信号与系统吴大正第四章作业第三章作业

1、信号与线形系统（第四版）吴大正主编第三章课后习题：3.1试求下列各序列的差分，和。(1) 解:由题意的前向差分后向差分(2) 解:由题意的前向差分后项差分3.2 求下列其次差分方程的解(1) 解:方程的特征根，所以带入得: 所以解为(2) 解:方程的特征根，所以带入得: 所以解为: (3) 解:方程的特征根，所以带入得所以解为(4) 解:方程的特征根，所以带入得所以解为3.3求下列齐次差分方程的解。(1) 解:差分方程的特征方程为解得特征根其齐次解为代入初始值，解得所以其次方程的解为(2) 解:差分方程的特征方程为解得特征根方程的齐次解为代入初始值解得齐次方程的解3.4 求下列差分方程所描述的

2、LTI离散系统的零输入响应(1) 解:零输入响应满足 方程的特征方程解得则齐次解为代入初始值解得离散系统的零输入响应为(2) 解:零输入响应满足方程的特征方程解得则齐次解为代入初始值解得离散系统的零输入响应为(3) 解:零输入响应满足方程的特征方程，解得则齐次解为代入初始值解得离散系统的零输入响应为3.5 一个乒乓球从离地面10m高处自由下落，设球落地后反弹的高度总是其下落高度的，令表示其第次反弹所达到的高度，列出其方程并求解。解:由题意的，所以解得代入初始值得所以3.6求下列差分方程所描述的LTI离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。(1) 解:零输入响应满足解得，代入初始值得所以系统的

3、零状态响应满足令得方程的齐次解为设其特解为解得所以所以方程的零状态响应为离散系统的全响应为(2) 解: 零输入响应满足解得，代入初始值得所以系统的零状态响应满足方程的齐次解为设其特解为解得所以所以方程的零状态响应为离散系统的全响应为(3) 解: 零输入响应满足解得，代入初始值得所以系统的零状态响应满足方程的齐次解为设其特解为带入零状态响应方程得所以 得所以方程的零状态响应为离散系统的全响应为(4) 解: 零输入响应满足特征方程为得代入初始值解得所以系统的零状态响应满足方程的齐次解为其特解为解得所以方程的零状态响应为离散系统的全响应为(5) 解: 零输入响应满足特征方程为得代入初始值解得所以系统

4、的零状态响应方程的齐次解为设其特解为带入零状态响应方程得解得所以方程的零状态响应为离散系统的全响应为3.7下列差分方程所描述的系统，若激励，求各系统的稳态响应。(1) 解设其特解为带入差分方程有所以解得所以稳态响应为(2) 解：由时不变形得3.8(1) 解:单位序列响应满足设 由系统的是不变性知当时，解得当时，方程的齐次解为代入初始值得 所以所以系统的单位序列响应为(2) 解:单位序列响应满足当时 当时 可得差分方程的特征根为 所以方程的解代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应为(3) 解:单位序列响应满足当时当时 可得差分方程的特征根为 所以方程的解代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应

5、为(4) 解:单位序列响应满足当时当时 可得差分方程的特征根为所以方程的解代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应为(5) 解:单位序列响应满足当时当时 可得差分方程的特征根为所以方程的解代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应为3.9求题3.9图所示各系统的单位序列响应。(1)解：根据框图可得单位序列响应满足当时差分方程的特征根为所以方程的解代入初始值得所以系统的单位序列响应为(2)解：根据框图可得单位序列响应满足令当时 可得差分方程的特征根为所以方程的解代入初始值得所以所以系统的单位序列响应为(3)解：根据框图可得整理得单位序列响应满足当时当时 可得差分方程的特征根为所以方程的解代入初始值

6、得 解得所以系统的单位序列响应为(4)解：根据框图可得单位序列响应满足当时当时 可得差分方程的特征根所以方程的解代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应为3.10 求题3.10图所示各系统的单位序列响应。(1) 解:设左端加法器输出为，根据框图可得 (1) (2)(1)式的单位序列响应满足当时当时得差分方程的特征根所以方程的解代入初始值得 解得所以(1)式的单位序列响应为所以系统的单位序列响应为(2) 解:设左端加法器输出为，根据框图可得 (1) (2)(1)式的单位序列响应满足当时当时 得差分方程的特征根所以方程的解代入初始值得 解得所以(1)式的单位序列响应为所以系统的单位序列响应为3.1

7、1各序列的图形如题3.11图所示，求下列卷积和。解：由(a)得 (b)得(c)得 (d)得(1)(2) (3) (4) 3.12已知系统的激励和单位序列响应如下，求系统的零状态响应。(1)(2) (3) (4) (1)解: (2)解: (3)解: (4)解:3.13求题3.9图(a)(b)(c)所示各系统的阶跃响应。解：图(a)时系统的单位序列响应为所以系统的阶跃响应图(b)时系统的单位序列响应为所以系统的阶跃响应图(c)时系统的单位序列响应为所以系统的阶跃响应3.14 求题3.14图所示各系统的单位序列响应和阶跃响应。解：(a)图所示设左端加法器的输出为 (1)右端加法器的输出端可得(1)式

8、的单位序列响应为令得方程的解为代入初始值得 所以所以系统的单位序列响应为系统的阶跃响应为(b)图所示系统的差分方程为则系统的单位序列响应满足设满足根据是不变形的所以系统的单位序列响应为系统的阶跃响应为3.15 若LTI离散系统的阶跃响应，求其单位序列响应。解：3.16 题3.16图所示系统，试求当激励分别为(1) ，(2) 时的零状态响应。解：(a)图所示系统的差分方程为单位序列响应满足令得方程的解为代入初始值得所以系统的单位序列响应为当时，系统的零状态响应为当时，系统的零状态响应为(b)图所示系统的差分方程为单位序列响应满足令得令得 可得方程的解为代入初始值得 解得所以系统的单位序列响应为当

9、时，系统的零状态响应为当时，系统的零状态响应为3.17 题3.17图所示系统，若激励，求系统的零状态响应。解：图所示系统的差分方程为整理得系统的单位序列响应满足令得令得 可得方程的特征根为，所以方程的解为带入初始值得 解得所以单位序列响应为当时，系统的零状态响应为3.18 题3.18图所示离散系统由两个子系统级联组成，已知，激励，求该系统的零状态响应。解：因为两个系统是级联所以3.19如已知某LTI系统的输入为时，其零状态响应为，求系统的单位序列响应。解：由题意得 系统的单位序列响应满足带入已知条件得即令时令时可得方程的解为带入初始值 解得所以系统的单位序列响应3.20 描述某二阶系统的差分方

10、程为 式中为常数，试讨论当四种情况是的单位序列响应。解：系统的单位序列响应满足令时令时可得 特征方程为(1) 当时，特征根为此时方程的解为其中代入初始值 解得所以系统的单位序列响应其中(2)当时，特征根为此时方程的解为代入初始值 解得所以系统的单位序列响应(3)当时，特征根为此时方程的解为代入初始值 解得所以系统的单位序列响应(4)当时，特征根为此时方程的解为代入初始值解得所以系统的单位序列响应3.21 如题3.21图所示的复合系统由三个子系统组成，它们的单位序列响应分别为，为常数，求复合系统的单位序列响应。解：由图可得与求和之后再与级联所以3.22 题3.22图所示的复合系统由三个子系统组成

11、，它们的单位序列响应分别为，求复合系统的单位序列响应。解：由图可得与求和之后再与级联所以3.23 某人向银行贷款万元，月利率，他定于每月初还款万元。设第月初还贷数为，尚未还清的款数为，列出的差分方程。如果他从贷款后第一个月（可是为）还款，则有万元和万元。(1)如果每月还款万元，求。(2)他还清贷款需要几个月？(3)如果他想在10个月内还清贷款，求每月还款数。解：由题意可列出方程带入已知数值得令得 得方程的解为代入初始值得 得所以方程的解为(1)如果每月还款万元，则有(2)当时就可以还清贷款，由解得所以他还清贷款需要22个月(3)如果他想在10个月内还清贷款，则所以 可得 如果他想在10个月内还清贷款，每月还款至少为1.0588万元。3.24 题3.24图为电阻梯形网络，图中为常数。设各结点电压为，其中，为各结点序号。显然其边界条件为。列出的差分方程，求结点电压。解:在结点初由KCL得整理得方程的特征根为所以方程的解为代入初始值得 解得所以结点电压为3.25 为用计算机求解微分方程，需要将连续信号离散化。若描述某系统的一阶微分方程为 （1）若在各时刻激励和响应的取值分别为，并假设时间间隔T足够小，那么在时刻的导数可近似为这样上述微分方程可写为稍加整理，得或写为 （2）若，求微分方程式（1）的零状态响应；若取，求差分