常微分方程解法.ppt

1、第九章 常微分方程数值解 /* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h

2、 (常数)。,1 欧拉方法 /* Eulers Method */, 欧拉公式：, 欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度。,Ri 的主项 /* leading term */,亦称为欧拉折线法 /* Eulers polygonal arc method*/,例9.2：用欧拉公式求初值问题的近似解 在区间【0，1】内，y=Ry, y(0)=y0 , 且R为常数。,解：由欧拉公式得：,故方程解为：,故方程解为：,（10）,例9.3：设存入1000美元，且在5年连续地得到10的复利，求在5年后值为多少?,解：用欧拉方法和h=1,1/12,1/360 计算初值问题在0，5上的近似值y(5)

3、:,由公式（10）得：, 欧拉公式的改进：, 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */,由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。, 隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。,Hey! Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method ? Seems that we can make a good u

4、se of it , 梯形公式 /* trapezoid formula */, 显、隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。, 中点欧拉公式 /* midpoint formula */,假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 /* double-step method */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step method */。,简单,精度低,稳定性最好,精度低

5、, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?,Do you think it possible?,Well, call me greedy,OK, lets make it possible., 改进欧拉法 /* modified Eulers method */,Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出,2 休恩方法 /* Eulers Method */,注：此法亦称为预测-校

6、正法 /* predictor-corrector method */。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,3 泰勒级数法,定理9.5（泰勒定理）：设 ，且 有在固定值 处展开的N次泰勒级数：,其中：,表示函数f(x)关于x的j-1次全导数。,求导公式可以递归计算：,且，一般有：,其中P为导数算子：,n次泰勒方法的一般步骤为：,n次泰勒方法具有n阶精度。,4 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi

7、 ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率 一定取K1 K2 的平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注

8、意到， 就是改进的欧拉法。,Q: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。, 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：, 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步长h 取小。,4 线性多步法 /* Multistep Method */,用若干节点处的 y 及 y 值的线性组合来

9、近似y(xi+1)。,其通式可写为：,当 10 时，为隐式公式; 1=0 则为显式公式。, 基于数值积分的构造法, 亚当姆斯显式公式 /* Adams explicit formulae */,Newton 插值余项,/* 显式计算公式 */,局部截断误差为：,例：k=1 时有,注：一般有 ，其中Bk 与yi+1 计算公式中 fi , , fik 各项的系数均可查表得到 。,Misprint on p.204, 亚当姆斯隐式公式 /* Adams implicit formulae */,小于Bk,较同阶显式稳定, 亚当姆斯预测-校正系统 /* Adams predictor-corrector system */,Step 1: 用Runge-Kutta 法计算前 k 个初值；,Step 2: 用Adams 显式计算预测值；,Step 3: 用同阶Adams 隐式计算校正值。,注意：三步所用公式的精度必须相同。通常用经典Runge-Kutt