投影投影知识及点线面

1、第一章 投影法的基本知识,1-2 投影的性质,1-3 土建工程中常用的四种投影图,1-4 三面正投影图,1-1 投影的方法及其分类,1-1 投影的方法及其分类,1.1.1 投影法概念,1.1.2 投影法的分类,1.1.1 投影法的概念,投影面P,S 投影中心,将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得到物体影子的方法称为投影法。,1.1.2 投影法的分类,1. 中心投影法 投射线汇交于一点。 2. 平行投影法 投射线互相平行。 （1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。,根据投射线之间的相对位置关系将投影方式分为两种：,1. 中心投影法,H,

2、S,2.平行投影法-斜投影,H,a,2.平行投影法-正投影,H,投影反映 空间平面的 真实形状。,中心投影法其投影大小与物体和投影面之间的距离有关一般不能反映空间物体的真实形状和大小； 平行投影法其投影大小与物体和投影面之间的距离无关。,由于正投影法能准确的表达物体的形状和大小、而且度量性好，因此在工程制图中广泛应用，也是本课程学习的主要内容。,1-2 投影的性质,1.2.1 投影的一般性质,1.2.2 平行投影的特殊性质,1.2.1 投影的一般性质,介绍是中心投影和平行投影的共同性质：,1. 积聚性 当直线沿投射线方向投射时，其投影成一个点； 当平面沿投射线方向投射时，其投影成一直线。 2.

3、 从属性 线（直线或曲线）上的点的投影在该线的投影上。,H,1. 积聚性,当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。,在投影面上的投 影积聚为直线。,1.2.2 平行投影的特殊性质,1. 平行性 平行直线的投影相互平行。 2. 定比性 （1）一条直线上两线段长度之比等于其投影长度之比 （2）两条平行线长度之比等于其投影长度之比 3.显实性 当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。 4. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其投影的形状与原图相比平行关系不变，边数不变。,平行性、定比性,平行直线的投影相互平行；两条平行线长度之比等于其投影长度之比,ABCD则abcd； AB:C

4、D=ab:cd；,3. 显实性,H,当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。,投影cde反映 空间平面CDE 的真实形状。,4. 类似性,H,当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。,投影cde面积 变小。,1-3 土建工程中常用的四种投影,1.3.1 正投影图,1.3.2 轴测投影图,1.3.3 透视图,1.3.4 标高投影图,1.3.1 正投影图,运用正投影法所得的投影图为正投影图；工程上一 般为多面正投影图。,1. 优点 反映实形、便于度量绘制简单； 2. 缺点 立体感较差，由正投影图转换为轴测图需要空间想象力。,棱锥体的正投影,a,a,b,c,S,S,1.3.2 轴测投

5、影图,在一个投影面上能反映出工程形体三个互相垂直方向尺度的平行投影图为轴测投影图。,1. 优点 图样立体感较强； 2. 缺点 不便于度量、绘制较费时。,Y,P,P,X,Y,Z,O,轴测投影图是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得到的图形。,轴测投影图,1.3.3 透视图,工程形体在一个投影面上的中心投影称为透视图。,1. 优点 具有良好的立体感； 2. 缺点 比轴测图更为复杂，且很难度量。,透视图,1.3.4 标高投影图,在一个水平投影面上标有高度数字的正投影图称为标高投影图，表示同一高度的不规则曲面。,作用：为施工中计算土方量、确定施

6、工界限提供依据。,标高投影图,1. 三投影面体系的建立,Z,Y,W,三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,四、物体的三面投影图,1.三面投影图的形成,三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成。,正立投影面 简称正面。,水平投影面 简称水平面。,侧立投影面 简称侧面。,两投影面的交线称为投影轴。,X,Y,Z,O,正立投影面：简称V面,水平投影面：简称H面,侧立投影面：简称W面,2.物体在三投影面体系中的投影,正面投影由前向后投影； 水平面投影由上向下投影； 侧面投影由左向右投影。,3

7、.三投影面的展开,侧面W绕OZ轴向右旋转90。,水平面H绕OX轴向下旋90。,规定：正面V保持不动。,O,X,YH,Z,YW,第二节 三视图,一、三视图,侧立投影面,主视图：从前向后投影到V面所得视图 俯视图：从上向下投影到H面所得视图 左视图：从左向右投影到W面所得视图,侧面投影,二、三视图的位置关系和三等关系,1、位置关系 主视图反映物体的左右和上下（长和高） 俯视图反映物体的前后和左右（宽和长） 左视图反映物体的上下和前后（高和宽）,2、三视图的三等关系(口诀),主俯视图长对正 俯左视图宽相等 主左视图高平齐,三、画三视图的方法和步骤,1、先选主视图投影方向,2、布图,3、按投影规律画出

8、物体的三视图,4、检查、加粗图线,画出各投影图的作图基准线。,先画物体的主体部分,再逐个画出物体中的细节部分。,1-2 点的投影,1.2.1 点在两投影面体系中的投影,1.2.2 点在三投影面体系中的投影,1.2.3 两点的相对位置和重影点,1.2.1 点在两投影面体系中的投影,3. 点的两面投影图,2. 两投影面体系的建立,4.两投影面体系中点的投影规律,1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置,H,V,2.两投影面体系的建立,X,O,两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通

9、常把物体放在第一分角中来研究。,正立投影面,投影轴,V,H,水平投影面,3.点的两面投影图,A,点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。,点A的正面投影,点A的水平投影,X,H,V,O,a,a,ax,两面投影图的画法,展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不同投影面上的投影来表示点的空间位置。,通常不画出投影面的范围,X,O,a,a,ax,4.两投影面体系中点的投影规律,X,O,a,a,ax,点的V面投影与H面投影之间的连线aa垂直于投影轴0X ；点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影

10、轴相邻的投影面之间的距离，即 aax= Aa， aax= Aa 。,1.2.2 点在三投影面体系中的投影,1.三投影面体系的建立,2.点的三面投影图,3.点的三面投影与直角坐标的关系,4.三投影面体系中点的投影规律,5.特殊点的投影,1. 三投影面体系的建立,Z,Y,W,三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。,2. 点的三面投影图,A,点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H面向下旋转90，W面向右旋转90。,X,O

11、,Z,YW,YH,通常不画出投影面的范围,规定：空间点A用大写字母表示，在H面的投影a，在V面的投影用a，在W面的投影用a表示。,H,a,a,a,V,W,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,3. 点的三面投影与直角坐标的关系,若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。,a,a,a,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,点A的x坐标值=oax =aay=aaz=Aa 反映点A到W面的距离。 点A的Y坐标值=oay=aax=aaz=Aa 反映点A 到V

12、面的距离。 点A的Z坐标值=oaz=aax=aay=Aa 反映点A到H面的距离。,4. 三投影面体系中点的投影规律,a,a,a,X,O,Z,YW,YH,ax,ay,az,ay,点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即aa0X ；点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a a“0Z；点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，都反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等,三投影面体系中点的投影规律,aaOX 长对正 aaOZ 高平齐 aax=aaz 宽相等,5. 特殊位置点的投影,O,X,H,V,O,X,空间点：三个坐标均不为零 投影面上的点：三个坐标有一个

13、为零（1）在H面内（2）在V面内（3）在W面内 投影轴上的点 ：三个坐标有两个为零（1）在X轴上（2）在Y轴上（3）在Z轴上,投影面上的点:A、B 投影轴上的点:C 与原点重合的点:O,点的一个坐标为零，点在投影面上。,点的二个坐标为零，点在投影轴上。,点的三个坐标为零，点在坐标原点,例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。,Z,YH,X,YW,O,a,a,a,1.2.3 两点的相对位置和重影点,1.两点的相对位置,2.重影点,1. 两点的相对位置,两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。,2.

14、 重影点,a(b),a,b,A,B,若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。,C,D,c(d),b,a(b),a,c,d,a,b,c,d,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的投影。,1-3 直线的投影,1.3.1 直线的三面投影,1.3.2 直线对投影面的相对位置,1.3.3 直线上的点,1.3.4 直线的实长和倾角,1.3.5 直线的实长和倾角,1.3.1 直线的三面投影,空间任何一直线可

15、由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。,1.3.2 直线对投影面的相对位置,1.投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1) 水平线 (2) 正平线 直线平行于V面，倾斜于H、W面。 (3) 侧平线 直线平行于W面，倾斜于H、V面。 2.投影面垂直线 垂直于某一投影面的直线 (1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线 3.一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线,直线平行于H面，倾斜于V、W面。,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂

16、线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,一、七种位置直线的投影特性,水平线 平行于水平投影面的直线,X,O,z,YH,YW,投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小,反映实长,正平线 平行于正面投影面的直线,X,a,b,b,a,O,Z,YH,YW,投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b=AB 3、反映、角的真实大小,反映实长,侧平线 平行于侧面投影面的直线,X,Z,O,YH,YW,投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH 2、ab =AB 3 、反映 、 角的真实大小,反映实长,投影特性：1、a b 积聚 成一点

17、2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB,铅垂线 垂直于水平投影面的直线,正垂线 垂直于正面投影面的直线,投影特性： 1、 ab积聚 成一点 2 、 ab OX ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB,侧垂线 垂直于侧面投影面的直线,投影特性： 1、ab 积聚 成一点 2 、 ab OYH ; ab OZ 3 、 ab = ab =AB,一般位置直线,投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3 、 不反映 、 、 实角,点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，点的各面投影均在直线的同面投影上

18、，则该 点必在此直线上。,2.2.3 直线上的点,直线上的点具有两个特性： 1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即 A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,例3 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C的投影。,O,例4 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,O,直线的迹点,m,n,直线与投影面的交点称为迹点。它

19、是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。,一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。 1.几何分析 2.作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 3.直角三角形的四个要素 实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。,1.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角,直角三角形法,3、一般线的实长与倾角,AB真长,AB真长,ZAB,量取ZAB,YAB,量取YAB,几何分析,|z

20、A-zB|,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W 投影长,直角三角形法,例5 已知 线段的实长AB以及ab和a，求它的正面投影ab。,a,X,a,b,A,O,B,b0,bb0,bb0,b,b,【例题】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取 AC=25mm,c,c,【例题】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影。,量取YAB,R=40mm,YAB

21、,a,b,a,b,1.3.5 两直线的相对位置,（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。 （2）平行两线段之比等于其投影之比。,1.平行两直线,O,O,2.相交两直线,两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点属于两直线，则该两直线相交。,O,O,3.交叉两直线,凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。,O,例6 判断两直线的相对位置,判断重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表

22、示。,例7 判断两直线重影点的可见性,O,4. 垂直两直线的投影,互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。,O,例8 过点A 作EF 线段的垂线AB。,例9,求点E 到水平线AB的距离。,X,O,a,b,a,b,e,e,d,d,yD-yE,所求距离,例10 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,O,1-4 平面的投影,1.4.1 平面的表示法,1. 几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上

23、的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。 2.平面的迹线表示法 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。,1. 几何元素表示法,用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。,2. 迹线表示法,PX,PV,PH,PH,PV,PW,PZ,PY,PX,X,O,PW,PZ,PYH,PYW,YH,Z,YW,1.4.2 各种位置平面的投影特性,1.投影的垂直面 (1)铅垂面 (2)正垂面 (3

24、)侧垂面 2.投影的平行面 (1)水平面 (2)正平面 (3)侧平面 3.一般位置平面,铅垂面,投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线 2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小,铅垂面迹线表示,正垂面,投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映、 角的真实大小,正垂面的迹线表示,侧垂面,投影特性：1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形 3 、 abc与OZ、OY的

25、夹角反映、角的真实大小,侧垂面的迹线表示,水平面,投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形,正平面,投影特性： 1. abc 、 abc 积聚为一条直线，具有积聚性 2.正平面投影abc反映 ABC实形,侧平面,投影特性： 1. abc 、 abc 积聚为一直条线，具有积聚性 2. 侧平面投影abc 反映 ABC实形,一般位置平面,投影特性 1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2. 不反映、 的真实角度,1.4.3 平面上的点和直线,（1） 平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通

26、过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。 （2） 平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。,1. 平面上取直线和点,三、平面上的点和直线,定理一：若直线过平面上的两点，则此直线必在 该平面内。,定理二：若一直线过平面内的一点，且平行于该 平面上另一直线，则此直线在该平面内。,定理三：若点在平面内，它必在平面内的一条直 线上。,平面上的点和直线,（1） 平面上取直线,取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。,A,B,C,（2） 平面上取点,取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线,例11,已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。（2）已知平面上一点E的正面投影e作出水平投影。,a,b,c,a,b,c,d,d,e,e,1,1,X,O,例12：已知ABC平面内点K的V面投影k，求作K的H面投影。,解1,解2,d,d,k,m,m,k,例13：已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，完