第6次课随机变量的函数分布.ppt

1、第三章 多维随机变量及其分布,概率论与数理统计,3 条件分布,对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。 先从二维离散型随机变量开始讨论。 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布率为,考虑二维离散型随机变量的条件概率,上述条件概率具有如下性质:,定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若,二维离散型随机变量的条件概率,例1 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以Y表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知(X,Y)具有分布律：

2、,求在X=1的条件下，Y的条件分布律；求在Y=0的条件下，X的条件分布律。,解 在X=1的条件下，Y的分布律为 在Y=0的条件下，X的分布律为,考虑二维连续型随机变量的条件概率,二维连续型随机变量的条件概率,4 相互独立的随机变量,设F(x,y)及FX(x),FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对所有x,y有 PXx,Yy=PXxPYy 则称随机变量X和Y是相互独立的。 等价命题有 F(x,y)=FX(x)FY(y) f(x,y)=fX(x)fY(y) PX=xi,Y=yj=PX=xiPY=yj i,j=1,2, ,随机变量的独立性,例设X和Y是两个互相独立的随机

3、变量,其概率密度分别为,其中l0, m0是常数. 引入随机变量,(1)求条件概率密度,(2)求Z的分布律和分布函数.,解: (1)由独立性知,(2),Z是离散型随机变量,其分布函数为:,作业 设随机变量(X,Y)的概率密度为 其中G是由0 x2,0yx2围成的区域。求： 系数A；fX(x),fY(y)；fX|Y(x|y), fY|X(y|x)。,5 两个随机变量的函数分布,Z=X+Y的分布,考虑离散型随机变量X与Y的和,显然,它也是离散随机变量,记作Z: Z=X+Y. 变量Z的任一可能值zk是变量X的可能取值xi与变量Y的可能取值yj的和: zk=xi+yj. 但是,对于不同的xi及yj,它们

4、的和xi+yj可能是相等的.所以按概率加法定理,有:,这里求和的范围是一切使 xi+yj = zk 的i及j的值; 或者也可以写成:,这时的求和的范围是一切i值; 若对于某个i,数zk-xi不是Y的可能取值,则规定p(xi,zk-xi)=0,同理可得,若X与Y独立,则,例:设随机变量X与Y独立,并且都服从二项分布:,求它们的和Z=X+Y的概率分布.,解: X与Y的分布律分别是:,显然,随机变量Z=X+Y的所有可能取值为:0,1,2,3,4. 由上述公式得:,所以,Z=X+Y的分布律为:,Z=X+Y的分布,上式两边对z微分,得z的概率密度为:,同理可得,Z=X+Y的分布,例1 设X和Y是两个相互

5、独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，其概率密度为 求Z=X+Y的概率密度。,例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联连接，设R1，R2相互独立，它们的概率密度均为 求总电阻R=R1+R2的概率密度。,例:设随机变量X与Y独立,并且都在区间-a,a上服从均匀分布,求它们的和Z=X+Y的分布.,解: X与Y的概率密度分别是:,由公式得:,作积分变换: z-x=t ,得:,分四种情况讨论: (1)当z-2a时,积分限z-a及z+a都小于-a;被积函数在积分区间上等于零,因此积分等于零,也就是fZ(z)=0; (2)当-2az0时,我们有 -3az-a-a, -az+aa 把积分区间分成子区间z-a, -a及-a, z+a.被积函数在第一个区间上等于零,在第二个区间上行于1/2a;所以,(3)当0z2a 时,我们有 -az-aa, az+a3a 把积分区间分成子区间z-a, a及a, z+a.被积函数在第一个区间上等于1/2a,在第二个区间上行于零;所以,(4)当z2a 时,积