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毕业设计精品]不等式的几种特殊证明方法.doc

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毕业设计精品]不等式的几种特殊证明方法.doc

学士学位论文本科毕业设计论文设计论文题目不等式的几种特殊证明方法指导教师学号姓名院(部)专业届XXX教务处制年月日统计与数学学院数学与应用数学2007201122学士学位论文XXX学士学位论文原创性声明本人郑重声明所呈交的学位论文,是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名年月日XXX关于论文使用授权的说明本人完全了解XXX有关保留、使用学士学位论文的规定,即学校有权保留、送交论文的复印件,允许论文被查阅,学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印或其他复制手段保存论文。指导教师签名论文作者签名年月日年月日学士学位论文不等式的几种特殊的证明方法摘要不等式的证明方法通常涉及到数学的各分支领域,其理论性和技巧性一般比较强,因此不等式的证明已成为各类数学竞赛的热门题型如何寻求不等式的证明思路是正确求证不等式的关键所在该文从证明不等式的几种常见的基本方法和几种特殊方法出发,逐层深入,引进一些证明不等式的高观点的方法,并通过一些具体例子,介绍一些典型的不等式的证明方法与变形技巧,从而灵活地运用和掌握基本地解题技巧,同时也拓宽了学习数学的知识面和强化了证明不等式的灵活性以列举典型例题进行逐层深入研究,然后再针对一些特殊的证明方法进性分析证明和应用举例从而把各类不等式的理论来源和研究方法展示出来。关键词不等式;证明;方法;技巧SPECIALMETHODANDSKILLINPROVINGINEQUALITYABSTRACTTHEPROOFMETHODOFINEQUALITYUSUALLYINVOLVESTOMATHEMATICSVARIOUSBRANCHESDOMAIN,ITSTHEORYANDSKILLFULAREGENERALLYSTRONGER,THEREFOREPROOFOFTHEINEQUALITYHASBECOMETHEPOPULARTOPICOFVARIOUSCOMPETITIONHOWTOSEEKTHEPROOFMENTALITYOFTHEINEQUALITYOFTENISTHEKEYTOSOLVETHEPROBLEM。THISARTICLEEMBARKSFROMSEVERALCOMMONESSENTIALMETHODSANDSEVERALSPECIALMETHODSOFPROOFOFINEQUALITY,WHICHISTHOROUGHBYTHELEVEL,INTRODUCESSOMEPROOFINEQUALITIESOFTHEHIGHVIEWPOINTOFMETHOD,ANDTHROUGHSOMECONCRETEEXAMPLES,INTRODUCESSOMEMODELSOFWHICHTHEINEQUALITYPROOFMETHODANDTHEDISTORTIONSKILL,THEREFORETOUTILIZEANDTOGRASPBASICALLYSKILLOFSOLVINGTHEINEQUALITYPROBLEM,ANDALSOTOSTUDYASPECTOFMATHEMATICSKNOWLEDGEANDTOSTRENGTHENTHEPROOFINEQUALITYOFFLEXIBILITYBYENUMERATESTHETYPICALEXAMPLETOCARRYONBYTHELEVELTHOROUGHRESEARCH,THENAIMSATSOMESPECIALPROOFMETHODENTERINGANALYSESTOPROVEANDTOAPPLYAGAINGIVESANEXAMPLETHUSDEMONSTRATEDEACHKINDOFINEQUALITYTHEORYORIGINANDTHERESEARCHTECHNIQUEKEYWORDSINEQUALITY;PROOF;METHOD;SKILL学士学位论文目录摘要1引言1一、一元函数微分学中不等式的证明方法21直接利用拉格朗日中值定理证明不等式22利用函数的单调性证明不等式33利用函数的最值和极值证明不等式44利用函数的凹凸性证明不等式55泰勒中值定理在不等式证明中的应用66利用幂级数展开证明不等式77利用柯西中值定理证明不等式7二、有关积分领域涉及到的不等式证明81利用积分性质证明不等式82利用积分中值定理证明不等式10参考文献11学士学位论文引言不等式是数学的重要组成部分,他几乎遍及数学的每一个学科分支领域,正如DS密特利诺维奇在文1解析不等式一书中所说的“今天,不等式在数学的所有领域里起着重要的作用,并且提供了一个非常活跃而又有吸引力的研究领域”最初由柯西、贝努利兄弟,费马、施瓦兹等著名数学家们的提出到今天的日趋完善,经历了一个极其漫长和复杂的过程,因此不等式在数学的所有领域中起着重要的作用同时也吸引着众多数学家们的研究兴趣,由于它本身具有完美的形式及证明的困难性和方法的多样性,往往可以考察分析能力和应变能力。因此不等式已成为各类数学竞赛的热门题型不等式即为用不等号“”,“”,“”,“”连接起来的式子虽然其定义简捷明了,但是对于它的理论研究也逐渐形成一门新的学科分支,不等已成为一大热点和难点问题本文将主要通过一些典型的实例,介绍不等式的其几种证明方法和变形技巧.不等式的证明也是一门艺术,它具有自己独到的丰富的技术手法。因此,我们在证明不等式时要充分运用函数的思想和数形结合的思想;充分利用微分与积分的知识来证明不等式,使一些复杂的不等式得到更加简洁的证明,也使得一些不等式的证明方法多样化。因此在证明不等式时关键在于要抓住不等式的特点,从而迅速有效地解决问题下面我将从微积分所涉及到的几个不同方面的不等式来阐述其特殊的几种方法微积分是高等数学的重要组成部分,是一种实用性很强的数学方法和工具,在自然科学和工程技术等方面都有着广泛的应用。同时在微积分领域同样存在着证明不等式的几种特殊的方法和技巧XXX学士学位论文2一一元函数微分学中不等式的证明方法1直接利用拉格朗日中值定理证明不等式定理1(拉格朗日中值定理)如果函数XF满足1在闭区间BA,上连续;2在开区间BA,内可导;那么在开区间BA,内至少有一点(BA),使等式ABFAFBF【利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路】设XF在BA,上连续,在BA,内可导,由拉格朗日中值定理知存在(AB),使得ABAFBF)()(F();若可得到右端F()得适当的估计式,就得到了关于ABAFBF)()(的有关不等式例11证明当0X时,XXXX1LN1证设1LNXXF,显然XF在区间X,0满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,应有,0,00XXFFXF由于11,00XXFF,因此上式即为11LNXX又由X0,有XXXX11,即01LN1XXXXX例12设2EBAE,证明2224LNLNEABABNOXXX学士学位论文3令,LN2XXF在BA,上用拉格朗日中值定理,有ABAFBF)()(ABALNBLN22F2LN,其中2EBAE又XXXGLN在(,E)单调递减,故2222LN2LNEEEEGG所以,结论得证说明拉格朗日中值定理将函数值与导数值连接在一起。这里没有给出的确切位置,而对于不等式而言,也不需要,不必精确。因此可利用中值定理证明,关键是选择XF及区间BA,2利用函数的单调性证明不等式【解题思路】设XF在BA,单调增加,若,0AF则,0XF当BXA时成立。XF是单调减函数时也有类似的结论,他们是证明不等式重要的根据例21求证当0X时,221LN1XXX证明令1LN122XXXXF,则1LN21LN22XXXXF,XXXXF11LN2因012X,所以XF与1LNXX同号。由于1LNXXXG满足01,00XXXGG,可见,0XG于是0XF由此可得XF在0X单调增加,又,00F于是0XF所以XF在0X单调增加,又,00F故0XF当0X时成立,即1LN122XXX,(任意0X)XXX学士学位论文43利用函数的最值和极值证明不等式极值与最大,最小值的求法1极值求法A求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点B按极值充分条件判定可疑点是否为极值点2)最大,最小值的求法A闭区间BA,上连续函数的最大最小值的求法先求出可疑点,再将可疑点处的函数值与端点A,B处的函数值比较,最大者为最大值,最小者为最小值B开区间BA,内可导函数的最大值,最小值的求法若XF在BA,内可导,且有唯一的极值点,则此极值点即为最大值或最小值【解题思路】若XF在区间I上达到最大值M,则MXFX属于区间I,若XF在区间I上达到最小值M,则MXFMX属于区间I例31求证当0X时,,10111NNNXNNXNN.本题应用函数的极值、最值来证明.证明令111NNXNNXXF则1111212XXNNXNNXNNXFNNN令0XF得驻点1X。(0X因为是端点,所以不是驻点)且当1X时0XF,当1X时01,0FXF是极大值也是最大值,所以01FXF即当0X时,0111NNXNNX例32证明若1P,则对于0,1中的任意X有12111PPPXX分析设辅助函数XFXPPX110X,若设XG121P,10012110001XFGFFP,故很难用函数单调性的定义去证明不难看到不等式两端都是常数形式,因而可想到用最值方法试之XXX学士学位论文5证明设函数101XXXXFPP。有PXXF111111PPPPXXPXP令0XF,得唯一驻点X21,从而,121PPF(21)22211PPPP12PP(21)1,02PP所以,X21极小值点也是最小值点,最小值为F(21)121P,两边界为110FF所以12111PPPXX说明当题设满足一下条件时宜用该方法(A)所设函数F(X)在某闭区间上连续,开区间内可导,但在所讨论的区间上不是单调函数时;(B)只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式4利用函数的凹凸性证明不等式凹凸性法的思路和步骤若函数满足,0XF则2212121XXFXFXF若函数满足,0XF则2212121XXFXFXF适用对象当不等式中含有两个变量时,可以考虑凹凸性法例41证明2LNLNLNYXYXYYXX(YXYX,0,0)证令0,LNTTTTF01,1LNTTFTTF故0,LNTTTTF是凹的于是22YXFYFXF即2LN2LNLN21YXYXYYXX,也即

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