8-3-4静电场高斯定理、环路定理

1、8-3 静电场中的高斯定理,8.3.1、电场线（E线、电力线）,1、电场的分布,（1）点电荷；,（2）电偶极子；,（3）无限大带电平面,2、电场线：为了形象地描述电场的分布而引入的一系列曲线，曲线上各点的切线方向与该点的场强方向相同。,（1）点电荷电场中的电场线,（2）电偶极子电场中的电场线,（3）无限大带电平面电场中的电场线,（1）曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向相一致；,3、电场线（E）线的特点:,（2）电场线起始于正电荷，终止于负电荷，不形成闭合曲线；,（3）任何两条电场线不会相交。,按照电场线的规定所作出的电场线只能定性描述电场的分布，而无法反映场强的大小。,4、电场线数密度：垂

2、直穿过单位面积的电场线数,均匀电场：,电场线数密度,非均匀电场：,电场线数密度,规定：,电场线数密度等于场强大小,即,均匀电场：,非均匀电场：,为了反映场强大小分布，可利用电场线的疏密程度来反映 。密、强；疏、弱。,因为通过面积S和通过面积S的电场线数相等,所以通过面积S电场强度通量为,8.3.2 电场强度通量（电通量）：,电场中，通过某面积的电场线数称为通过该面积的电场强度通量，用 表示。,1、均匀电场中，通过面积S的电场强度通量,（1）面积S与场强E垂直,因为电场均匀，,（2）面积S与场强E不垂直，成 角,或者说，通过s的电场强度通量等于场强在s法线方向上的分量与s的乘积。,说明: 通过s

3、的电场强度通量等于s在垂直于场强方向上的投影面s与场强的乘积。,2、在非均匀电场中，通过任意曲面S的电场强度通量。,(1) 取面元ds，通过ds的电场强度通量为,(2) 通过任意曲面S的电场强度通量为,若曲面S为闭合曲面,则,法线方向的规定：闭合曲面上各点的法线方向垂直向外为正方向。,分析：,A点处，场线穿进，,B点处，场线穿出，,C点处，场线与表面向切，,、电场强度通量的常用表示,引入面元矢量,大小：ds,方向：,为面元法线方向,则,8.3.3 真空中的高斯定理,、求几种情况下的电场强度通量,（）包围点电荷球面的电场强度通量,方向：沿半径向外。,球面上：,球面上取面元,通过球面的电场强度通量

4、,S,通过球面的电场强度通量,即,静电场是有源场,结果表明：,若q0,，电场线穿出。,若q0,，电场线穿进。,表明静电场线起始于正电荷，终止于负电荷。不形成闭合曲线。表明静电场是有源场。,（）包围点电荷，任意闭合曲面的电场强度通量,S1,S2,在S内、外取球面S1、S2,说明：与S的形状无关。,（3）不包围电荷，任意闭合曲面的电场强度通量,说明：闭合曲面外的电荷对通过闭合曲面的无贡献。,、真空中的高斯定理,设点电荷系有个点电荷所组成。,在点电荷系的电场中，取闭合曲面（高斯面）。,其中有个点电荷在内，有（）个点电荷在外。,取面元,结论：真空中穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该闭合曲面内电荷代数

5、和的1/0倍。,即,真空中高斯定理的数学表达式,若电荷连续分布，,则,注意：,（1）式中,，是所有电荷所产生。S内、S外。,（2）式中电荷求和（积分），只对s内的电荷求和（积分）。,（3）高斯定理是电磁场的基本定理之一。说明静电场是有源场，发散场。,8.3.4 高斯定理的应用（求场强）,分析：,1、巧取高斯面（充分利用对称性）。,2、能方便的求出s内的电荷。,记,(S所围的带电体),例8-5 求：均匀带电球面的电场。,当0 r R时，q=0,解：, 电场分布具有球对称性。, 取以r为半径的球面S为高斯面,根据高斯定理,高斯面S, E = 0,均匀带电球面内场强处处为零,当R r 时，q=q,与

6、点电荷的电场分布相同,r 0 E 。,讨论：点电荷的电场 r E0;,解：,例题 半径为R 的介质球，均匀带电q (q 0 ),电容率为，求：此带电球的电场。, 电场分布具有球对称性。, 取以r为半径的球面S为高斯面,当0 r R时，,根据高斯定理,均匀带电球体内场强与半径 r 成正比,当R r 时，q=q,R,o,讨论：,r0时，E0,r时，E0,（1）当r R时，,例8-6 半径为R,无限长均匀带电直圆柱体，电荷体密度为，求其内外的电场。,解：, 电场分布具有柱对称性。, 以柱体轴线为轴线，取以r为半径，高为h的闭合柱面S为高斯面。,根据高斯定理,均匀带电直圆柱体内的场强与半径 r 成正比

7、。,（2）当r R时，,高斯面S,高斯面S,讨论：,r0时，E0,r时，E0,均匀带电圆柱体电场强度分布曲线,例8-7 求电荷面密度为的无限大均匀带电平面的电场。,无限大均匀带电平面的电场是均匀场,解：, 电场分布具有面对称性。, 垂直穿过带电平面底面为S高为2r的闭合柱面S为高斯面。,求：两无限大均匀带电平面，带等量异号的电荷，平行放置时的电场。,两板之外：,E = 0,两板之间：,方向：正板指向负板,记,作业：8-2 8-3 8- 6 8-7,8.4.1 静电场的环路定理,1、静电场力作功的特点,（1）点电荷的电场,当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，说明静电场具有能量。环路

8、定理就是从能量的角度来讨论静电场的性质。,元功：,当q0由ab, 总功为,b,8-4 静电场的环路定理 电势,结论：静电力作功与路径无关。说明静电场力是保守力，静电场是保守场。,（2）任意静电场,元功：,总功：,2、静电场的环路定理,静电场力是保守力,q00 ,结论：静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（环流）等于零。该结论称为静电场的环路定理（环流定理）。,说明静电场是保守场，是无旋场。,或者说将单位正电荷绕任意闭合路径一周静电场力所作的功等于零。,Wb q0 在b点的电势能。,若 Wa q0 在a点的电势能;,8.4.2 电势能,静电场力作功与路径无关，仅与始末位置有关，位置确定做功本领确

9、定，因此可以引入势能的概念，称为电势能。,1、电势能,q0,电场中，将q0由ab,电场力的功为,静电场力是保守力，保守力的功等于势能增量的负值。,则,若取b点 Wb=0 ,则,物理意义：,q0 在电场中a点的电势能，等于将q0由a点移到零势能点静电场力所作的功。,比较EP=mgh,若取b点为无穷远 ，则 Wb=W=0 ,则,物理意义：,电场中,q0 在a点的电势能，等于将q0由a点移到无穷远点静电场力所作的功。,电势能的单位：,焦尔 J,8.4.3 电势,由上式,但,电势的定义：,物理意义：,（2）电场中a点的电势，等于将单位正电荷由a点移到无穷远点静电场力所作的功。,（1）电场中a点的电势，

10、等于单位正电荷在该点所具有的电势能。,电势的单位：,焦尔/库仑,伏特 V ,1V=1JC-1,记,8.4.4 电势差,Ub,Ua,电势差 Uab=Ua - Ub,即,可见Ua是与U= 0点的电势差。,反映了电场中ab两点间的能量之差,一般取大地为电势零点，电子仪器取外壳为电势零点,电场中 a b 两点的电势差，等于把单位正电荷从a 点搬移到 b 点电场力所做的功。,记,8.4.5 电场力的功,电场中，把电荷q由a移到b，电场力所作的功为,讨论：,（1）Aab 0 ,电场力所作正功，q由高点势移向低电势。,说明：电场力所作正功，q的势能减小。,比较重力作功。,（2）Aab 0 ,电场力所作负功，

11、q由低点势移向高电势。,说明：非静电场力（外力）作功，q的势能增加。,低处的物体移向高处。,（3）Aab = 0 ,电场力不作功，ab两点电势相等，势能无变化。,在同一高度上移动物体。,1、 电场力的功,2、电子伏：能量单位，电子经过1伏的电势差所获得的能量。,1eV=1.60210-19（J）,3、电势的计算 电势叠加原理,（1） 点电荷的电势,略去下标：,记,点电荷的电场中电势的特点：,以r为半径的球面上各点的电势相等。,构成等势面。,q0 , u0 ,u=0 ;,q0 , u0 ,u=0为最大值。,（2）点电荷系电场中的电势、电势叠加原理,结论：点电荷系电场中某点的电势，等于各个点电荷单

12、独存在时在该点电势的代数和，该结论称为电势叠加原理。,若电荷是连续分布带电体。,（1）电荷元dq在p点的电势为,（2）带电体在p点的电势为,讨论：,例 8-8 求带电量为q，半径为R的均匀带电球面内外的电势,解：已知均匀带电球面的场强为,则球内一点的电势,说明：均匀带电球面为等势面，球面内和球面上的电势相等为等势区。,球面外一点的电势,与点电荷的电势相同,电势分布曲线,场强分布曲线,可见均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,如何用电势叠加原理求均匀带电球面的电势？,2、解法二 叠加法,2、解法二 叠加法,解：,在处取半径为a=Rsin，宽为

13、dl=R d的带电环为电荷元。,dq=2adl=2 R2 sind,dq的电势,dq=ds,讨论：,（ x = r）,作业：8-8 8-9,例 8-9 求半径为R，电量为 q 的均匀带电圆环轴线上一点的电势。,x,解：圆环的线电荷密度为,圆环上取电荷元,dq在p点的电势为,讨论：当 x = 0 时，,环心处的电势,当 x R 时，,象点电荷的电势,以上是用点电荷电势叠加求电势，也可以用电场力作功的方式求电势。,另解：已知圆环轴线上的场强为,作业：8-8 8-9,请计算,第八章 静电场和恒定磁场的性质,一、基本要求,1、理解电场的规律：高斯定理和环路定理，理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。,2、掌握静电场的电势的概念与电势叠加原理，掌握电势与电场强度的积分关