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2011XDF考研概率冲刺讲义.pdf

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2011XDF考研概率冲刺讲义.pdf

圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播201考研冲刺班概率论与数理统计讲义主讲姚孟臣欢迎使用新东方在线电子教材目录一、概率论部分11“几何概型”问题12“图解法”问题33“事件独立性”问题54“全概公式”问题55“事件关系与运算”问题86“协方差与相关系数”问题87“独立与相关”问题198“独立与相关”问题2(既不相关又不独立总结)109“结论”问题110“几何分布”问题1311“正态分布几个结论”问题1412“离散型”问题16二、数理统计部分181点估计矩法、最大似然法182区间估计与假设检验20圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播1两部分概率和统计配套讲义概率论与数理统计讲义(提高篇)解题步骤①正确理解题意②分析考核点(重点,涉及)③适当选择方法④作题格式一、概率论部分1“几何概型”问题例1在长L的线段AB上任意投掷两个质点M和N,则点A离点M比离点N近的概率为A.B.C.D.1814121解事件A={点A离点M比离点N近},并且设|AM|=X,|AN|=Y,则0≤X≤L,0≤Y≤L,因此Ω={X,Y|0≤X≤L,0≤Y≤L},A={X,Y|0≤X≤Y≤L},故选择C⋅Ω21212LLLAAP例2设平面区域D是由X=1,Y=0,Y=X所围成,今向D内随机地投入10个点,求这10个点中至少有2个点落在由曲线Y=X2与Y=X所围成的区域1内的概率.解分两步进行.第一步先计算任投一点落入D1的概率.根据几何概型,有圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播211123132LAPAΩ−⋅第二步设X={落入D1内的点数},有于是,31,10BXPX≥2=1-PX=0-PX=1321321911010C−−例3设随机变量X和Y的联合分布在正方形G={X,Y1≤X≤3,1≤Y≤3}上均匀分布,试求随机变量U=|-|的概率密度PU解由条件知X和Y的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤,0,31,31,41,其他若YXYXF以FU=PU≤U-∞<U<∞表示随机变量U的分布函数显然,当U≤0时,FU=0;当U≥2时,FU=1设0<U<2,则{||}1,DD4XYUXYUGFUFXYXYXY−≤−≤∫∫I,24124122UU−−−−于是,随机变量的密度为⎪⎩⎪⎨⎧−,0,20,21其他若UUUP例4在长为L的线段上,任意选取两点M和N,求E|M-N|,D|M-N|解令Z=|M-N|,先求PZ圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播3FZ=PZ≤Z=P|M-N|≤Z=,PZ=F′Z222LZLL−−再求EZ和DZ例5(1)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间0,3上的均匀分布,则P{MAX{X,Y}≤1}=______答案是9分析本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题由题设,可知X,Y~UD,其中D={X,Y|0≤X≤3,0≤Y≤3}解法1P{MAXX,Y≤1}=PX≤1,Y≤1=PX≤1PY≤1⋅∫∫91D31D3100YX解法2由几何概型可知911}1,1{}1,{MAX≤≤≤DSYXPYXP(2)在区间0,1中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为____21答案是43分析本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”解设随机取到的两个数为X与Y,则X,Y服从正方形区域上的均匀分布一方面我们可以利用二重积分计算∫−DYXFYXPD,21||Σ另一方面我们也可以根据几何概型来计算,如图,即⋅−Ω−431212121121||LAYXPAP2“图解法”问题例1设事件A、B、C满足PB=2PA,PC=3PA,并且PAB=PBC,则PA的取值范围是A.B.1,021,0C.D.31,041,0圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播4解由于AAB,于是有⊃X=PA≥P=Y=PBC利用加法公式,有1≥B+C=PB+-PBC=3X+2X-Y≥3X+2X-X=4X≥0即0≤4X≤10≤X≤故选择D⇒41例2设两个随机事件A,B相互独立,已知仅有A发生的概率为,仅有B发生的概41率为,则PA=_______41解PAPB1114PABPAPBPAPBPAPA−−所以12PA例3设X~N2,Σ2,并且P2<X<4=03,则PX<0=______例4设随机变量X服从正态分布N0,1,对给定的0<<1,数满足P{XΑΑΑU>}=若P{|X|<X}=,则X等于ΑUΑΑABCDU1-Α2ΑU21Α−U21ΑU−圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播5解由题设,可知UΑ满足PX>UΑ=Α可见,若要P|X|<X=Α,即P|X|≥X=1-Α,而PX>X=,因此故选择C21Α−⋅−21ΑUX3“事件独立性”问题①定义相互独立,,,,PABPAPBCBCPAPAPBCBPC⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎩两两独立②等价定义A两两独立与独立(三者之一)ABAB−CB或1PABPAPB0PC例设事件A、B、C满足PAB=PAPB,并且PC=PC2,则A、B、CA.一定不是两两独立;.不一定是两两独立;C.一定是相互独立;D.一定不是相互独立解由PC=PC2,我们有PC=0或1⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎩⎨⎧10CPBPAPABCPCPBPBCPBAACPBPAPAB或故选择C证明1对于任意的A,由于AC,PAC≤PC=0⊂PAC=0=PAPC,即与相互独立2C+A=,圆圆工作室HTTP//BZ105D6DCOM内部版本仅供学习,禁止传播6PA=PA-PAC=PA-PAPC=PA1-P=PAPCCC结论零或1概率事件与任何事件都是相互独立的4“全概公式”问题例1袋中装有N只球,每次从中随意取出一球,并放入一个白球,如此交换共进行N次已知袋中白球数的数学期望为A,那么第N+1次从袋中任取一球为白球的概率是______解依题意袋中白球数X是个随机变量,X可取1,2,,N,且KP{X=K}=A若∑NK1记B=“第N+1次从袋中任取一球为白球”,AK“第N次交换后袋中有K个白球”K=1,2,,N由全概率公式,得NKXPABPAPBPNKKKNK}{|11∑∑{11NAKXKPNNK∑例2(1)有两个箱子,第一个箱子中有3个白球2个红球,第二个箱子中有4个白球4个红球,先从第一箱当中随机取一个球放入第二个箱子当中再从第二箱当中取1个球,问它是白球的概率是多少解表示第次从第个箱子取出的白球IAII531AP521AP95|12AP94|12AP4523||1211212APAPAPAPAP(2)设随机变量与独立,其中的概率分布为,XYX⎟⎠⎞⎜⎝⎛703021X而的概率密度为,求随机变量的概率密度YFYUXYGU分析离散型随机变量和一个连续型随机变量的和是不能确定的,但是本题已知XY随机变量与独立,并且只有两个正概率点,这时可以利用全概率公式求XYX的概率密度UXY解为求出概率密度,一般应先求分布函数,GU{}{}GUPUUPXYU≤≤先验概率,103PX207PX所以的分布函数为UXY}{UYXPUG≤

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