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学士学位论文本科毕业设计(论文)设计(论文)题目:不等式的几种特殊证明方法指导教师：学号：姓名：院（部）专业届xxx教务处制年月日统计与数学学院数学与应用数学2007201122学士学位论文xxx学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：年月日xxx关于论文使用授权的说明本人完全了解xxx有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名：论文作者签名：年月日年月日学士学位论文不等式的几种特殊的证明方法摘要不等式的证明方法通常涉及到数学的各分支领域,其理论性和技巧性一般比较强,因此不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型.如何寻求不等式的证明思路是正确求证不等式的关键所在.该文从证明不等式的几种常见的基本方法和几种特殊方法出发，逐层深入,引进一些证明不等式的高观点的方法,并通过一些具体例子,介绍一些典型的不等式的证明方法与变形技巧，从而灵活地运用和掌握基本地解题技巧，同时也拓宽了学习数学的知识面和强化了证明不等式的灵活性.以列举典型例题进行逐层深入研究,然后再针对一些特殊的证明方法进性分析证明和应用举例.从而把各类不等式的理论来源和研究方法展示出来。关键词：不等式；证明；方法；技巧SpecialMethodAndSkillInProvingInequalityABSTRACTTheproofmethodofinequalityusuallyinvolvestomathematicsvariousbranchesdomain,itstheoryandskillfularegenerallystronger,thereforeproofoftheinequalityhasbecomethepopulartopicofvariouscompetition.Howtoseektheproofmentalityoftheinequalityoftenisthekeytosolvetheproblem。Thisarticleembarksfromseveralcommonessentialmethodsandseveralspecialmethodsofproofofinequality,whichisthoroughbythelevel,introducessomeproofinequalitiesofthehighviewpointofmethod,andthroughsomeconcreteexamples,introducessomemodelsofwhichtheinequalityproofmethodandthedistortionskill，thereforetoutilizeandtograspbasicallyskillofsolvingtheinequalityproblem,andalsotostudyaspectofmathematicsknowledgeandtostrengthentheproofinequalityofflexibility.Byenumeratesthetypicalexampletocarryonbythelevelthoroughresearch,thenaimsatsomespecialproofmethodenteringanalysestoproveandtoapplyagaingivesanexample.Thusdemonstratedeachkindofinequalitytheoryoriginandtheresearchtechnique.Keywords：Inequality；Proof；Method；Skill学士学位论文目录摘要.1引言.1一、一元函数微分学中不等式的证明方法.21.直接利用拉格朗日中值定理证明不等式.22.利用函数的单调性证明不等式.33.利用函数的最值和极值证明不等式.44.利用函数的凹凸性证明不等式.55.泰勒中值定理在不等式证明中的应用.66.利用幂级数展开证明不等式.77.利用柯西中值定理证明不等式.7二、有关积分领域涉及到的不等式证明.81.利用积分性质证明不等式.82.利用积分中值定理证明不等式.10参考文献:.11学士学位论文引言不等式是数学的重要组成部分,他几乎遍及数学的每一个学科分支领域，正如D.S.密特利诺维奇在文1解析不等式一书中所说的:“今天,不等式在数学的所有领域里起着重要的作用,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域”.最初由柯西、贝努利兄弟，费马、施瓦兹等著名数学家们的提出到今天的日趋完善,经历了一个极其漫长和复杂的过程,因此不等式在数学的所有领域中起着重要的作用.同时也吸引着众多数学家们的研究兴趣，由于它本身具有完美的形式及证明的困难性和方法的多样性,往往可以考察分析能力和应变能力。因此不等式已成为各类数学竞赛的热门题型.不等式即为用不等号(“<”,“>”,“”，“”)连接起来的式子.虽然其定义简捷明了,但是对于它的理论研究也逐渐形成一门新的学科分支,不等已成为一大热点和难点问题.本文将主要通过一些典型的实例,介绍不等式的其几种证明方法和变形技巧不等式的证明也是一门艺术，它具有自己独到的丰富的技术手法。因此，我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想；充分利用微分与积分的知识来证明不等式，使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明，也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式的特点，从而迅速有效地解决问题.下面我将从微积分所涉及到的几个不同方面的不等式来阐述其特殊的几种方法微积分是高等数学的重要组成部分，是一种实用性很强的数学方法和工具，在自然科学和工程技术等方面都有着广泛的应用。同时在微积分领域同样存在着证明不等式的几种特殊的方法和技巧.xxx学士学位论文2一一元函数微分学中不等式的证明方法1.直接利用拉格朗日中值定理证明不等式定理1（拉格朗日中值定理）如果函数)(xf满足(1)在闭区间ba,上连续；(2)在开区间ba,内可导；那么在开区间ba,内至少有一点（ba），使等式)()()(abfafbf.【利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路】：设)(xf在ba,上连续，在ba,内可导，由拉格朗日中值定理知存在（a<<b），使得abafbf）（）（=f（）；若可得到右端f（）得适当的估计式，就得到了关于abafbf）（）（的有关不等式.例1.1证明：当0x时，xxxx)1ln(1证：设)1ln()(xxf，显然)(xf在区间x,0满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有,0),0)()0()(xxffxf由于11)(,0)0(xxff，因此上式即为1)1ln(xx.又由x0，有xxxx11，即)0.()1ln(1xxxxx.例1.2设2ebae，证明2224lnlneabab.NO:xxx学士学位论文3令,ln)(2xxf在ba,上用拉格朗日中值定理，有abafbf）（）（=abalnbln22=)(f=2ln，其中2ebae.又xxxgln)(在（,e）单调递减，故2222ln2)(ln)(eeeegg.所以，结论得证.说明：拉格朗日中值定理将函数值与导数值连接在一起。这里没有给出的确切位置，而对于不等式而言，也不需要，不必精确。因此可利用中值定理证明，关键是选择)(xf及区间ba,.2.利用函数的单调性证明不等式【解题思路】设)(xf在ba,单调增加，若,0)(af则,0)(xf当bxa时成立。)(xf是单调减函数时也有类似的结论，他们是证明不等式重要的根据.例2.1求证：当0x时，22)1(ln)1(xxx.证明：令)1(ln)1()(22xxxxf，则)1ln(2)1(ln2)(2xxxxf，xxxxf1)1ln(2)(因012x，所以)(xf与)1ln(xx同号。由于)1ln()(xxxG满足01)(,0)0(xxxGG，可见,0)(xG于是.0)(xf由此可得)(xf在0x单调增加，又,0)0(f于是.0)(xf所以)(xf在0x单调增加，又,0)0(f故0)(xf当0x时成立，即)1(ln)1(22xxx，（任意0x）.xxx学士学位论文43.利用函数的最值和极值证明不等式极值与最大，最小值的求法(1)极值求法:(a)求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点.(b)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.(2）最大，最小值的求法：(a)闭区间ba,上连续函数的最大最小值的求法:先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点a，b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.(b)开区间ba,内可导函数的最大值，最小值的求法：若)(xf在ba,内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值或最小值.【解题思路】若)(xf在区间I上达到最大值M，则Mxf)(x属于区间I)，若)(xf在区间I上达到最小值m，则Mxfm)(x属于区间I)例3.1求证：当0x时，),1.(01)1(1Nnnxnnxnn本题应用函数的极值、最值来证明证明令1)1()(1nnxnnxxf则)1()1()1()1()(212xxnnxnnxnnxfnnn.令0)(xf得驻点：1x。（0x因为是端点，所以不是驻点）且当1x时0)(xf，当1x时0)1(,0)(fxf是极大值也是最大值，所以0)1()(fxf即当0x时，.01)1(1nnxnnx例3.2证明：若1p，则对于0,1中的任意x有：121)1(1pppxx分析：设辅助函数)(xfxppx)1()10(x，若设)(xg=121p，)10(0)1(211)0()0()0(1xFgfFp，故很难用函数单调性的定义去证明.不难看到不等式两端都是常数形式，因而可想到用最值方法试之.xxx学士学位论文5证明：设函数)10()1()(xxxxfpp。有pxxf)(1111)1()1(ppppxxpxp令0)(xf，得唯一驻点x=21，从而，)1()21(ppf（21）22)21)(1(pppp)1(2pp（21）.1,02pp所以，x=21极小值点也是最小值点，最小值为f（21）=121p，两边界为1)1()0(ff.所以121)1(1pppxx.说明：当题设满足一下条件时宜用该方法：（a）所设函数f（x）在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（b）只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式.4.利用函数的凹凸性证明不等式凹凸性法的思路和步骤：若函数满足,0)(xf则)2()()(212121xxfxfxf：若函数满足,0)(xf则)2()()(212121xxfxfxf.适用对象：当不等式中含有两个变量时，可以考虑凹凸性法.例4.1证明2ln)(lnlnyxyxyyxx（yxyx,0,0）证：令0,ln)(ttttf01)(,1ln)(ttfttf故)0(,ln)(ttttf是凹的.于是)2(2)()(yxfyfxf即2ln2lnln21yxyxyyxx，也即