线虽然和椭圆不同，但研究方法

2、是类似的，所以双曲线的学习可以说是轻车熟路，但是，教师要引导学生关注椭圆与双曲线的区别和联系 .能力体系分析：本章对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱点，因此在教学过程中在培养学生逻辑推理能力、 转化与划归能力的同时需着重关注学生的运算能力 .【教学目标】通过双曲线轨迹的探索过程，体验双曲线的特征，探求总结双曲线的定义；通过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；通过对双曲线概念和标准方程的探索，培养学生的观察和分析能力，激发学生探究事物运动规律，进一步认清事物的本质特征的兴趣.【教学重点】双曲线的定义；双曲线标准方程的两种形式.【教学难点】双曲线标准方程的推导方法及化简过

3、程.【教具准备】多媒体投影仪，几何画板动画【教学方法】采用启发、探究式教学 .【教学环节】教 学教学内容师生活动环 节回顾初中时学( 一)习过的反比例函创数的图像；教师引入，学生回忆初中所学设观察电厂的冷内容；情却塔图片，它的轴多媒体展示图片，学生观察，境截面的外轮廓就实物感知双曲线的形状 .，是双曲线的一部教师引入课题，告知学生本节感分.课的学习目标、学习重点和学习知难点 . 这一段可由一名学生代表图阅读 .形教师手动演示双曲线的形成过双曲线是如何程，先演示靠近 f 2 的一支，由学形成的？可以如何给双曲线下定生总结动点特征 :义？借助经典的mf 1 mf 2 常数 .( 二)拉链动画，引导

4、学并解释为什么有这样的特征 :动生总结动点在运画动过程中的特征，随着拉链的闭拢和拉开，两条线演从而引入双曲线段减小或增加的量相等，所以差示的定义 .值始终是同一个常数 .，再演示靠近 f1 的那一支，仍引入然由学生总结特征 :定mf 2 mf 1 常数 .义接着，强调以上两个常数是相等的，两支曲线合在一起叫做双曲线，引导学生把两个式子合二为一 : mf 1 mf 2常数.并把数学式子转化成自然语言，概述双曲线的定义：平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. ( 此处暂时不说常数的范围.)设计意图通过学生熟悉的知识以及生活中的实例让学生感知双曲线的形状，这样的两个例子简单

5、、生动，学 生 易 于 接受 .充分调动学生的积极性，突出学生的主体地位，并且通过总结特征提高学生的语言表达能力，对图形的认知能力 .学生概述定义时往往会漏掉 常 数 的 范围，这个问题暂时保留，下一个环节来解决。保留常数的范 围 这 一 问题，由学生自己发现，方能印 象 更 加 深刻 .教 学教学内容师生活动设计意图环 节( 三)剖析定义，夯实基础剖析定义中的要点： “平面内”三个第一点教师做提醒；字容易漏掉，去掉后第二点要点拨学生去掉 “绝不严谨；对值”三个字后点的轨迹会是学生的表达 由 学 生 发 现什么，学生慎重考虑后应该能往 往 不严 谨 ，“绝对值”三个字的够找到正确答案 : 去掉

6、绝对值“平面内”这重要性；后轨迹变成了双曲线的一支 .三个字是很容 常数 是不是像之后教师提醒学生做题时需易被忽略的，椭圆中一样有范围限注意这一点；所以教师要强制？如果有的话，是第三点由学生分组去讨论，调 . 第二 点 学什么？为什么？然后派代表说明本组的讨论生略作思考，刚才给出定义时结果，直至解决问题 , 得到结就能够意识到没有 加上 常数的范论：这三个字的重围，定义叙述不完整，常数等于 f1f 2 时，点的要性；第三点所以现在要对定义进对学生而言最行补充，确保定义的轨迹是直线 f1f 2上以 f1、 f 2为困难，如果严谨性 . 最终双曲线强 硬 给 出 的的定义为：为端点向外的两条射线；

7、话，学生被动平面内到两个定常数大于 f1f 2 时，点的接受，不利于学生的理解和点 f1、 f 2 的距离的差掌握，所以我轨迹不存在；的绝 对值 等于常数采取小组讨论（小于 f1 f2 ） 的点的常数等于 0 时，点的轨迹的做法，由学生自己得出范是线段 f1f2 的垂直平分线 .轨迹叫做双曲线 . 两围，加深学生个定点叫做双曲线的以双曲线和椭圆作比较， 两对 范 围 的 理焦点，两焦点间的距类曲线中 a 和 c 的大小关系不解 .离叫 做双 曲线的焦同，在椭圆中， ac 0, 而在距. 通常情况下，焦距用 2c 表示，常数用双曲线中， c a0.要提醒学2a 表示，显然这里有生注意 .2c2a

8、0.回顾椭圆的标准方程的推导步骤，推导双曲线的标准方程 . 标准方程为x 2y21 .a 2b 2其中 a0, b 0.学生刚刚学习过椭圆， 对椭圆的标准方程的推导过程印象比较深刻，用同样的步骤推导双曲线的标准方程：建系以直线 f1f2 为 x 轴，线段f1f2 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系 .设点设双曲线上任意一点m 坐标 为 ( x, y) ， 焦 距为 2c, 则( 四)类比椭圆，推导方程椭圆的标准方程有两种，双曲线的方程在推导时也可以换一种建系方式，得到另一种形式的方程：y 2x2a2b21.其 中 a0,b 0.两种形式的标准方程，应该如何判断焦点所在轴？学生思考并做答：在

9、等式右边是 1 或其它正常数时，焦点在系数为正数的轴上 . 这与椭圆判断焦点所在轴 的方 法也不一样，同样要给学生强调 .f1( c,0), f2 (c,0). 常 数 记 为2a .写出限制条件mf 1mf 2 2a.列出等式( x a) 2y 2(x a)2y22a.化简这一步由学生自己动手完成，并且找一个学生演板，最终化简为x 2y21a2c 2a2像椭圆一样，为了使双曲线方程的形式更加简洁， 结合ca0, 可设 c2a2b2 , 其中 b 0 ( 意义讲性质时再涉及 ). 于是双曲线的方程可化为 x 2y21. 这就是焦点在a 2b2x 轴上的双曲线的标准方程，焦点坐标为 f1 ( c

10、,0), f2 (c,0).双曲线与椭圆标准方程中a、b、c 的关系不同，要给学生强调，这也是今后在做题过程中学生易混淆的地方 .培养学生的运算能力 .通 过 双 曲线与椭圆的对比，学生可以加深对两种曲线的理解 .( 五)例题讲解例 1、已知双曲线的焦点 f1( 5,0), f2(5,0), 双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值等于 8，求双曲线的标准方程 .对例题的条件进行修改，得到如下三个变式训练：1、已知 f1 (0, 5), f2(0,5), 动点 p 满足pf1pf28. 求点p 的轨迹方程 .2、已知 f1 ( 5,0), f2例 1 难度系数不大，给学生适当的时间，自己去做，一

11、般情况下学生会在练习本本 节 课 的 重 点上直接写出本题的 正确 答就 是双 曲线的定案，所以教师要通过投影给义及标准方程，而出规范的解题步骤 .定 义中 的要点一三个变式均是对定义的考是绝对值，二是常查，如果学生对定义中的要数的范围，设计例点理解到位，就可以顺利地1 就是要使学生正把三个变式求解出来 .确把握定义，正确教师要强调双曲线的一支理解定义 .方程和变式训练3 中两条射线的方程应如何表示，这是易错点 .，学以致用(5,0), 动 点 p 满 足例 2 让学生演pf1 pf2 8. 求点例 2 较之例 1 难度略大，板，体现了学生在计算量也稍大，所以要给学课 堂上 的主体作p 的轨迹

12、方程 .生充分的思考时间 . 这道题用，两种方法的对3、已知 f1 ( 5,0),f2由两个学生演板，一般情况比 会让 学生明白下学生会利用 c 6 和双曲线解 题时 技巧的重(5,0), 动点 p 满足过点 m (2,5) 列方程求解，这要性，从而引导学生 在日 常学习中pf1 pf2 10.求一方法思路自然，运算较繁；一 定要 多动脑思有些数学程度较好并且善于考，不止为做题而点 p 的轨迹方程 .思考的同学会想到利用定义做题，一道题目有求出 mf1 mf 2 , 即 2a ，多种解法时，可权衡 一下 哪一种解例 2、已知双曲线再利用 c6 即可求出 b, 从而法 更有 利于节省的焦点 f1

13、( 0, 6), f2时间，提高效率 .双曲线的方程得以求出，这(0,6), 且经过点m一方法相对来讲计 算量 较小，而且紧扣本节课的学习重点 . 要给学生强调定义的(2, 5). 求双曲线的标重要性 .准方程 .( 六)课堂练习，沙场练兵1 、已知双曲线的焦点 在 坐 标 轴 上 ，a 7, b 3. 则双曲线的标准方程为 .2、 过 双 曲 线x 2y2教师通过投影打出三道题41 左 焦 点3目，学生自己审题，动手计f1 的直线 交双曲线算 . 然后教师提问学生回答自己计算得到的答案 :的左 支于 m 、 n 两1 、 x 2y2点， f2 为其右焦点，1或499mf 2nf 2 mny2

14、x 21.499的值等于.3 、在 abc 中，b2 、8.(4,0), c ( 4,0), 动 点3 、 x2y21( x 2).a 满足 sin b sin c4121 sin a. 则 动 点 a2的轨迹方程为.学生动手去做，通 过学 生的做题状 况教 师能够看出 学生 对本节课知 识点 的掌握情况，三道练习题由浅 入深 ，层层深入，使学生体会到学 习的 快乐和收获 .第 3 题稍有难度，用到了正弦定理，有些学生可能会 不明 白为什么要有 x2, 这一点涉 及到 双曲线的性质，正好为学习双 曲线 的性质做铺垫 .( 七)由学生自己总结本节课的课收获：堂双曲线的定义；学生总结，加深小请同学

15、们回顾本节双曲线的标准方程的两理解，印象深刻，结课我们所学习的主要种形式；形 成学 生自己的，内容 .双曲线标准方程的求解认知结构 . 突出重整方法 .点，抓住关键，培理学生叙述不完整或不准确养 学生 的概括能收的地方，教师予以补充或纠力 .获正，同时提醒学生要牢记定义.( 八)课后课本第48 页练习检 验 学 生 课 内作1、 2；的掌握情况，并让业课本第54 页习题学生明白，学习不，2.2a 组 1、2；课下独立完成，同学之间交流仅 仅是 课堂上的及自 己动 手制 作表事，课下的时间自时格，列出椭圆与双曲己要合理支配，科反线的区别和联系 .学安排 .馈双曲线及其标准方程一、双曲线的定义学生演板：投mf1mf2常数 .双曲线标准方程的推导附：影mf2mf1常数 .板即 mf1mf 2常数.学生演板（两名学生）：书仪设二、双曲线的标准方程例 2 的求解过程计大x 2y21.a 2b 2屏y2x 21.a2b2幕其中， a0, b0.【教后心得】本章教材中的设计与老教材基本上没有太大变化，可以说，任何一个有几年教龄的高中教师，对本节课都是比较熟悉的，可是，要想讲好这堂课，还是需要花费很大功夫 . 本节课我自认为有可取之处，简述如下：课堂效果不错， 学生热情高涨， 能积极主动地思考并回答问题，和老师配合得很好；在讲