因式分解培优专题(一)

1、初三数学因式分解培优专题（一）一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出

2、“”号后，多项式的各项都要变号。解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，是在因式分解过程中常用的因式变换。解：2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解： 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，

3、接着只需证明每一项都是10的倍数即可。解：5、中考点拨：例1。因式分解解： 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2分解因式：解：说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。举一反三：1、分解因式：（1）（2）（n为正整数）（3） 2. 计算：的结果是（） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整数，且，求x、y。4. 证明：能被45整除。二、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：欧

4、拉公式：特别地：（1）当时，有（2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】 1. 把分解因式的结果是（） A. B. C. D. 分析：。再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便

5、计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。解： 3. 在几何题中的应用。例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解： 4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：5、中考点拨：例1：因式分解：_。说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差

6、公式分解彻底。例2：分解因式：_。说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例1. 已知：，求的值。解：说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2. 已知，求证：证明：说明：利用补充公式确定的值，命题得证。例3. 若，求的值。解：说明：按常规需求出的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。举一反三： 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值。3. 若是三角形的三条边，求证：4. 已知：，求的值。5. 已知是不全相等的实数，且，试求（1）的值；（2）的值。因式分解练习题1、若是完全平方式，则m=_。2、3、已知则4、若是完全平方式M=_。， 5、若是完全平方式，则k=_。6、若的值为0，则的值是_。7、若则=_。8、若则_。9、方程，的解是_。二、选择题：（10分）1、多项式的公因式是（ ）A、a、 B、 C、 D、2、若，则m，k的值分别是（ ）A、m=2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=4，k=12、D m=4，k=12、3、下列名式中能用平方差公式分解因式的有（ ）A、1个， B、2个， C、3个 ，D、4个4、计算的值是（ ） A、 B、三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、5、 6、7、3ax2+6axy+3ay